Тривимірний випадок. Перетворення для радіус-вектора

Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Перетворення для тривимірного випадку

Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому $\ \mathbf u = (u, 0, 0)$, то вигляд $\ (.0)$ зміниться до

$\ x' = f(x, y, z, t), \quad y' = g(x, y, z, t), \quad z' = F(x, y, z, t), \quad t' = G(x, y, z, t)$.

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при співпаданні початку координат при початку відліку функції звя'зку координат $\ g, F$ при переході між ІСВ набудуть вигляду

$\ y' = A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}t, \quad z' = A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}t \qquad (.8)$.

Нехай далі для першої рівності розглядається точка $\ y' = 0 \Rightarrow y = 0$, а для другої - $\ z' = 0 \Rightarrow z = 0$ (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

$\ 0 = A_{1}x + C_{1}z + D_{1}t, \quad 0 = A_{2}x + B_{2}y + D_{2}t$

повинні виконуватись для будь-яких $\ x, y, z, t$. Це означає, що

$\ A_{1} = C_{1} = D_{1} = A_{2} = B_{2} = D_{2} = 0$,

а отже, $\ (.8)$ набуде вигляду

$\ y' = Ky, \quad z' = Kz \Rightarrow y = \frac{1}{K}y', \quad z = \frac{1}{K}z'$.

причому $\ B_{1} = C_{2}$ як наслідок рівноправності координат $\ y, z$ відносно умови $\ \mathbf u = (u, 0, 0)$.

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна $\ K$ повинна бути рівна $\ \frac{1}{K}$, звідки $\ K = +/- 1$. Обирається варіант $\ K = 1$, оскільки при $\ K = -1$ формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії вісей.

Отже, $\ y' = y, \quad z' = z$. Таким чином, при русі по осі $\ O_{x}$ компоненти $\ y, z$ не змішуються одна з одною, а також - з $\ x, t$, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при $\ y, z$ у виразах для $\ x', t'$ рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

$\ x' = \gamma (x - ut), \quad y' = z, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{ux}{c^{2}}\right) \qquad (.9)$.

Перетворення для радіс-вектора

У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

$\ \mathbf r = \mathbf r_{||} + \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{\perp}' = \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{||}' = \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r_{||})}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}$,

і

$\ t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} }{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \gamma (t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}}) \qquad (.10)$,

$\ \mathbf r' = \mathbf r_{\perp}' + \mathbf r_{||}' = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{ \mathbf r_{||}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} - \frac{\mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} \right| = \mathbf r + \mathbf r_{||}(\gamma - 1) - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma\mathbf r_{||}\frac{u^{2}}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t =$

$\ = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t \qquad (.10)$,

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.

Геометричний зміст перетворень Лоренца. Інтервал

З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

$\ c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} = c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2}$,

яка називається інтервалом $\ \Delta S$ (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).

Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:

$\ c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2} = \frac{(t_{2} - \frac{u x_{2}}{c^2} - (t_{1} - \frac{u x_{1}}{c^2}))^{2} - (x_{2} - ut_{2} - (x_{1} - ut_{1}))^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - 2u\Delta t \Delta x + \frac{ u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2} - \Delta x^{2} + 2u\Delta x \Delta t + u^{2}\Delta t^{2} }{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} =$

$\ = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - u^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} + \frac{u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{(c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2}$.

Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження "події" рівною $\ U$, можна записати вираз для інтервалу наступним чином:

$\ dS^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = |dx^2 - dy^2 - dz^2 = U^2dt^2| = dt^{2}(c^2 - U^{2}) = c^{2}dt^{2}(1 - \frac{U^{2}}{c^{2}}) \geqslant 0$,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу "події", який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.

Інтервал $\ S$, який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторові та часові координати - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:

$\ x = x' ch(\Psi) + ct' sh(\Psi) \qquad (1)$,

$\ ct = x'sh(\Psi) + ct' ch(\Psi) \qquad (2)$.

Звичайно, вирази $\ (1), (2)$ залишають величину інтервалу $\ S$ інваріантною:

$\ x^{2} - c^{2}t^{2} = x'^{2}ch^{2}(\Psi) + 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) + c^{2}t'^{2}sh^{2}(\Psi) - x'^{2}sh^{2}(\Psi) - 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) - c^{2}t'^{2}ch^{2}(\Psi) =$

$\ (x'^{2} - c^{2}t'^{2})(ch^{2}(\Psi) - sh^{2}(\Psi)) = x'^{2} - c^{2}t'^{2}$.

Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності $\ 3 + 1$, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.