FANDOM


Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Перетворення для тривимірного випадкуEdit

Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому \ \mathbf u = (u, 0, 0), то вигляд \ (.0) зміниться до

\ x' = f(x, y, z, t), \quad y' = g(x, y, z, t), \quad z' = F(x, y, z, t), \quad t' = G(x, y, z, t).

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при співпаданні початку координат при початку відліку функції звя'зку координат \ g, F при переході між ІСВ набудуть вигляду

\ y' = A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}t, \quad z' = A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}t \qquad (.8).

Нехай далі для першої рівності розглядається точка \ y' = 0 \Rightarrow y = 0, а для другої - \ z' = 0 \Rightarrow z = 0 (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

\ 0 = A_{1}x + C_{1}z + D_{1}t, \quad 0 = A_{2}x + B_{2}y + D_{2}t

повинні виконуватись для будь-яких \ x, y, z, t. Це означає, що

\ A_{1} = C_{1} = D_{1} = A_{2} = B_{2} = D_{2} = 0,

а отже, \ (.8) набуде вигляду

\ y' = Ky, \quad z' = Kz \Rightarrow y = \frac{1}{K}y', \quad z = \frac{1}{K}z'.

причому \ B_{1} = C_{2} як наслідок рівноправності координат \ y, z відносно умови \ \mathbf u = (u, 0, 0).

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна \ K повинна бути рівна \ \frac{1}{K}, звідки \ K = +/- 1. Обирається варіант \ K = 1, оскільки при \ K = -1 формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії вісей.

Отже, \ y' = y, \quad z' = z. Таким чином, при русі по осі \ O_{x} компоненти \ y, z не змішуються одна з одною, а також - з \ x, t, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при \ y, z у виразах для \ x', t' рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

\ x' = \gamma (x - ut), \quad y' = z, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{ux}{c^{2}}\right) \qquad (.9).

Перетворення для радіс-вектораEdit

У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

\ \mathbf r = \mathbf r_{||} + \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{\perp}' = \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{||}' = \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r_{||})}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}},

і

\ t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} }{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \gamma (t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}}) \qquad (.10),

\ \mathbf r' = \mathbf r_{\perp}' + \mathbf r_{||}' = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{ \mathbf r_{||}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} - \frac{\mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} \right| = \mathbf r + \mathbf r_{||}(\gamma - 1) - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma\mathbf r_{||}\frac{u^{2}}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t =

\ = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t \qquad (.10),

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.

Геометричний зміст перетворень Лоренца. ІнтервалEdit

З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

\ c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} = c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2},

яка називається інтервалом \ \Delta S (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).

Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:

\ c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2} = \frac{(t_{2} - \frac{u x_{2}}{c^2} - (t_{1} - \frac{u x_{1}}{c^2}))^{2} - (x_{2} - ut_{2} - (x_{1} - ut_{1}))^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - 2u\Delta t \Delta x + \frac{ u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2} - \Delta x^{2} + 2u\Delta x \Delta t + u^{2}\Delta t^{2} }{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} =

\ = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - u^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} + \frac{u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{(c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2}.

Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження "події" рівною \ U, можна записати вираз для інтервалу наступним чином:

\ dS^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = |dx^2 - dy^2 - dz^2 = U^2dt^2| = dt^{2}(c^2 - U^{2}) = c^{2}dt^{2}(1 - \frac{U^{2}}{c^{2}}) \geqslant 0,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу "події", який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.

Інтервал \ S, який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторові та часові координати - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:

\ x = x' ch(\Psi) + ct' sh(\Psi) \qquad (1),

\ ct = x'sh(\Psi) + ct' ch(\Psi) \qquad (2).

Звичайно, вирази \ (1), (2) залишають величину інтервалу \ S інваріантною:

\ x^{2} - c^{2}t^{2} = x'^{2}ch^{2}(\Psi) + 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) + c^{2}t'^{2}sh^{2}(\Psi) - x'^{2}sh^{2}(\Psi) - 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) - c^{2}t'^{2}ch^{2}(\Psi) =

\ (x'^{2} - c^{2}t'^{2})(ch^{2}(\Psi) - sh^{2}(\Psi)) = x'^{2} - c^{2}t'^{2}.

Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності \ 3 + 1, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.