FANDOM


Доведення 1Edit

Перехід до трьох векторів поляризації для масивного електромагнітного поля.

Можна виписати у явному вигляді суму по поляризаційним векторам і амплітудам з урахуванням $ \ (.2) $:

$ \ \sum_{\lambda}e_{\mu}^{\lambda}a_{\lambda} = e_{\mu}^{1}a_{1} + e_{\mu}^{2}a_{2} + \left(e_{\mu}^{0}\frac{|\mathbf p |}{\epsilon_{\mathbf p}} + e_{\mu}^{3}\right)a_{3} = \left|a_{3} \to a_{3}\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}\right| = e^{1}_{\mu}a_{1} + a_{\mu}^{2}a_{2} + e_{\mu}^{3}a_{3} $,

де визначено новий вектор поляризації

$ \ e_{\mu}^{3} = \frac{e_{\mu}^{0}\frac{|\mathbf p |}{\epsilon_{\mathbf p}} + e_{\mu}^{3}}{\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}}, \quad e_{\mu}^{3}e^{\mu , 3} = -1 $.

Утворена трійка векторів, вочевидь, має властивості

$ \ e_{\mu}^{\lambda}e^{\mu , \lambda {'}} = -\delta_{\lambda \lambda {'}}, \quad p^{\mu}e_{\mu , \lambda} = 0 $.

Дійсно, друга властивість для перших двох векторів не змінилася, а для введеного третього справедлива (враховується явний вигляд "старих" векторів $ \ e_{\mu}^{0}, e_{\mu}^{3} $) рівність

$ \ p^{\mu}e_{\mu}^{3} = \frac{p^{\mu}n_{\mu}\frac{|\mathbf p |}{\epsilon_{\mathbf p }} + p^{\mu}e_{\mu}^{3}}{\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}} = \frac{|\mathbf p | - |\mathbf p|}{\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}} = 0 $.

Доведення 2Edit

Сума по поляризаціям для масивного векторного поля.

В силу властивостей трійки векторів $ \ e_{\mu}^{\lambda} $,

$ \ e_{\mu}^{\lambda}e^{\mu , \lambda {'}} = -\delta_{\lambda \lambda {'}}, \quad p^{\mu}e_{\mu , \lambda} = 0 $,

можна, застосувавши ці властивості та прийнявши анзац

$ \ \Delta_{\mu \nu} = \sum_{\lambda = 1}^{3}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda} = Ag_{\mu \nu} + Bp_{\mu }p_{\nu} \qquad (1) $,

отримати

$ \ \quad p^{\mu} \Delta_{\mu \nu} = Ap_{\nu} + Bp^{2}p_{\nu} = p_{\nu}(A + Bm^{2}) = 0, \quad \Delta_{\mu \mu} = -3 = -2A + Bm^{2} $.

Звідси $ \ A = 1, B = -\frac{1}{m^{2}} $.

Аргументи щодо такого вигляду анзацу очевидні: права частина $ \ (1) $ є коваріантним об'єктом, що може залежати лише від тензорів - метричного тензору, тензору $ \ p_{\alpha}p_{\beta} $, згортки $ \ p_{\alpha}p_{\beta} $ із символом Леві-Чивіта (що тотожньо рівна нулю в силу антисиметричності тензору Леві-Чивіта).

Доведення 3Edit

Співвідношення для подвійного добутку матриць Паулі.

Вираз 1Edit

Треба знайти явний вигляд виразу $ \ \tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} $.

З самого початку можна пригадати вирази

$ \ \sigma_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta} = g_{\alpha \beta}\sigma_{0} + i\varepsilon_{0 \alpha \beta \gamma}\sigma^{\gamma} + \delta_{\alpha}^{0}(\tilde {\sigma}_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0}), \quad \sigma_{\beta} = (\sigma_{0}, \sigma ), \quad \tilde {\sigma}_{\beta} = (\sigma_{0}, -\sigma ), \quad \sigma^{\alpha} = g^{\alpha \beta}\sigma_{\beta} = (\sigma_{0}, -\sigma ) \qquad (1) $.

Тоді різниця цього виразу та такого ж з переставленими місцями індексами має вигляд

$ \ \sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = g_{\alpha \beta}\sigma_{0} + i\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta_{\alpha}^{0}(\tilde {\sigma}_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0}) - g_{\alpha \beta}\sigma_{0} - i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\sigma^{\delta} - \delta_{\beta}^{0}(\tilde {\sigma}_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0}) - \delta^{0}_{\alpha}(\sigma_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}) = $

$ \ = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } + \delta^{0}_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\alpha} = |\sigma_{\beta} - \tilde {\sigma}_{\beta} = 2\sigma_{\beta} - 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}| = $

$ \ = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } - 2\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta} + 2\delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\beta}\sigma_{0} + 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} - 2\delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\beta}\sigma_{0} = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } + 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} - 2\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta} $.

Подіявши на цей вираз матрицею $ \ \tilde {\sigma}_{\gamma} $, можна отримати

$ \ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}g_{\gamma \varepsilon}\tilde {\sigma}^{\varepsilon}\sigma^{\delta} - \delta^{0}_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{\alpha} $.

Використавши для кожного з доданків вираз $ \ (1) $, можна отримати

$ \ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} g_{\gamma \varepsilon}[g^{\varepsilon \delta} + i\varepsilon^{0 \varepsilon \delta \kappa }\sigma_{\kappa} + \delta^{\varepsilon}_{0} (\sigma^{\delta} - \delta^{\delta}_{0}\sigma^{0}) + \delta^{\delta }_{0}(\tilde {\sigma}^{\varepsilon} - \delta^{\varepsilon}_{0}\sigma^{0})] - $

$ \ - \delta^{0}_{\alpha}[g_{\gamma \beta} + i\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta }\sigma^{\delta } + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\beta} - \delta^{0}_{\beta} \sigma_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0})] + \delta^{0}_{\beta}[g_{\gamma \alpha} + i\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta }\sigma^{\delta } + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha} \sigma_{0}) + \delta^{0}_{\alpha}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0})] $.

Найважче перетворити доданок у перших квадратних лапках. Для цього, по перше, треба врахувати, що $ \ \varepsilon_{aabc} = 0 $, тому всі доданки із $ \ \delta^{\delta}_{0} $ рівні нулю, тому він виглядає як

$ \ -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} g_{\gamma \varepsilon}[g^{\varepsilon \delta} + i\varepsilon^{0 \varepsilon \delta \kappa }\sigma_{\kappa} + \delta^{\varepsilon}_{0}\sigma^{\delta} ] $.

По-друге, треба згадати формулу

$ \ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta} \varepsilon^{\delta \mu \nu \sigma} = \delta^{\mu}_{\alpha}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\beta \gamma} + \delta^{\mu}_{\gamma}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\alpha \beta} + \delta^{\mu}_{\beta}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\gamma \alpha} $.

Тому згортка двох символів Леві-Чивіти буде рівна

$ \ -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}i\varepsilon^{0 \varepsilon \delta \kappa }\sigma_{\kappa} g_{\gamma \varepsilon} = \varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\varepsilon^{\delta 0 \varepsilon \kappa }\sigma_{\kappa} g_{\gamma \varepsilon} = \sigma_{\kappa} g_{\gamma \varepsilon} [\delta^{\varepsilon}_{\beta} \delta^{\kappa}_{\alpha} - \delta^{\varepsilon}_{\alpha} \delta^{\kappa}_{\beta} + \delta^{0}_{\alpha}(\delta^{\varepsilon}_{0} \delta^{\kappa}_{\beta} - \delta^{\varepsilon}_{\beta} \delta^{\kappa}_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\delta^{\varepsilon}_{\alpha} \delta^{\kappa}_{0} - \delta^{\varepsilon}_{0} \delta^{\kappa}_{\alpha})] = |g_{\gamma \varepsilon}\delta^{\varepsilon}_{0} = \delta^{0}_{\gamma} | = $

$ \ = \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta}g_{\gamma \alpha} + \delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} - g_{\gamma \beta}\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} $,

де проміжне позначення у прямих дужках використано чисто для зручності у подальших викладках (хоч і не зовсім чисте з точки зору додержання правил підняття індексів). Отже, весь доданок має вигляд (враховується, що $ \ g_{\gamma \varepsilon}g^{\varepsilon \delta} = \delta^{\delta}_{\gamma} $)

$ \ -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta}g_{\gamma \alpha} + \delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} - g_{\gamma \beta}\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} -i\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\sigma^{\delta} $.

Тепер можна зайнятися другим та третім доданками у квадратних дужках. Із ними не виникає ніякої складності: додавши їх та скоротивши ідентичні доданки, можна отримати

$ \ -\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} - i\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta }\sigma^{\delta } - \delta^{0}_{\alpha} \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} + i\delta^{0}_{\beta} \varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta } \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} $.

Тому сумою трьох доданків буде вираз

$ \ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta}g_{\gamma \alpha} + \delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} - g_{\gamma \beta}\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} -i\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\sigma^{\delta} -\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} - $

$ \ - i\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta }\sigma^{\delta } - \delta^{0}_{\alpha} \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} + i\delta^{0}_{\beta} \varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta } \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} = $

$ \ = i[-\delta^{0}_{\gamma} \varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} \sigma^{\delta} - \varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma} - \delta^{0}_{\alpha} \varepsilon_{0 \gamma \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta} \sigma^{\delta} ] + [2\delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - 2\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta} g_{\gamma \alpha}] $.

Досить неочевидно можна доданки у квадратних дужках згорнути в компактні вирази.

1. Можна показати, що доданок у перших дужках рівен $ \ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} $: для цього треба розкласти згортку символу Леві-Чивіта як

$ \ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -g_{\kappa \gamma}\varepsilon^{\kappa}_{\quad \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\varepsilon_{i \alpha \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{i 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{i}_{\gamma}\delta^{j}_{\alpha}\varepsilon_{i j \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} = $

$ \ = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{i 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{i}_{\gamma}\delta^{j}_{\alpha}\delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{i j 0 \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\delta^{j}_{\alpha}\delta^{k}_{\beta}\varepsilon_{i j k \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} $.

Тепер можна зробити наступну "хитрість". У другому доданку виразу після останнього знаку рівності індекс $ \ \gamma $ може набувати лише три "просторові" значення (для цього і розбивалася згортка $ \ \delta^{\kappa}_{\gamma}\varepsilon_{\kappa \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} $). Проте нічого не заважає відняти від нього тотожньо нульовий (в силу властивостей символу Леві-Чивіта) вираз $ \ \delta^{0}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} $. Це дозволить знову формально згорнути суму $ \ \delta^{i}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{i 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} $ у $ \ -\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{\gamma 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} $. Повністю аналогічні викладки можуть бути пророблені із наступним доданком, який перетвориться у $ \ \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{\gamma \alpha 0 \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} $. Останній же доданок не рівен нулю лише при $ \ \delta = 0 $. Тому весь вираз приймає вигляд

$ \ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{\gamma 0 \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{\gamma \alpha 0 \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \varepsilon_{\gamma \alpha \beta 0}\sigma^{0} = -\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } + \delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta } \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta }\tilde {\sigma}^{\delta} $.

Наостанок залишається лише врахувати, що останні три доданки приймають ненульові значення лише при $ \ \delta \neq 0 $. Тому вирази $ \ \tilde {\sigma}^{\delta} = (\sigma^{0}, \sigma ) $ можуть бути замінені на $ \ -\sigma^{\delta} = - (\sigma^{0} , -\sigma ) $. Тоді

$ \ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } - \delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta} - \delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta }\sigma^{\delta} $,

що й треба було довести.

2. Другий доданок у квадратних дужках рівен $ \ \tilde {\sigma}_{\beta}g_{\gamma \alpha} - \tilde {\sigma}_{\alpha} g_{\gamma \beta} $. Дійсно, для випадку $ \ \gamma = \alpha = \beta = 0 $ він рівен $ \ \sigma_{0} $, а для випадку $ \ \gamma = \alpha = 0, \beta \neq 0 $ - $ \ \sigma_{\beta} $. Тому сума $ \ 2\delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \sigma_{\beta} g_{\gamma \alpha} $ рівна $ \ \tilde {\sigma}_{\beta}g_{\alpha \gamma} $. Аналогічно, $ \ - 2\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} = -\tilde {\sigma}_{\alpha} g_{\beta \gamma} $.

Отже, нарешті,

$ \ \tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = 2[\tilde {\sigma}_{\beta}g_{\alpha \gamma} -\tilde {\sigma}_{\alpha} g_{\beta \gamma} -i\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta}] $.

Вираз 2Edit

Треба знайти явний вигляд виразу $ \ \tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} $.

Для $ \ \tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]} $ викладки, аналогічні до викладок для виразу 1, призводять до

$ \ \tilde {\sigma}_{[\alpha}\sigma_{\beta ]} = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } - 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} + 2\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta} $.

Домноживши зправа на $ \ \tilde {\sigma}_{\gamma} $, можна отримати (слідкуючи за порядком індексів у тензора Леві-Чивіти)

$ \ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} g_{\gamma \varepsilon}[g^{\varepsilon \delta} + i\varepsilon^{0 \delta \varepsilon \kappa} \sigma_{\kappa} + \delta^{\varepsilon}_{0}(\sigma^{\delta} - \delta^{\delta}_{0} \sigma^{0}) + \delta^{\delta}_{0}(\tilde {\sigma}^{\varepsilon} - \delta^{\varepsilon}_{0}\sigma^{0})] - $

$ \ - \delta^{0}_{\beta}[g_{\alpha \gamma} + i\varepsilon_{0 \alpha \gamma \delta} \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\alpha}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0})] + \delta^{0}_{\alpha}[g_{\beta \gamma} + i\varepsilon_{0 \beta \gamma \delta} \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0})] $.

Цей вираз дуже схожий на той, який використовувався для виведення виразу 1, проте варто помітити відмінність знаків при $ \ \delta_{\alpha}^{0}, \delta^{0}_{\beta} $, а також перестановку індексів у всіх символах Леві-Чивіта в квадратних дужках (що також зумовлює відмінність у знаках). Виконавши всі дії, що були виконані для отримання виразу 1, можна отримати

$ \ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} = i[-\delta^{0}_{\gamma} \varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} \sigma^{\delta} - \varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma} - \delta^{0}_{\alpha} \varepsilon_{0 \gamma \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta} \sigma^{\delta} ] - 2\delta^{0}_{\beta}g_{\alpha \gamma} + \sigma_{\beta}g_{\alpha \gamma} + 2 \delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} $,

де всі вирази є старими знайомими із доведення вище (лише знаки інші). Отже,

$ \ \tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} = 2(-i\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta }\tilde {\sigma}^{\delta} - \tilde {\sigma}_{\beta} g_{\gamma \alpha} + \tilde {\sigma}_{\alpha}g_{\gamma \beta}) $.