FANDOM


Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

BRST-перетворенняEdit

У попередньому розділі було показано, що застосовність континуального інтегрування до неабелевих калібрувальних теорій та "вирізання" інтегрувальних ступенів вільності, які є залежними через фіксацію калібрування, призводить до модифікації лагранжіану

$ \ L_{0} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} \to L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} - \frac{1}{2 \alpha }(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2} -\partial_{\mu}\bar{c}^{a}\partial^{\mu}c_{a} - gf^{acb}\partial_{\mu}\bar{c}_{a}B^{\mu}_{c}c_{b} \qquad (1) $.

Цей підрозділ покаже, як поява цієї модифікації виникає із вимоги інваріантності лагранжіану відносно перетворень специфічної симетрії BRST.

Розглянемо формальні оператори перетворення виду

$ \ \delta = c_{i}t^{i} - \frac{i}{2}f_{ijk}c^{i}c^{j}\frac{\partial }{\partial c^{k}}, \quad [t_{i}, t_{j}] = if_{ijk}t^{k}, \quad c_{i}c_{j} = -c_{j}c_{i} \qquad (2) $.

Тут $ \ t_{i} $ - генератори деякої групи.

Введений оператор являється нільпотентним, тобто $ \ \delta^{2} = 0 $.

Дійсно, при дії на деяке поле $ \ \varphi $ (яке не відповідає $ \ c_{i} $)

$ \ \delta^{2}\varphi = \delta (c_{i}t^{i}\varphi ) = -\frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi + c_{j}c_{i}t_{j}t_{i}\varphi = \left| c_{j}c_{i}t_{j}t_{i} = \frac{1}{2}c_{j}c_{i}(t_{j}t_{i} - t_{i}t_{j}) \right| = $

$ \ = -\frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi + \frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi = 0 $,

а при дії на грассманове поле $ \ c_{i} $

$ \ \delta^{2}c_{i} = -\frac{i}{2}f_{jki}\delta (c_{j}c_{k}) = \frac{1}{2}f_{jki}f^{mnk}c_{j}c_{m}c_{n} = 0 $

в силу тотожності Якобі для структурних констант.

Введемо тепер фіктивне скалярне поле $ \ b $, модифікувавши $ \ (2) $ (без порушення нільпотентності) наступним чином:

$ \ \delta = c_{i}t^{i} - \frac{i}{2}f_{ijk}c^{i}c^{j}\frac{\partial }{\partial c^{k}} + b_{i}\frac{\partial }{\partial \bar{c}_{i}} \Rightarrow \delta^{2} = 0, \quad \delta c_{i} = -\frac{i}{2}f_{jki}c_{j}c_{k}, \quad \delta \bar{c_{i}} = -b_{i}, \quad \delta b_{i} = 0, \quad \delta \varphi = c_{i}t^{i}\varphi \qquad (3) $.

Відповідні перетворення відповідають так званим BRST-перетворенням. Після введення полів $ \ b $ генератори $ \ t_{i} $ стають генераторами калібрувальної групи, тобто при дії на поле різних типів дають калібрувальне перетворення, яке відповідає полю даного типу. Із виразу $ \ (3) $ видно також, що відносно цих перетворень поля $ \ c_{i}, \bar{c}_{j} $ перетворюються зовсім по-різному, що призводить до твердження, що вони є незалежними в тому сенсі, що одне поле не можна отримати ермітовим спряженням іншого.

У явному вигляді перетворення $ \ (3) $ записуються як

$ \ \delta \psi^{i} = igc^{a}t_{a}^{ij}\psi_{j}, \quad \delta B_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu , c}, \quad \delta c_{a} = -\frac{g}{2}f_{abc}c^{b}c^{c} $.

Розглянемо тепер лагранжіан $ \ (1) $, переписавши його як

$ \ L = L_{0} + \delta \Lambda $,

де

$ \ \Lambda = (-f_{i} + \frac{\alpha }{2}b_{i})c^{i} \qquad (4) $,

$ \ f_{i} $ - умова, яка фіксує калібрування. У явному вигляді

$ \ L = L_{0} - c_{j}t^{j}f^{i}\bar{c}_{i} - f_{i}b^{i} + \frac{\alpha}{2}b_{i}b^{i} $.

Відповідність $ \ (4) $ виразу $ \ (1) $ перевіряється доповненням поліному по $ \ b $ до повного квадрату та інтегруванням по цих полях.

Як слідує із $ \ (4) $, лагранжіан неабелевої калібрувальної теорії є BRST-інваріантним: поля у доданку $ \ L_{0} $ перетворюються за звичайним законом калібрувального перетворення із грассмановими параметрами, тому він є інваріантним (можна додати і лагранжіан взаємодії із матерією). Другий же доданок є інваріантним в силу нільпотентності $ \ \delta $.

Тотожності Славнова-ТейлораEdit

Розглянемо генеруючий функціонал для неабелевої теорії:

$ \ Z[J, ...] = \int D(B, c, \bar{c}, b, \psi ) e^{i(S_{0} + S_{source})} \qquad (5) $,

де $ \ S_{0} $ дається виразом

$ \ S_{0} = \int d^{4}x \left(-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}_{a}F_{\mu \nu}^{a} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2} - \bar{c}^{a}M_{ab}c^{b}\right) $

(взагалі кажучи, вибір калібрування тут несуттєвий і впливає (див. вираз $ \ (5) $ за посиланням) лише на явний вигляд другого та третього доданків, а на загальність викладок, що подані нижче, не впливає вибір конкретного калібрування), а

$ \ S_{source} = \int d^{4}x(J_{\mu}^{a}B_{a}^{\mu} + \bar{\eta}^{a}c_{a} + \bar{c}_{a}\eta^{a}+ I^{a}b_{a} + J^{i}\psi_{i}) $,

(останній доданок включає в себе також джерела для спряжених діраківських полів).

Як було показано, дія $ \ S $ є інваріантною відносно перетворень BRST. Цей факт вказує на те, що для отримання тотожностей типу тотожностей Уорда для КЕД треба застосовувати саме BRST-перетворення.

Використовуючи метод, аналогічний до методи отримання тотожностей Уорда, можна отримати, що при BRST-перетворенні $ \ (5) $ маємо

$ \ \delta Z[J, ...] = i\int D(B, c, \bar{c}, b, \psi )\left( \int d^{4}x \left( J_{\mu}^{a}\delta B_{a}^{\mu} + \bar{\eta}^{a}\delta c_{a} + \delta \bar{c}_{a}\eta^{a} + J^{i}\delta \psi_{i}\right)\right)e^{i(S_{0} + S_{source})} = 0 \qquad (6) $.

Тут враховано декілька фактів. Перший факт полягає у тому, що BRST-перетворення є лише комбінацією трансляцій та поворотів у калібрувальному просторі, тому континуальний інтеграл відносно такого перетворення не змінюється (це виражається у рівності нулю). Другий факт полягає у тому, що міра $ \ D(B, c, \bar{c}, b, \psi ) $ є інваріантом BRST-перетворень. Дійсно, із розділу про виведення тотожностей Уорда у рамках континуального інтегрування відомо, що перетворення інтегрувальної міри визначається як

$ \ D\varphi^{\omega} = D\varphi \left(1 + tr \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right) \right) $,

тому з набору тотожностей (для доведення використаний вираз $ \ (3) $)

$ \ \frac{\partial \delta B_{\mu}^{a}}{\partial B_{\mu}^{a}} = -gf^{aba}\delta^{\mu}_{\mu}c_{b} = 0, \quad \frac{\partial \delta \psi_{i}}{\partial \psi_{i}} = ig (t^{a})_{i}^{i}c_{a} = 0, \quad \frac{\partial \delta c_{a}}{\partial c_{a}} = gf^{aac}c_{c} = 0, \quad \frac{\partial \delta \bar{c}_{a}}{\delta \bar{c}_{a}} = 0 $

і слідує твердження про інваріантність міри.

Нарешті, із виразу $ \ (3) $ слідує, $ \ \delta b_{i} = 0 $, що відображено у $ \ (6) $ у вигляді відсутності джерела $ \ b $ не в експоненті.

Можна модифікувати дію $ \ S $ у $ \ (5) $ так, щоб поля не в експоненті виразу $ \ (6) $ можна було записати через варіаційні похідні, і при цьому дія залишилась би BRST-інваріантною. Враховуючи нільпотентність $ \ \delta $, таку модифікацію можна подати як

$ \ S_{0} \to S = S_{0} + \int d^{4}x \left( K^{\mu}_{a}\delta B_{\mu}^{a} + K^{i}\delta \psi_{i} + L^{a}\delta c_{a}\right) $.

Тоді $ \ (6) $ можна переписати у формі (враховуючи також тотожність $ \ \delta \bar{c}_{a} = b_{a} = -\frac{1}{\alpha}f_{a} $ (остання рівність є "ефективною"))

$ \ \delta Z [J, ...] = i\int D(B, c, \bar{c}, b, \psi )\left( \int d^{4}x \left( J_{\mu}^{a}\frac{\delta S}{\delta K_{\mu}^{a}} + \bar{\eta}^{a}\frac{\delta S}{\delta L_{a}} - \frac{1}{\alpha}f_{a}\eta^{a} + J^{i}\frac{\delta S}{\delta K^{i}}\right)\right)e^{i(S + S_{source})} = 0 \qquad (7) $.

Враховуючи тепер зв'язок функціоналу для зв'язних діаграм із функціоналом усіх діаграм, $ \ Z[J] = e^{W[J]} $, рівність $ \ (7) $ можна переписати як

$ \ \int d^{4}x\left( J_{\mu}^{a}\frac{\delta S}{\delta K_{\mu}^{a}} + \bar{\eta}^{a}\frac{\delta S}{\delta L_{a}} - \frac{1}{\alpha}f_{a}\eta^{a} + J^{i}\frac{\delta S}{\delta K^{i}}\right)W[J] = 0 \qquad (8) $.

Перепишемо цю ж саму багатострадальну рівність через генеруючий функціонал для сильнозв'язних діаграм:

$ \ \Gamma [A, ...] = W[J, ...] - \int d^{4}x\left( J^{\mu}_{a}A_{\mu}^{a} + J^{i}\psi_{i} + \bar{\eta}^{a}c_{a} + \bar{c}^{a}\eta_{a}\right) $.

Враховуючи, що джерела виражаються як варіаційні похідні від функціоналу $ \ \Gamma $ як

$ \ J_{i} = -\frac{\partial \Gamma }{\partial \psi_{i}}, ... $,

а також - те, що

$ \ \frac{\delta S}{\delta L_{a}} = \frac{\delta W}{\delta L_{a}} = \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}, ... $,

вираз $ \ (12) $ можна подати як

$ \ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} + \frac{\delta \Gamma}{\delta K_{i}}\frac{\delta \Gamma}{\delta \psi^{i}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 \qquad (9) $.

Рівності $ \ (9) $ називаються тотожностями Славнова-Тейлора, які, подібно до тотожностей Уорда у електродинаміці, застосовуються для доведення перенормовності неабелевих калібрувальних теорій.

Поперечність повного пропагатораEdit

Одним із застосувань тотожностей Славнова-Тейлора до неабелевих калібрувальних теорій є доведення поперечності повного пропагатора. У даному випадку доведення буде пророблене для вільної неабелевої теорії (без полів матерії), проте узагальнення не є складним, оскільки тотожності Славнова-Тейлора у разі наявності матерії модифікуються простим чином.

Отже, покладемо у $ \ (13) $ $ \ J_{i}, K_{i} = 0 $. Тоді воно набуде вигляду

$ \ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 \qquad (10) $.

Як калібрувальна умова буде вибрана "звичайна" умова $ \ f_{a} = (\partial_{\mu}B^{\mu}_{a}) $.

Виразимо варіаційні похідні у явному вигляді:

$ \ \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{\delta W }{\delta K_{\mu}^{a}} = -i \frac{\delta }{\delta K_{\mu}^{a}}ln (Z) = -\frac{i}{Z}\frac{\delta Z}{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{1}{Z} \int D (B,...) \delta B_{\mu}^{a} e^{i(S + S_{source})} $.

Врахуємо тепер $ \ (3) $: $ \ \delta B_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu , c} $, і

$ \ \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{1}{Z} \int D (B,...) \left( \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu , c}\right) e^{i(S + S_{source})} = \partial_{\mu}^{x}\frac{1}{Z}\frac{\delta Z}{i \delta \bar{\eta}^{a}} - gf^{abc}\frac{1}{Z}\frac{\delta^{2}Z}{i \delta J_{\mu}^{c} i\delta \bar{\eta}^{b}} = $

$ \ = \partial_{\mu}^{x} \frac{\delta (iW)}{i\delta \bar{\eta}^{a}} - gf^{abc}\left[ \frac{\delta^{2}(iW)}{i \delta J_{\mu}^{c} i \delta \bar{\eta}^{b}} + \frac{\delta (iW)}{i\delta J_{\mu}^{c}}\frac{\delta (iW)}{i\delta \bar{\eta}^{b}}\right] \quad (11) $.

Використовуючи цю рівність, продиференціюємо $ \ (10) $ по $ \ \frac{\delta }{\delta c^{b}(y)\delta B_{\nu}^{c}(z)} $, поклавши як поля, так і джерела рівними нулю (що означає вакуумний процес): отримаємо

$ \ -\partial_{\mu}^{y}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta B_{\mu}^{b}(y) \delta B_{\nu}^{c}(z)} - gf^{alc}\int d^{4}w d^{4}x\left( \frac{-i\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y) \delta \bar{c}^{d}(w)}\right)\left( \frac{\delta^{3}(iW)}{i\delta \eta_{d}(w) i\delta \bar{\eta}^{l}(x)i\delta J_{\mu}^{c}(x)}\right) \left( \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta B^{c}_{\nu}(z)\delta B^{\mu}_{a}(x)}\right) + \frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}_{z}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y)\delta \bar{c}^{c}(z)} = 0 \qquad (12) $.

Здійснимо перетворення Фур'є цього виразу, враховуючи при цьому, що вирази виду $ \ \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta \varphi_{i} \delta \varphi_{j}^{*}} $ у імпульсному просторі відповідають оберненим пропагаторам. Отримаємо

$ \ p^{\mu}(G^{-1})^{cb}_{\mu \nu}(p) - igf^{ade}G^{ca}_{\nu \mu}(p)\Delta^{-1}_{fb}X^{\mu f e f} + \frac{1}{\alpha}p^{\nu}(\Delta^{-1})^{cb}(p) = 0, \quad X^{\mu f e f} = F\left[\langle | \hat{N}\left( c^{d}(x)\bar{c}^{f}(w)B^{\mu , e}(x)\right)|\rangle \right]\qquad (13) $,

де $ \ F[] $ позначає перетворення Фур'є.

Отримаємо схожу на $ \ (13) $ рівність за допомогою рівняння руху для гостів через сильнозв'язні діаграми (нагадаю, що вона справедлива у фейнманівському калібруванні; узагальнення, втім, елементарне),

$ \ \frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}^{a}(z)} = -\partial^{\mu}_{z}\frac{\delta \Gamma}{\delta K^{\mu , a}(z)} $:

подіявши на нього похідною $ \ \frac{\delta}{\delta c^{b}(y)} $, отримаємо із врахуванням $ \ (10) $

$ \ \frac{\delta^{2} \Gamma}{\delta c^{b}(y) \delta \bar{c}^{a}(z)} = -\partial^{2}\delta^{ab}\delta (y - z) + gf^{adc}\int d^{4}w\left(\frac{-i\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y)\delta \bar{c}^{f}(w)} \right)\partial_{z}^{\mu}\left( \frac{\delta^{3}(i W)}{i \delta J_{\mu}^{c}(z)i\delta \eta^{f}(w)i\delta \bar{\eta}^{d}(z)}\right) $,

або, у імпульсному просторі,

$ \ i(\Delta^{-1})^{ab} = p^{2}\delta^{ab} -i gf^{adc}p^{\mu}X_{\mu}^{dcf}(\Delta^{-1})^{fb} \qquad (14) $.

Рівності $ \ (13)-(14) $ показують поперечну структуру пропагаторів (або на жаргонній мові - поперечну поляризованість вакууму).

Для демонстрації цього достатньо записати обернений пропагатор неабелевих бозонів як суму поперечної та продольної частин

$ \ (G_{\mu \nu}^{ab})^{-1} = (G_{\mu \nu}^{ab})^{-1}_{T} + \frac{i}{\alpha}a \delta^{ab}p_{\mu}p_{\nu} $

(для вільного пропагатора $ \ a = 1 $).

Використовуючи рівність $ \ p^{\mu}(G_{\mu \nu}^{ab})^{-1} = i\frac{a}{\alpha }\delta^{ab}p^{2}p_{\nu} $ і підставляючи її у $ \ (13) $, можна отримати

$ \ i \frac{a}{\alpha}p^{4}\delta^{cb} = -\frac{1}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} - \frac{a}{\alpha}p^{2}gf^{cde}p_{\mu}X^{\mu def}(\Delta^{fb})^{-1} $,

або ж, після використання $ \ (14) $,

$ \ -\frac{1}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} + \frac{a}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} = 0 \Rightarrow a = 1 $.

Звідси слідує факт, що структура пропагатора - поперечна, і продольні вклади успішно перенормовуються.

Більш наочне виведенняEdit

$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $