FANDOM


Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Скірміони у кіральних ефективних теоріях поляEdit

Розглянемо \ d-вимірну дію у евклідовому часі (або, еквівалентно, енергію у \ d просторових вимірах) кіральної ефективної теорії поля КХД, яка побудована як теорія, що описує псевдоголдстоунівські фази, які параметризують фактор-простір \ G \sim SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)/SU_{V}(3) \sim SU(3):

\ S = -\int d^{d}x\left( \frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[\partial_{i}U\partial_{i}U^{-1}] + ...\right), \quad U = e^{i\frac{\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}.

Стоїть питання: чи існують у теорії нетривіальні польові конфігурації такі, для яких дія \ S скінченна? Виявляється, існують, причому їх існування продиктована топологією. Дійсно, для скінченності дії похідні від піонних полів \ \partial_{i}\pi_{a}(\mathbf x) мають зникати на нескінченності швидше, ніж \ |\mathbf x|^{-d/2}. Це означає, що самі поля мають прямувати на нескінченності до константи \ \pi_{a}^{\infty}, а інші члени мають занулятися швидше, ніж \ |\mathbf x|^{-\frac{d-2}{2}}. Голдстоунівські поля \ \pi_{a} утворюють у кожній точці фактор-простір \ G, тому будь-яке значення полів у даній точці можна перетворити у інше значення за допомогою перетворення із \ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3) ; наприклад, можна занулити \ \pi_{a}^{\infty}. Таким чином, \ \pi_{a}(x) представляє собой відображення усього \ d-вимірного простору часу, у якому сфера \ x = \infty являється однією точкою, у багатовид \ G усіх значень поля.

\ d-вимірний простір же, у якому \ d-1-вимірна сферична поверхня на нескінченності являється однією точкою, топологічно еквівалентно \ d-вимірній сфері \ S_{d} (поверхні \ d+1-вимірної кулі) у тому сенсі, что кожен із цих багатовидів може бути неперервно відображений у інший. Тому поля \ \pi_{a}(\mathbf x) , що обертаються у нуль на нескінченності, можна прокласифікувати по топологічно різним відображенням \ S_{d} на багатовид \ G польових змінних, для яких точка на нескінченності відображається в нуль, тобто, по гомотопічним класам гомотопічної групи \ \pi_{d}(G). Для \ G \sim SU(3), як є для кіральної теорії поля КХД, і при \ d = 3 виявляється, що \ \pi_{3}(SU(3)) = Z, тобто, топологічна група нетривіальна. Нетривіальні польові конфігурації, які залишають енергію скінченною при \ d = 3, називаються скірміонами.

Відповідний інтегральний інваріант Маурера-Картана має вигляд

\ n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{3}\mathbf r e^{ijk}\text{Tr}\left( U\partial_{i}U^{-1}U\partial_{j}U^{-1}U\partial_{k}U^{-1}\right) \qquad (1).

Стабільність скірміонних розв'язків. Векторні мезониEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Скірміони як баріониEdit

Їжакова конфігураціяEdit

Баріонне число та статистика скірміонуEdit

Нехай спочатку є "гола" кіральна теорія поля із дією

\ S = \int d^{4}x \frac{f_{\pi}^{2}}{4}\text{Tr}\left[ \partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{\dagger}\right] - N_{c}\Gamma_{WZ} \qquad (3).

Користуючись нею, можна визначити квантові числа скірміону.

По-перше, визначимо баріонне число скірміону. Із розділу про член Весса-Зуміно відомо, що аномальна частина баріонного струму у термінах \ U має вигляд

\ J^{\mu}_{B} = \frac{1}{24 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}\left( U^{-1}\partial_{\nu}UU^{-1}\partial_{\alpha}UU^{-1}\partial_{\beta}U\right)\qquad (2).

Інтеграл від нульової компоненти \ (2), або баріонний заряд, співпадає із топологічним інваріантом Маурера-Картана \ (1). У результаті скірміон із топологічним числом \ n несе баріонний заряд \ n.

Що можна сказати про спінову статистику скірміону? Для відповіді на це питання треба розглянути два процеси, в ході одного з яких скірміон знаходиться у спокої протягом часу \ T, а в ході іншого той же скірміон обертається на кут в \ 2\pi протягом того же часу \ T. У дії \ (2) ці два процеси розрізняє лише член Весса-Зуміно. Дійсно, звичайний член для скірміону, що не рухається поступально, дає

\ \sim \int dt \text{Tr}\left[\partial_{t}U\partial_{t}U^{\dagger} \right] = 0,

оскільки підинтегральна функція є другого порядку по похідним.

Член Весса-Зуміно же ненульовий відносно для даного процесу. Дійсно, скірміонне поле можна представити у вигляді

\ V(x) = \begin{pmatrix}W(x) & 0 \\ \hat{0} & 0 \end{pmatrix},

де \ W(x) - матриця групи \ SU(2), яка є інваріантною відносно комбінованих ізоспінових обертань та обертання просторової координати \ x_{i}. Іншими словами, обертання на кут \ 2 \pi навколо ізоспінової осі, що генерується оператором \ \tau_{3} = \text{diag}(1, -1), еквівалентне обертанню на кут \ 2 \pi навколо осі \ z. Вводячи періодичну часову координату \ t, що пробігає значення від нуля до \  2 \pi, це твердження можна подати у вигляді

\ W(x, t) = e^{i\frac{\tau_{3}t}{2}}V(x)e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}} = W(R_{3}(t)x).

Отже, поле

\ V(x, t) \equiv W(x, t) = \begin{pmatrix} e^{i\frac{\tau_{3}t}{2}}V(x)e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}} & 0 \\ \hat{0} & 1\end{pmatrix}V(x)\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}}V(x)e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}} & 0 \\ \hat{0} & 1\end{pmatrix}

описує скірміон, що обертається навколо вісі \ Oz на кут \ 2 \pi. Перед обчисленням члену Весса-Зуміно для такої конфігурації варто подати \ V(x, t) у більш зручному вигляді. Користуючись блочною діагональністю \ V(x) і тим, що

\ e^{i\frac{\tau_{3}t}{2}} = cos\left(\frac{t}{2}\right) + i\sin\left( \frac{t}{2}\right)\tau_{3} = \begin{pmatrix} e^{\frac{it}{2}} & 0 \\ 0 & e^{-\frac{it}{2}}\end{pmatrix},

маємо

\ V(x, t) = e^{\frac{it}{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\frac{it}{2}} \end{pmatrix}V(x)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\frac{it}{2}} \end{pmatrix}e^{-\frac{it}{2}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{it} \end{pmatrix}V(x)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-it} \end{pmatrix}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.