FANDOM


Інтуїтивно зрозумілим введення тензору енергії-імпульсу частинок буде на основі перетворення коваріантного рівняння руху для електродинаміки.

У коваріантному рівнянні руху,

$ \ m \frac{dv^{\alpha}}{d \tau} = \frac{q}{c}F^{\alpha \beta}v_{\beta} \qquad (.1) $,

зправа стоїть величина заряду системи частинок. Густина заряду однієї частинки рівна

$ \ \rho (\mathbf r , t) = q \delta (\mathbf r - \mathbf r_{0} (t)) \qquad (.2) $.

Це ідейно наводить на думку введення густини маси точкової частинки

$ \ \mu (\mathbf r , t) = m \delta (\mathbf r - \mathbf r_{0}(t)) \qquad (.3) $.

Для такої величини, по аналогії із 4-вектором густиною струму, можна ввести 4-вектор потоку маси

$ \ J^{\alpha} = \mu \frac{dx^{\alpha}}{cdt} = ( \mu , \frac{1}{c}\mu \mathbf v), \quad \partial_{\alpha}J^{\alpha} = 0 \qquad (.4) $.

Переписавши $ \ (.1) $ через $ \ (.2)-(.4) $, можна, помноживши на дельта-функцію зліва та зправа, а після - на величину $ \ \frac{ds}{dt} $, отримати

$ \ \mu \frac{dv^{\alpha}}{d\tau}\frac{ds}{dt} = \mu c\frac{dv^{\alpha}}{dt} =_{right} = \frac{1}{c}F^{\alpha \beta}\rho v_{\beta}\frac{ds}{dt} = \left|j_{\beta} = \rho \frac{dx_{\beta}}{c dt} = \frac{1}{c}\rho v_{\beta}\frac{ds}{dt}\right| = F^{\alpha \beta}j_{\beta} $.

Далі треба врахувати, що для неперервного середовища, у якому розподілені маса і заряд, в кожній його точці змінюється не лише їх густина, а й швидкість. Отже, швидкість стає функцією координат.

Тому для $ \ v^{\alpha} = (\gamma c, \gamma \mathbf v ) $ повна похідна по часу буде рівна

$ \ \frac{dv^{\alpha}}{dt} = (\partial_{\beta}v^{\alpha})\frac{dx^{\beta}}{dt} $.

В результаті, вираз $ \ \mu \frac{dv^{\alpha}}{dt} $ можна записати, користуючись рівнянням неперервності $ \ \partial_{\beta}J^{\beta} = 0 $:

$ \ \mu c\frac{dv^{\alpha}}{dt} = \mu c(\partial_{\beta}v^{\alpha})\frac{dx^{\beta}}{dt} = c^{2}J^{\beta}\partial_{\beta}v^{\alpha} = \partial_{\beta}(c^{2}J^{\beta}v^{\alpha}) =_{right} = F^{\alpha \beta}j_{\beta} $.

Можна ввести симетричний тензор

$ \ \Tau^{\alpha \beta} = c^{2}J^{\alpha}v^{\beta} = \mu c\frac{dx^{\alpha}}{dt}v^{\beta} = \mu c^{2} \frac{d \tau}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{ds}v^{\beta} = \mu c^{2} \frac{d\tau}{dt}v^{\alpha}v^{\beta} $.

У явному вигляді його компоненти записуються як

$ \ \Tau^{00} = \mu \gamma_{\mathbf v}c^{2}, \Tau^{0i} = \Tau^{i0} = \mu \gamma_{\mathbf v}v^{i}, \Tau^{ij} = \Tau^{ji} = \mu \gamma_{\mathbf v}v^{i}v^{j} $.

Видно, що нульова компонента відповідає густині енергії частинки (частинок), розділеній на константу $ \ c $ а компоненти $ \ 0i, i0 $ - густинам імпульса.

Із введення видно, що

$ \ \partial_{\beta}\Tau^{\alpha \beta} = F^{\alpha \beta}j_{\beta} $.

Даний тензор у такому вигляді можна, звичайно ж, ввести не лише для електромагнітного поля, а й у більш загальному вигляді, оскільки він залежить від потоку маси частинок та їх швидкості, на які може впливати як електромагнітне, так і гравітаційне поле. Нарешті, його можна ввести самого по собі. Проте такий тензор не характеризує взаємодію частинок, оскільки саме його визначення означає відсутність взаємодії (і пов'язане лише з потоком маси частинок під дією зовнішніх сил). У наступному підрозділі буде розглянуто більш загальний випадок тензору енергії-імпульсу макроскопічного середовища.