FANDOM


Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Виділення безслідової частини у тензорі кривини. Тензор ВейляEdit

Тензор Річчі та скалярна кривина відповідають згорткам тензору кривини із метричними тензорами (слідам по індексам) і, по суті, містять всю інформацію про слід тензору кривини. Чисто математично тоді можна виділити безслідову частину у цього тензору. Тоді тензор кривини можна буде записати у вигляді суми незвідних (як кажуть) компонент, де незвідність кожного доданку розуміється у сенсі незмінності властивостей цього доданку при здійсненні координатних перетворень.

Для цього варто врахувати, що

\ g^{\lambda \sigma} R_{\lambda \alpha \sigma \beta} = R_{\alpha \beta}, \quad g^{\lambda \sigma}g^{\alpha \beta}R_{\lambda \alpha \sigma \beta} = R.

Тому, щоб отримати безслідовий тензор із усіма симетріями тензора Рімана (очевидна вимога, що слідує із того, що розклад буде вестися по компонентам, кожна з яких задовольняє всім властивостям тензора), треба взяти наступне співвідношення:

\ C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = R_{\lambda \alpha \sigma \beta} - T_{\lambda \alpha \sigma \beta} - B_{\lambda \alpha \sigma \beta}.

Другий тензор буде пов'язаний із тензорами Річчі (оскільки згортка метричного тензора з тензором кривини дає тензор Річчі), а третій - із скалярною кривиною (подвійна згортка дає кривину); у обидвох тензорах будуть фігурувати метричні тензори. Рівність є алгебраїчною, оскільки відбувається звичайний розклад на незвідні компоненти. Коефіцієнти-множники при тензорах тоді можна буде просто підібрати так, щоб слід від згорток був тотожньо рівним нулю.

Враховуючи симетрії тензора Рімана,

\ R_{\lambda \alpha \sigma \beta} = -R_{\alpha \lambda \sigma \beta} = -R_{\alpha \lambda \beta \sigma } = R_{\sigma \beta \lambda \alpha },

для другого тензора можна записати, що

\ T_{\lambda \alpha \sigma \beta} = A \left( R_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - R_{\lambda \beta}g_{\alpha \sigma} + R_{\alpha \beta}g_{\lambda \sigma} - R_{\alpha \sigma}g_{\lambda \beta}\right).

Дійсно, два перших доданки реалізують антисиметрію по першим двом індексам, останні два - по другим двом індексам. Знак "+" між першим-другим та третім-четвертим доданками реалізує симетрію за перестановкою пар індексів.

Аналогічно - із третім тензором:

\ B_{\lambda \alpha \sigma \beta} = BR(g_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - g_{\lambda \beta} g_{\alpha \sigma}).

Отже,

\ C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = R_{\lambda \alpha \sigma \beta} - A \left( R_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - R_{\lambda \beta}g_{\alpha \sigma} + R_{\alpha \beta}g_{\lambda \sigma} - R_{\alpha \sigma}g_{\lambda \beta}\right) - BR(g_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - g_{\lambda \beta} g_{\alpha \sigma}),

і, один раз згортаючи за індексами, можна отримати:

\ g^{\lambda \sigma}C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = R_{\alpha \beta} - A(Rg_{\alpha \beta} - R_{\alpha \beta} + 4R_{\alpha \beta} - R_{\alpha \beta}) - 3BRg_{\alpha \beta} = 0.

Звідси, прирівнюючи коефіцієнти при тензорі Річчі та скалярній кривині, можна отримати

\ 1 - 2A = 0 \Rightarrow A = \frac{1}{2}, \quad -A - 3B = -\frac{1}{2} - 3B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{6}.

Отже,

\ C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = R_{\lambda \alpha \sigma \beta} - \frac{1}{2} \left( R_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - R_{\lambda \beta}g_{\alpha \sigma} + R_{\alpha \beta}g_{\lambda \sigma} - R_{\alpha \sigma}g_{\lambda \beta}\right) + \frac{1}{6}R(g_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - g_{\lambda \beta} g_{\alpha \sigma}).

Даний тензор називається тензором Вейля.

Тензор Вейля та гравітаційні хвиліEdit

Можна знайти для тензору Вейля співвідношення типу другої тотожності Б'янкі. Для цього можна взяти від нього дивергенцію:

\ D^{\lambda}C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = D^{\lambda}R_{\lambda \alpha \sigma \beta} - \frac{1}{2} D^{\lambda}\left( R_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - R_{\lambda \beta}g_{\alpha \sigma} + R_{\alpha \beta}g_{\lambda \sigma} - R_{\alpha \sigma}g_{\lambda \beta}\right) + \frac{1}{6}D^{\lambda}R(g_{\lambda \sigma}g_{\alpha \beta} - g_{\lambda \beta} g_{\alpha \sigma}) = |D^{\lambda}g_{\beta \gamma} = 0| =

\ = D^{\lambda}R_{\lambda \alpha \sigma \beta} - \frac{1}{2}g_{\alpha \beta}D^{\lambda}R_{\lambda \sigma} + \frac{1}{2}g_{\alpha \sigma}D^{\lambda}R_{\lambda \beta} - \frac{1}{2}D_{\sigma} R_{\alpha \beta} + \frac{1}{2}D_{\beta} R_{\alpha \sigma} + \frac{1}{6}g_{\alpha \beta}D_{\sigma}R - \frac{1}{6}g_{\alpha \sigma}D_{\beta}R.

Перші три доданки можна перетворити. Для перетворення першого можна скористатися другою тотожністю Б'янкі та симетріями тензора кривини:

\ D^{\lambda}R_{\lambda \alpha \sigma \beta} = D_{\lambda}R^{\lambda}_{\quad \alpha \sigma \beta} = -D_{\beta}R^{\lambda}_{\quad \alpha \lambda \sigma} - D_{\sigma}R^{\lambda}_{\quad \alpha \beta \lambda} = -D_{\beta}R_{\alpha \sigma} + D_{\sigma}R_{\alpha \beta}.

Другий та третій доданок, як було показано у розділі про рівняння Ейнштейна, можуть бути перетворені за допомогою згортки другої тотожності Б'янкі по індексам:

\ D^{\lambda}R_{\lambda \sigma} = \frac{1}{2}D_{\sigma} R, \quad D^{\lambda}R_{\lambda \beta} = \frac{1}{2}D_{\beta} R.

Отже,

\ D^{\lambda}C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = -D_{\beta}R_{\alpha \sigma} + D_{\sigma}R_{\alpha \beta} - \frac{1}{4}g_{\alpha \beta}D_{\sigma} R + \frac{1}{4}g_{\alpha \sigma}D_{\beta} R - \frac{1}{2}D_{\sigma} R_{\alpha \beta} + \frac{1}{2}D_{\beta} R_{\alpha \sigma} + \frac{1}{6}g_{\alpha \beta}D_{\sigma}R - \frac{1}{6}g_{\alpha \sigma}D_{\beta}R =

\ =\frac{1}{2}D_{\sigma} R_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}D_{\beta}R_{\alpha \sigma} + \frac{1}{12}(g_{\alpha \sigma}D_{\beta} R - g_{\alpha \beta}D_{\sigma}R).

Цю рівність можна переписати у термінах тензора енергії-імпульса та скалярної кривини. Використавши рівняння Ейнштейна,

\ R_{\alpha \beta} = 8\pi G T_{\alpha \beta} + \frac{1}{2}g_{\alpha \beta} R, \quad R = -8 \pi G T,

можна отримати

\ D^{\lambda}C_{\lambda \alpha \sigma \beta} = 4 \pi G (D_{\sigma}T_{\alpha \beta} - D_{\beta}T_{\alpha \sigma}) + \frac{1}{6}(g_{\alpha \beta}D_{\sigma}R - g_{\alpha \sigma}D_{\beta}R) = 4 \pi G \left(D_{\sigma}T_{\alpha \beta} - D_{\beta}T_{\alpha \sigma} + \frac{1}{3}(g_{\alpha \sigma}D_{\beta}T - g_{\alpha \beta}D_{\sigma}T)\right).

Рівняння, доповнене граничними умовами, може бути проінтерпретовано як рівняння на гравітаційні хвилі. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Інваріантність тензору Вейля відносно конформних перетворень метрикиEdit

Тензор Вейля можна отримати через процедуру знаходження тензору, який є інваріантним відносно конформних перетворень метрики \ g_{\alpha \beta}{'} = e^{\varepsilon \varphi } g_{\alpha \beta} . Це доцільно довести, розглянувши інфінітезимальні конформні перетворення \ g_{\alpha \beta}{'} \approx (1 + \varepsilon \varphi ) g_{\alpha \beta}. Тоді відповідна варіація метричного тензору рівна

\ \delta g_{\alpha \beta} = g_{\alpha \beta}{'} - g_{\alpha \beta} = \varepsilon \varphi g_{\alpha \beta},

а варіація символу Кристоффеля -

\ \delta \Gamma^{i}_{k l} = \delta \left( \frac{g^{im}}{2}(\partial_{k}g_{ml} + \partial_{l}g_{mk} - \partial_{m}g_{kl})\right) = - \varepsilon \varphi \Gamma^{i}_{kl} + \frac{\varepsilon}{2}g^{im}(\partial_{k}(\varphi g_{ml}) + \partial_{l}(\varphi g_{mk}) - \partial_{m}(\varphi g_{kl})) =

\ = -\varepsilon \varphi \Gamma^{i}_{kl} + \varepsilon \varphi \Gamma^{i}_{kl} + \frac{\varepsilon}{2}g^{im}(g_{ml}\partial_{k}\varphi  +  g_{mk}\partial_{l}\varphi - g_{kl}\partial_{m}\varphi ) = \frac{\varepsilon}{2}g^{im}(g_{ml}\partial_{k}\varphi  +  g_{mk}\partial_{l}\varphi - g_{kl}\partial_{m}\varphi ) = \frac{\varepsilon}{2}(\delta^{i}_{l}\partial_{k}\varphi + \delta^{i}_{k}\partial_{l} \varphi - g^{im}g_{kl}\partial_{m}\varphi ).

Тепер треба обчислити варіації тензору кривини, тензору Річчі та скалярної кривини. Можна почати з тензору кривини, використавши вирази із відповідного розділу. Отже, користуючись виразами, наведеними вище, можна отримати

\ \delta R_{iklm} = \delta \left( \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial_{l}g_{im} + \partial_{i}\partial_{m}g_{kl} - \partial_{k}\partial_{m}g_{il} - \partial_{i}\partial_{l}g_{km}) + g_{np}(\Gamma^{n}_{kl}\Gamma^{p}_{im} - \Gamma^{n}_{km}\Gamma^{p}_{il})\right) =

\ = \varepsilon \varphi R_{iklm} + \frac{\varepsilon}{2}(g_{im}\partial_{k}\partial_{l}\varphi + g_{kl}\partial_{i}\partial_{m}\varphi - g_{il}\partial_{k}\partial_{m}\varphi - g_{km}\partial_{i}\partial_{l}\varphi) +

\ + \frac{\varepsilon}{2}\left(\partial_{k}(g_{im})\partial_{l}\varphi  + \partial_{l}(g_{im})\partial_{k}\varphi + \partial_{i}(g_{kl})\partial_{m}\varphi + \partial_{m}(g_{kl})\partial_{i}\varphi - \partial_{k}(g_{il})\partial_{m}\varphi - \partial_{m}(g_{il})\partial_{k}\varphi -\partial_{i}(g_{km})\partial_{l}\varphi - \partial_{l}(g_{km})\partial_{i}\varphi \right) +

\ + g_{np}(\delta \Gamma^{n}_{kl}\Gamma^{p}_{im} + \Gamma^{n}_{kl}\delta \Gamma^{p}_{im} - \delta \Gamma^{n}_{km}\Gamma^{p}_{il} - \Gamma^{n}_{km}\delta\Gamma^{p}_{il}) \qquad (.1).

Перший доданок в даній громіздкій формулі виникає таким же чином, як виникав доданок \ \varepsilon \varphi \Gamma^{i}_{kl} при отриманні виразу для варіації символу Кристоффеля; другий-третій - аналогічно виникненню схожих доданків для того ж виразу.

Подальше спрощення Грунтується на твердженні, що кожен з доданків виразу в останніх лапках (виду \ g_{np}\delta \Gamma^{n}_{kl}\Gamma^{p}_{im}), по-перше, "доповнює" вирази у перших лапках до повних коваріантних похідних, по-друге, дає два доданки з других лапок, домножених на одну другу, а по-третє, дає два доданки, які скорочуються з іншими доданками з останніх дужок. Це твердження можна досить громіздко довести:

\ g_{np}\delta \Gamma^{n}_{kl} \Gamma^{p}_{im} = \frac{\varepsilon g_{np}}{2}(\delta^{n}_{k}\partial_{l}\varphi + \delta^{n}_{l}\partial_{k}\varphi - g^{\alpha n}g_{kl} \partial_{\alpha} \varphi )\Gamma^{p}_{im} = \frac{\varepsilon}{2}(g_{kp}\partial_{l}\varphi + g_{pl}\partial_{k}\varphi )\Gamma^{p}_{im} - \frac{\varepsilon}{2}g_{kl}\partial_{p}\varphi \Gamma^{p}_{im} =

\ =\frac{\varepsilon}{4}\left[g_{kp}g^{p\alpha}\partial_{l}\varphi (\partial_{i}g_{m\alpha} + \partial_{m}g_{i\alpha} - \partial_{\alpha} g_{im}) + g_{pl}g^{p\alpha}\partial_{k}\varphi (\partial_{i}g_{m\alpha} + \partial_{m}g_{i\alpha} - \partial_{\alpha} g_{im})\right] - \frac{\varepsilon}{2}g_{kl}\partial_{p}\varphi \Gamma^{p}_{im} =

\ =\frac{\varepsilon}{4}\left[ \partial_{l}\varphi (\partial_{i}g_{mk} + \partial_{m}g_{ik} - \partial_{k}g_{im}) + \partial_{k}\varphi (\partial_{i}g_{ml} + \partial_{m}g_{il} - \partial_{l}g_{im}\right] - \frac{\varepsilon}{2}g_{kl}\Gamma^{p}_{im}\partial_{p}\varphi \qquad (.2);

\ -g_{np}\Gamma^{n}_{km}\delta \Gamma^{p}_{il} = -\frac{\varepsilon g_{np}}{2}\left( \delta^{p}_{i}\partial_{l}\varphi + \delta^{p}_{l}\partial_{i}\varphi - g^{\alpha p}g_{il} \partial_{\alpha} \varphi \right)\Gamma^{n}_{km} = -\frac{\varepsilon}{2}(g_{in}\partial_{l}\varphi + g_{nl}\partial_{i}\varphi )\Gamma^{n}_{km} + \frac{\varepsilon}{2}g_{il}\partial_{n}\varphi \Gamma^{n}_{km} =

\ = -\frac{\varepsilon}{4}\left[ \partial_{l}\varphi (\partial_{k}g_{im} + \partial_{m}g_{ik} - \partial_{i}g_{km}) + \partial_{i}\varphi (\partial_{k}g_{ml} + \partial_{m}g_{kl} - \partial_{l}g_{km}\right] + \frac{\varepsilon}{2}g_{il}\Gamma^{n}_{km}\partial_{n}\varphi \qquad (.3);

\ -g_{np}\delta \Gamma^{n}_{km} \Gamma^{p}_{il} = -\frac{\varepsilon}{4}\left(\partial_{m}\varphi (\partial_{i}g_{kl} + \partial_{l}g_{ik} - \partial_{k}g_{il}) + \partial_{k}\varphi (\partial_{i}g_{ml} + \partial_{l}g_{im} - \partial_{m}g_{il})\right) + \frac{\varepsilon}{2}g_{km}\Gamma^{p}_{il}\partial_{p}\varphi \qquad (.4);

\ g_{np}\delta \Gamma^{n}_{kl} \Gamma^{p}_{im} = \frac{\varepsilon}{4}\left( \partial_{m}\varphi (\partial_{k} g_{il} + \partial_{l}g_{ik} - \partial_{i}g_{kl} ) + \partial_{i}\varphi (\partial_{k} g_{ml} + \partial_{l}g_{km} - \partial_{m}g_{kl})\right) - \frac{\varepsilon}{2}g_{im}\Gamma^{n}_{kl}\partial_{n}\varphi \qquad (.5).

Тепер порівняємо ці вирази та перші і другі дужки з \ (.1). Видно, що останні доданки кожного з виразів \ (.2)-(.5) доповнюють вирази у перших дужках до коваріантних похідних

\ \quad D_{m}D_{i}\varphi = D_{i}D_{m}\varphi = \partial_{i}\partial_{m}\varphi - \Gamma^{n}_{im}\partial_{n}\varphi.

Інші ж доданки скорочуються або із доданками других дужок, або з іншими доданками третіх дужок.

Отже,

\ \delta R_{\mu \nu \alpha \beta} = \varepsilon \varphi R_{\mu \nu \alpha \beta} + \frac{\varepsilon}{2}(g_{\mu \alpha} D_{\nu}D_{\beta}\varphi - g_{\mu \beta}D_{\alpha}D_{\nu}\varphi + g_{\beta \nu}D_{\alpha}D_{\mu}\varphi - g_{\alpha \nu}D_{\beta}D_{\mu}\varphi ) \qquad (.6).

Відповідна варіація тензору Річчі рівна

\ \delta R_{\nu \beta} = \delta (g^{\mu \alpha} R_{\mu \nu \alpha \beta}) = |g^{\mu \alpha}g_{\mu \alpha} = 4| = -\varepsilon \varphi g^{\mu \alpha}R_{\mu \nu \alpha \beta} + \varepsilon \varphi g^{\mu \alpha}R_{\mu \nu \alpha \beta} + \frac{\varepsilon}{2}(4D_{\nu}D_{\beta}\varphi - D_{\beta}D_{\nu}\varphi + g_{\nu\beta }g^{\mu \alpha}D_{\alpha}D_{\mu}\varphi - D_{\beta}D_{\nu}\varphi ) =

\ =\frac{\varepsilon}{2}(2D_{\nu}D_{\beta} \varphi + g_{\nu \beta}g^{\mu \alpha}D_{\alpha}D_{\mu}\varphi ) \qquad (.7),

а скалярної кривини -

\ \delta R = \delta (g^{\nu \beta}R_{\nu \beta}) = -\varepsilon \varphi g^{\nu \beta} R_{\nu \beta} + \frac{\varepsilon}{2}g^{\nu \beta}(2D_{\nu}D_{\beta}\varphi + g_{\nu \beta} g^{\mu \alpha}D_{\alpha}D_{\mu}\varphi) = 3\varepsilon g^{\nu \beta}D_{\nu}D_{\beta}\varphi - \varepsilon \varphi R \qquad (.8).

Тепер можна перейти до основної частини доведення - знаходження тензору четвертого рангу (ранг співпадає із рангом тензору кривини як тензору найвищого рангу, який містить інформацію про простір-час), який є інваріантним відносно локальних конформних перетворень. Це твердження можна записати як

\ \delta C^{\lambda}_{\quad \nu \alpha \beta} = 0 \Rightarrow \delta C_{\mu \nu \alpha \beta} = \varepsilon \varphi C_{\mu \nu \alpha \beta}.

Нехай далі використані припущення про алгебраїчну структуру тензора (він конструюється із геометричних об'єктів - тензора кривини та його згорток) та про наявність таких же симетрій, що і у тензора кривини. Загальний вигляд такого тензору можна записати як

\ C_{\mu \nu \alpha \beta} = R_{\mu \nu \alpha \beta} + A_{\mu \alpha}R_{\nu \beta} + B_{\mu \beta}R_{\nu \alpha} + C_{\nu \alpha}R_{\mu \beta} + D_{\nu \beta}R_{\mu \alpha} + E_{\mu \nu}R_{\alpha \beta} + F_{\alpha \beta}R_{\mu \nu} + W_{\mu \nu \alpha \beta} R \qquad (.9)

(множник-константа при \ R_{\mu \nu \alpha \beta} відсутній через банальне перепозначення). З наявності симетрій \ C_{\mu \nu \alpha \beta} = -C_{\nu \mu \alpha \beta} = -C_{\mu \nu \beta \alpha} = C_{\alpha \beta \mu \nu} одразу слідує, що \ E_{\mu \nu} = F_{\alpha \beta} = 0. Проваріювавши те, що залишилось та підставивши перетворення \ (.6)-(.8), можна, користуючись лінійністю операції, отримати

\ \delta C_{\mu \nu \alpha \beta} = \varepsilon \varphi R_{\mu \nu \alpha \beta} + \frac{\varepsilon}{2}g_{\beta \nu}D_{\nu}D_{\beta}\varphi - \frac{\varepsilon}{2}g_{\mu \beta}D_{\nu}D_{\alpha}\varphi + \frac{\varepsilon}{2}g_{\beta \nu}D_{\mu}D_{\alpha}\varphi - \frac{\varepsilon}{2}g_{\alpha \nu}D_{\mu}D_{\beta}\varphi +

\ + \delta A_{\mu \alpha}R_{\nu \beta} + A_{\mu \alpha}\left(\frac{\varepsilon}{2}g_{\nu \alpha}g^{\rho \sigma}D_{\sigma}D_{\rho}\varphi + \varepsilon D_{\alpha}D_{\nu}\varphi \right) + \delta B_{\mu \beta}R_{\nu \alpha} + B_{\mu \beta}\left(\frac{\varepsilon}{2}g_{\nu \alpha}g^{\rho \sigma}D_{\sigma}D_{\rho}\varphi + \varepsilon D_{\alpha}D_{\nu}\varphi \right) +

\ + \delta C_{\nu \alpha} R_{\mu \beta} + C_{\nu \alpha}\left(\frac{\varepsilon}{2}g_{\mu \beta}g^{\rho \sigma}D_{\sigma}D_{\rho}\varphi + \varepsilon D_{\beta}D_{\mu}\varphi \right) + \delta D_{\nu \beta} R_{\mu \alpha} + D_{\nu \beta}\left(\frac{\varepsilon}{2}g_{\mu \alpha}g^{\rho \sigma}D_{\sigma}D_{\rho}\varphi + \varepsilon D_{\alpha}D_{\mu}\varphi \right) + \delta W_{\mu \nu \alpha \beta} R + W_{\mu \nu \alpha \beta}(3\varepsilon g^{\rho \sigma}D_{\rho}D_{\sigma}\varphi -\varepsilon \varphi R).

Щоб цей вираз був рівен \ \varepsilon \varphi C_{\mu \nu \alpha \beta}, треба, щоб відповідні множники при похідніх від \ \varphi як незалежні були рівні нулю. Звідси миттєво слідує, що

\ A_{\mu \alpha} = -\frac{g_{\mu \alpha}}{2}, \quad \delta A_{\mu \alpha} = -\varepsilon \varphi \frac{g_\mu \alpha}{2}; \quad B_{\mu \beta} = \frac{g_{\mu \beta}}{2}, \quad \delta B_{\mu \beta} = \varepsilon \varphi \frac{g_\mu \beta}{2};

\ C_{\nu \alpha} = \frac{g_{\nu \alpha}}{2}, \quad \delta C_{\nu \alpha} = \varepsilon \varphi \frac{g_\nu \alpha}{2}; \quad D_{\nu \beta} = -\frac{g_{\nu \beta}}{2}, \quad \delta D_{\nu \beta} = -\varepsilon \varphi \frac{g_\nu \beta}{2};

\ W_{\mu \nu \alpha \beta} = \frac{1}{6}(g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} - g_{\nu \beta} g_{\mu \alpha}).

Отже, наш тензор є тензором Вейля.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.