FANDOM


Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Перетворення для тривимірного випадкуEdit

Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому $ \ \mathbf u = (u, 0, 0) $, то вигляд $ \ (.0) $ зміниться до

$ \ x' = f(x, y, z, t), \quad y' = g(x, y, z, t), \quad z' = F(x, y, z, t), \quad t' = G(x, y, z, t) $.

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при співпаданні початку координат при початку відліку функції звя'зку координат $ \ g, F $ при переході між ІСВ набудуть вигляду

$ \ y' = A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}t, \quad z' = A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}t \qquad (.8) $.

Нехай далі для першої рівності розглядається точка $ \ y' = 0 \Rightarrow y = 0 $, а для другої - $ \ z' = 0 \Rightarrow z = 0 $ (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

$ \ 0 = A_{1}x + C_{1}z + D_{1}t, \quad 0 = A_{2}x + B_{2}y + D_{2}t $

повинні виконуватись для будь-яких $ \ x, y, z, t $. Це означає, що

$ \ A_{1} = C_{1} = D_{1} = A_{2} = B_{2} = D_{2} = 0 $,

а отже, $ \ (.8) $ набуде вигляду

$ \ y' = Ky, \quad z' = Kz \Rightarrow y = \frac{1}{K}y', \quad z = \frac{1}{K}z' $.

причому $ \ B_{1} = C_{2} $ як наслідок рівноправності координат $ \ y, z $ відносно умови $ \ \mathbf u = (u, 0, 0) $.

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна $ \ K $ повинна бути рівна $ \ \frac{1}{K} $, звідки $ \ K = +/- 1 $. Обирається варіант $ \ K = 1 $, оскільки при $ \ K = -1 $ формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії вісей.

Отже, $ \ y' = y, \quad z' = z $. Таким чином, при русі по осі $ \ O_{x} $ компоненти $ \ y, z $ не змішуються одна з одною, а також - з $ \ x, t $, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при $ \ y, z $ у виразах для $ \ x', t' $ рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

$ \ x' = \gamma (x - ut), \quad y' = z, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{ux}{c^{2}}\right) \qquad (.9) $.

Перетворення для радіс-вектораEdit

У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

$ \ \mathbf r = \mathbf r_{||} + \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{\perp}' = \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{||}' = \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r_{||})}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} $,

і

$ \ t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} }{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \gamma (t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}}) \qquad (.10) $,

$ \ \mathbf r' = \mathbf r_{\perp}' + \mathbf r_{||}' = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{ \mathbf r_{||}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} - \frac{\mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} \right| = \mathbf r + \mathbf r_{||}(\gamma - 1) - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma\mathbf r_{||}\frac{u^{2}}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t = $

$ \ = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t \qquad (.10) $,

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.

Геометричний зміст перетворень Лоренца. ІнтервалEdit

З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

$ \ c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} = c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2} $,

яка називається інтервалом $ \ \Delta S $ (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).

Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:

$ \ c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2} = \frac{(t_{2} - \frac{u x_{2}}{c^2} - (t_{1} - \frac{u x_{1}}{c^2}))^{2} - (x_{2} - ut_{2} - (x_{1} - ut_{1}))^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - 2u\Delta t \Delta x + \frac{ u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2} - \Delta x^{2} + 2u\Delta x \Delta t + u^{2}\Delta t^{2} }{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = $

$ \ = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - u^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} + \frac{u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{(c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} $.

Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження "події" рівною $ \ U $, можна записати вираз для інтервалу наступним чином:

$ \ dS^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = |dx^2 - dy^2 - dz^2 = U^2dt^2| = dt^{2}(c^2 - U^{2}) = c^{2}dt^{2}(1 - \frac{U^{2}}{c^{2}}) \geqslant 0 $,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу "події", який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.

Інтервал $ \ S $, який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторові та часові координати - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:

$ \ x = x' ch(\Psi) + ct' sh(\Psi) \qquad (1) $,

$ \ ct = x'sh(\Psi) + ct' ch(\Psi) \qquad (2) $.

Звичайно, вирази $ \ (1), (2) $ залишають величину інтервалу $ \ S $ інваріантною:

$ \ x^{2} - c^{2}t^{2} = x'^{2}ch^{2}(\Psi) + 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) + c^{2}t'^{2}sh^{2}(\Psi) - x'^{2}sh^{2}(\Psi) - 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) - c^{2}t'^{2}ch^{2}(\Psi) = $

$ \ (x'^{2} - c^{2}t'^{2})(ch^{2}(\Psi) - sh^{2}(\Psi)) = x'^{2} - c^{2}t'^{2} $.

Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності $ \ 3 + 1 $, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.