FANDOM


Повернутися до розділу "Спін 1".

У цьому розділі наочно демонструється діраківський підхід до квантування теорій зі зв'язками першого та другого роду.

Розглянемо лагранжіан векторного поля спіну 1:

$ \ L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \lambda_{0}m^{2}A^{2} + \left(L_{other}(\Psi , \partial_{\mu} \Psi ) - A^{\mu}j_{\mu} \right) \qquad (1) $,

де у масивному випадку $ \ \lambda_{0} = 1 $, а для безмасового - $ \ \lambda_{0} = 0 $.

Одразу можна побачити, що теорія містить первинний зв'язок (тут і далі у рівняннях зв'язків під знаком рівності зв'язку нулю мається на увазі слабка рівність, що означає занулення зв'язку лише після отримання усіх рівнянь чи після введення дужки Дірака)

$ \ \pi_{0} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}A_{0})} = 0 \qquad (2) $.

Це є, як було показано у розділі про діраківський підхід, наслідком того, що матриця $ \ C^{\mu \nu} = \frac{\partial^{2}L}{\partial \left(\partial_{0}A_{\mu} \right) \partial \left(\partial_{0}A_{\nu} \right)} $ являється виродженою.

Розглянемо тепер окремо безмасовий і масивний випадок.

Безмасовий випадокEdit

Рівняння для поля $ \ A_{\mu} $ дають

$ \ \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = j^{\nu} $,

або, у явному вигляді через 4-потенціал та канонічні імпульси $ \ \pi_{i} = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{0}A^{i})} = F_{0i} $,

$ \ -\Delta A_{0} - \partial_{0} \partial_{i}A^{i} - j_{0} = \partial_{i}\pi^{i} - j_{0}= 0 \qquad (3) $,

$ \ \partial^{2}A_{j} + \partial_{j}(\partial_{\mu}A^{\mu}) = j_{j} \qquad (4) $.

Перше рівняння не містить других похідних по часу і водночас відповідає сумісності зв'язку $ \ (2) $ із рівняннями руху. Через це воно являється ще одним зв'язком теорії. Воно має нульову похідну по часу: дійсно (для зручності - у формі рівняння на $ \ F_{\mu \nu} $),

$ \ \partial_{0}\left(\partial_{\mu}F^{\mu 0} - j^{0}\right) = |F^{00} = 0| = \partial_{i}\partial_{0}F^{i 0} - \partial_{0}j^{0} = |\partial_{0}F^{i 0} = -j^{i} + \partial_{j}F^{ij}| = \partial_{i}j^{i} + \partial_{0}j^{0} + \partial_{i}\partial_{j}F^{ij} = 0 $,

де використані рівняння Максвелла $ \ \partial_{\mu}F^{j\mu} = j^{j} $, рівняння неперевності $ \ \partial^{\mu}j_{\mu} = 0 $ та антисиметричність тензору $ \ F_{ij} $ (тому згортка з тензором похідних рівна нулю).

Набір зв'язків $ \ (2), (3) $ являється повним набором зв'язків теорії.

З'ясуємо, якого роду ці зв'язки $ \ F_{1}, F_{2} $. Для цього обчислимо їх дужку Пуассона:

$ \ [F_{1}, F_{2}]_{P} = \left[\pi_{0}, \partial^{i}\pi_{i} - j_{0} \right]_{P} = 0 $.

Отже, зв'язки - першого роду. У цьому разі, як було показано у вже цитованому розділі, існують перетворення симетрії, що залишають гамільтоніан інваріантним. Вони є нічим іншим, як калібрувальними перетвореннями. Покажу їх вплив на невизначеність динаміки явно на прикладі електродинаміки: знаючи значення поля $ \ A_{\mu} $ в даний момент часу $ \ t_{0} $, можна отримати нескінченно багато виразів $ \ A_{\mu}' = A_{\mu} + \partial_{\mu} \alpha , \partial_{\mu} \alpha (t_{0}) = \partial^{2}\alpha (t_{0}) = 0 $ таких, що також дають значення $ \ A_{\mu}(t_{0}) $. Отже, калібрувальна інваріантність призводить до невизначеності динаміки калібрувальних полів. Найстандартніший спосіб боротися із цим - зафіксувати калібрування.

Оберемо, наприклад, кулонівське калібрування. Тоді рівняння $ \ (3) $ буде зведене до вигляду

$ \ -\Delta A_{0} = j_{0} \Rightarrow A_{0}(\mathbf x , t) = \int \frac{j_{0}(\mathbf y , t)}{4 \pi |\mathbf x - \mathbf y|}d^{3}\mathbf r $,

тобто, воно визначає $ \ A_{0} $ у даний момент часу як функціонал від $ \ j_{0} $ (який є функцією від канонічних координат та імпульсів матерії, $ \ j_{0} = i\sum_{l}\frac{\partial L_{M}}{\partial (\partial_{0}\Psi_{l})}q_{l}\Psi_{l} = i\sum_{l} Q^{l}_{M}q_{l}\Pi^{l}_{M} $). У всі інші рівняння тепер можна підставляти цей вираз.

До речі, не зайвим буде отримати вираз для функції Гамільтона: враховуючи, що $ \ \pi_{i} = F_{0i} = E_{i} $, а вільний член $ \ F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} $ рівний $ \ 2 (\mathbf E^{2} + \mathbf B^{2}) $, маємо

$ \ H = \int d^{3}\mathbf r \left( E^{i}\partial_{0}A_{i} + \pi^{i}_{other}\partial_{0}\Psi^{i}_{other} - \frac{1}{2}\left( \mathbf E^{2} - \mathbf B^{2}\right) - A_{\mu}j_{\mu} - L_{other})\right) = \int d^{3}\mathbf r\left( \frac{1}{2}\left( \mathbf E^{2} + \mathbf B^{2}\right) -A_{0}\left(\partial_{i}E^{i} - j_{0} \right) + A_{i}j^{i} + H_{other}\right) $,

де у другій рівності я відняв і додав $ \ \partial_{i}A_{0} $, вираз $ \ E^{i}(\partial_{0}A_{i} - \partial_{i}A_{0}) $ я замінив на $ \ E^{i}F_{0i} = \mathbf E^{2} $, а $ \ E^{i}\partial_{i}A_{0} $, за допомогою інтегрування по частинам та врахування того, що на нескінченності поля зникають, на $ \ -A_{0}\partial_{i}E^{i} $.

Видно тепер, що в силу відсутності у гамільтоніані $ \ \pi_{0} $ можна розглядати доданок $ \ -A_{0}\left(\partial_{i}E^{i} - j_{0} \right) $ як добуток функції зв'язку на лагранжів множник $ \ A_{0} = \lambda $, виключивши, таким чином, канонічні змінні $ \ A_{0}, \pi_{0} $ із гамільтоніану взагалі. Платою за це є формальне введення лагранжевого множнику $ \ \lambda $.

Масивний випадокEdit

Для масивного випадку маємо вторинний зв'язок

$ \ \partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0} \approx 0 \qquad (5) $,

який відповідає індексу $ \ \nu = 0 $ рівнянь Лагранжа $ \ \partial_{\mu}F^{\mu \nu} + m^{2}A^{\nu} = j^{\nu} $.

Дужка Пуассона $ \ (4), (2) $ рівна $ \ [F_{1}, F_{2}]_{P} = m^{2}\delta (\mathbf x - \mathbf y) \qquad (6) $,

що говорить про те, що для масивного поля $ \ (2), (4) $ утворюють систему зв'язків другого роду. Тому зв'язки можна покласти тотожно рівними нулю, замінивши дужки Пуассона на дужки Дірака:

$ \ [f, g]_{P} \to [f, g]_{D} = [f, g]_{P} - [f, \varepsilon_{i}]_{P}\Delta^{-1}_{ij}[\varepsilon_{j}, g]_{P} $,

де $ \ \varepsilon_{i} $ - множина усіх зв'язків другого роду, а $ \ \Delta_{ij} $ - матриця дужок Пуассона цих зв'язків один із одним. При цьому можна виразити $ \ A_{0} $ через $ \ (5) $.

Побудуємо дужки Дірака для цієї теорії. В силу $ \ (6) $

$ \ \Delta_{(1, x), (2, y)} = -\Delta_{(2, x), (1, y)} = m^{2}\delta (\mathbf x - \mathbf y), \Delta_{(1, x), (1, y)} = \Delta_{(2, x), (2, y)} = 0 $,

звідки

$ \ \Delta_{(1, x), (2, y)}^{-1} = -\Delta^{-1}_{(2, x), (1, y)} = \frac{1}{m^{2}}\delta (\mathbf x - \mathbf y), \quad \Delta^{-1}_{(1, x), (1, y)} = \Delta^{-1}_{(2, x), (2, y)} = 0 $.

Звідси дужка Дірака для такої теорії буде рівна

$ \ [A, B]_{D} = [A, B]_{P} - \frac{1}{m^{2}}\int d^{3}\mathbf x d^{3}\mathbf y \delta (\mathbf x - \mathbf y )\left([A, \pi_{0}(\mathbf x)]_{P}\left[(\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf y), B\right]_{P} - \left[A, (\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf x)\right]_{P}[\pi_{0}(\mathbf y), B]_{P}\right) $ =

$ \ [A, B]_{P} - \frac{1}{m^{2}} \int d^{3}\mathbf x \left([A, \pi_{0}(\mathbf x)]_{P}\left[(\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf x), B\right]_{P} - \left[A, (\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf x)\right]_{P}[\pi_{0}(\mathbf x), B]_{P}\right) \qquad (7) $.

Залишилося лише проквантувати теорію. Враховуючи канонічні співвідношення $ \ [A_{i}(\mathbf x), \pi_{j}(\mathbf y)]_{P} = \delta_{ij}\delta (\mathbf x - \mathbf y), [A_{i}, A_{j}]_{P} = [\pi_{i}, \pi_{j}]_{P} = 0 $, маємо $ \ [A_{i}(\mathbf x ), B_{j}(\mathbf y) ]_{D} = -i[A_{i}(\mathbf x), \pi_{j}(\mathbf y )] $, і $ \ (7) $ дає

$ \ [\hat {A}_{i}(\mathbf x), \hat {A}_{j}(\mathbf y)] = [\hat {\pi}_{i}(\mathbf x), \hat {\pi}_{j}(\mathbf y)] = 0, \quad [\hat {A}_{i}(\mathbf x), \hat {\pi}_{j}(\mathbf y )] = i\delta_{ij}\delta (\mathbf x - \mathbf y) $.