FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Деяка теорія по представленнямEdit

Перед розглядом незвідних представлень варто розглянути загальні міркування.

По-перше, якщо для деякої групи відповідність \ g \to U(g) реалізує представлення, то й \ g \to \bar{U}(g), де \ \bar{U} - матриця, комплексно спряжена до \ U, також реалізує представлення. Відповідне представлення називається спряженим до даного. Далі, відповідність \ g \to U(g^{-1})^{T} = (U(g)^{-1})^{T} також являється представленням групи. Дійсно, для \ \tilde{U}(g) = (U(g)^{-1})^{T} маємо

\ \tilde{U}(g_{1})\tilde{U}(g_{2}) = (U(g_{1})^{-1})^{T}(U(g_{2})^{-1})^{T} = [U(g_{2})^{-1}U(g_{1})^{-1}]^{T} = [U(g_{2}^{-1})U(g_{1}^{-1})]^{T} = [U(g_{2}^{-1}g_{1}^{-1})]^{T} = [U((g_{1}g_{2})^{-1})]^{T} = \tilde{U}(g_{1}g_{2}).

Вказане представлення називається контраградієнтним. Для унітарних представлень контраградієнтне до \ U представлення співпадає із спряженим: дійсно,

\ U(g)^{+} = U(g)^{-1} = U(g^{-1}) \Rightarrow U(g^{-1})^{T} = U(g)^{*} = \bar{U}(g).

Контраградієнтні представлення дозволяють отримувати інваріанти груп. Дійсно, нехай \ x - вектор із компонентами \ x^{a}, що перетворюється по представленню \ U даної групи, а \ \tilde{y} - ковектор із компонентами \ y_{a}, що перетворюється по контраградієнтному представленню \ \tilde{U}. Тоді

\ x^{a}{'}y_{a}{'} = U_{\ b}^{ a}(g)x^{b}\tilde{U}_{a}^{\ c}(g)y_{c} = U_{\ b}^{a}x^{b}U(g^{-1})^{c}_{\ a}y_{c} = x^{b}U(g^{-1}g)_{\ b}^{c}y_{c} = x^{b}y_{b} = inv.

Розглянемо тепер застосування розвиненого формалізму до групи SU(n).

Тензори \ \delta^{a}_{b}, \varepsilon_{abc..}, \varepsilon^{abc...}, два останні із яких являються абсолютно антисиметричними тензорами, являються інваріантами перетворень групи. Дійсно,

\ \delta_{a}^{b}{'} = \bar{U}_{ac}U_{bd}\delta^{d}_{c} = U_{bc}U^{+}_{ca} = (UU^{+})_{ba} = \delta^{b}_{a},

\ \varepsilon_{a_{1}a_{2}..}{'} = U_{a_{1}b_{1}}U_{a_{2}b_{2}}...\varepsilon_{b_{1}b_{2}...} = det(U)\varepsilon_{a_{1}...a_{n}} = \varepsilon_{a_{1}...a_{n}},

і т.д.

Незвідні представленняEdit

Розглянемо спершу деяке представлення \ U \otimes U із базисом \ e^{a_{1}a_{2}}. Вектори, що відповідають простору представлення, являються коваріантними тензорами другого рангу \ \psi^{ab}. Із цих тензорів можна утворити симетричний та антисиметричний тензори (симетризація та антисиметризація позначаються відповідно круглими та квадратними дужками):

\ \psi^{ab} = \frac{1}{2}\psi^{(ab)} + \frac{1}{2}\psi^{[ab]}.

Підпростір, у якому "діє" симетричний тензор, має \ \frac{n(n + 1)}{2} базисних векторів виду \ Ne^{(a_{1}a_{2})}, а підпростір антисиметричного тензора маєм\ \frac{n(n - 1)}{2} базисних векторів виду \ Ne^{[a_{1}a_{2}]}. Із вигляду базисних векторів видно, що підпростори ортогональні. Можна далі показати, що представлення в підпросторах симетричних та антисиметричних тензорів реалізують незвідне представлення.

Розглянемо тепер деяке представлення \ U \otimes \bar{U} із базисом \ e^{a}_{b}. Наряду з симетричною та антисиметричною частиною тензорів простору представлення, незвідним представленням тепер буде також представлення простору \ \delta_{a}^{b}\psi^{c}_{c}. Дійсно, по-перше,

\ \psi_{c}^{c}{'} = \psi_{c}^{c}, \quad \delta_{a}^{b}{'} = \delta_{a}^{b}.

По-друге, розкладаючи тензор \ \psi_{a}^{b} на безслідову частину і на слід, маємо

\ \psi_{a}^{b} = \frac{1}{n}\delta^{a}_{b}\psi^{c}_{c} + \left( \psi_{a}^{b}-\frac{1}{n}\delta^{a}_{b}\psi^{c}_{c}\right),

де перший і другий доданок відповідають інваріантним ортогональним підпросторам. Це і доводить незвідність представлення \ \psi^{c}_{c}.

Розглянемо тепер тензори довільного порядку. З будь-якого коваріантного тензору рангу \ p можна отримати повністю симетричний тензор, який є незвідним. Нехай кожний індекс пробігає значення від 1 до n. Тоді, якщо \  p \leqslant n, можна утворити також повністю антисиметричний тензор (при \ p > n зробити це, звісно, неможливо). Симетричний тензор рангу \ p має при цьому \ \frac{1}{p!}n(n + 1)...(n + p -1) незалежних компонент, а антисиметричний -\ \frac{1}{p!}n(n - 1)...(n-  p + 1) компонент. Крім вказаних тензорів, є також інші тензори, яки симетризовані по одним парам компонент і антисиметризовані по іншим. Їх будують за допомогою схем Юнга.

Схеми ЮнгаEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Нарешті, представлення, яке реалізується самою групою, називається фундаментальним.

Незвідні представлення групи SU(3)Edit

Користуючись описаними вище методами, нескладно побудувати незвідні представлення групи \ SU(3). Кожен індекс векторів групи може пробігати лише три значення \ 1, 2, 3. Це означає, що не існує антисиметричних незвідних представлень рангу більше трьох. Більше того, за допомогою інваріантних тензорів \ \varepsilon_{abc} можна перетворювати кожну пару антисиметричних верхніх індексів у нижні і навпаки, \ \psi_{a} = \varepsilon_{abc}\psi^{[bc]}, що означає, що всі незвідні представлення групи \ SU(3) можна розглядати як тензори, симетричні по усім верхнім та нижнім індексам, при цьому тензори мають нульовий слід.

Можна символічно подати представлення \ \psi_{(a_{1}...a_{p})}^{(b_{1}...b_{q})} у вигляді \ D(q, p). Кількість незалежних компонент \ D(0, p) дорівнює \ N(0, p) = \sum_{p' = 0}^{p}(p' + 1) = \frac{1}{2}(p + 1)(p + 2); аналогічно, для \ D(q, 0) це число дорівнює \ N(q, 0) = \frac{1}{2}(q + 1)(q + 2). Для загального представлення \ D(q, p) можна міркувати так: при довільності усіх слідів маємо \ N(q, 0;0, p) = N(q, 0)N(0, p) = \frac{1}{4}(q + 1)(q + 2)(p + 1)(p + 2). Число трейсів тензора \ D(q, p) дорівнює числу компонент \ D(q - 1, p - 1), тобто, \ \frac{1}{4}qp(q + 1)(p + 1). У результаті число компонент дорівнює

\ N(q, p) = N(q, 0;0, p) - N(q - 1, 0; 0, p - 1) = \frac{1}{2}(p + 1)(q + 1)(p + q + 2).

Як приклад,

\ N(1, 0) = 3, \quad N(0, 1) = \bar{3}, \quad N(1, 1) = 8, \quad N(3, 0) = 10, \quad N(0, 3) = \bar{10}, \quad N(2, 2) = 27.

Декомпозиція добутку незвідних представленьEdit

Прямі добутки незвідних представлень у загальному випадку є звідними. Не є зайвим для групи \ SU(3) (знадобиться у подальшому) навчитися розкладати їх на незвідні. Для цього можна використати апарат, розвинутий вище.

Візьмемо, наприклад, прямий добуток \ 3 \otimes \bar{3} = D(1, 0)\otimes D(0,1). У матричному представленні відповідний об'єкт задається матрицею 3 на 3. Із неї можна виділити слід, отримавши незвідне представлення \ 1. Безслідова матриця, що залишилася, реалізує представлення \ 8. Отже, \ 3 \otimes \bar{3} = 1 \oplus 8, або \ D(1, 0)\otimes D(0, 1) = D(0, 0) \oplus D(1, 1).

Тепер розглянемо добуток \ 3 \otimes 3. Тут вже слід не є інваріантом, тому треба розкладати результуючу матрицю на симетричну та антисиметричну частини:

\ \psi^{ab} = \frac{1}{2}\psi^{(ab)} + \frac{1}{2}\psi^{[ab]}.

Оскільки антисиметричний тензор другого рангу еквівалентний контраваріантному тензору першого рангу (\ \psi_{a} = \varepsilon_{abc}\psi^{[bc]}, тобто \ \psi_{ab} = \frac{1}{2}\psi^{(ab)} + \frac{1}{2}\varepsilon^{abc}\psi_{c}), то маємо

\ 3 \otimes 3 = \bar{3} \oplus 6.

Аналогічно, \ 3 \otimes 6 можна розкласти наступним шляхом. Із тензора \ \psi^{abc} = \varphi^{a}\kappa^{bc} можна утворити симетризовану комбінацію \ \frac{1}{3}\psi^{(abc)}, яка має 10 компонент і відповідає представленню \ 10 (тобто, \ D(2, 0)). Відповідно, представлення, що залишилось, має 8 незалежних компонент і реалізує представлення \ 8(\ D(1, 1). Отже,

\ 3 \otimes 6 = 8 \oplus 10.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.