FANDOM


Доведення 1Edit

Енергія-імпульс через амплітуди.

Для початку, похідна по часу і градієнт рівні

\ \dot \varphi = i \int \sqrt{\varepsilon_{\mathbf k}} \left( b^{*}_{\mathbf k}e^{ikx} - b_{\mathbf k} e^{-ikx}\right) \frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{2 (2 \pi )^{3}}}, \quad ( \nabla \varphi ) = i\int \mathbf k \left( b_{\mathbf k }e^{-ikx} - b^{*}_{\mathbf k}e^{ikx}\right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{2 \varepsilon_{\mathbf k} (2 \pi )^{3}}}.

Тоді вираз для імпульсу має вигляд

\ \mathbf P = \int \dot {\varphi }(\nabla \varphi )d^{3}\mathbf r = \frac{1}{2}\int \left[ \int \int \sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}\mathbf K \left(  b_{\mathbf k}b_{\mathbf K }^{*}e^{i(K - k)x}+  b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K }e^{i(k - K)x} - b_{\mathbf k}b_{\mathbf K}e^{-ikx - iKx} - b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K }^{*}e^{ikx + iKx} \right)\frac{d^{3}\mathbf k d^{3}\mathbf K}{(2 \pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf K}}}\right]d^{3}\mathbf r =

\ = \int \int \frac{\sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}}{2}\mathbf K \left[ b_{\mathbf k}b_{\mathbf K}^{*}\delta (\mathbf K - \mathbf k)e^{i(\epsilon_{\mathbf K} - \epsilon_{\mathbf k })t} + b_{\mathbf k}^{*} b_{\mathbf K}\delta (\mathbf k - \mathbf K)e^{i(\epsilon_{\mathbf k} - \epsilon_{\mathbf K })t} - b_{\mathbf k}b_{\mathbf K}\delta (K + k)e^{-i(\epsilon_{\mathbf k} + \epsilon_{\mathbf K })t} - b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K}^{*}\delta (K + k)e^{i(\epsilon_{\mathbf k} + \epsilon_{\mathbf K })t}\right]\frac{d^{3}\mathbf kd^{3}\mathbf K}{\sqrt{\varepsilon_{\mathbf K}}} =

\ = \frac{1}{2}\int \mathbf k \left(b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*} b_{\mathbf k} \right)d^{3}\mathbf k ,

де інтеграли від двох останніх доданків зануляються, оскільки підінтегральна функція антисиметрична, а межі - симетричні. Дійсно, проінтегрувавши їх по \ d^{3}\mathbf K, під інтегралом можна отримати \ \mathbf k b_{\mathbf k}b_{-\mathbf k} + \mathbf k b^{+}_{\mathbf k}b^{+}_{-\mathbf k}. Добуток операторів є симетричним на області інтегрування, а множник \ \mathbf k - антисиметричним.

Вираз для енергії, \ E = \int d^{3}\mathbf r \left( (\partial_{0}\varphi)^{2} + m^{2}\varphi^{2} + (\nabla \varphi )^{2}\right) же можна отримати наступним чином. Перший доданок рівний

\ H_{1} = \frac{1}{4}\int \left[\int \sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}\sqrt{\epsilon_{\mathbf K}}\left( b_{\mathbf k}b^{*}_{\mathbf K}e^{i(K - k)x} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K}e^{i(k - K)x} - b_{\mathbf k}b_{\mathbf K}e^{i(k + K)x} - b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K}^{*}e^{-i(k + K)x}\right) \frac{d^{3}\mathbf k d^{3}\mathbf K}{(2 \pi)^{3}}\right] d^{3}\mathbf r =

\ = \frac{1}{4}\int \epsilon_{\mathbf k} \left( b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf k}\right)d^{3}\mathbf k - \frac{1}{4} \int d^{3}\mathbf k \epsilon_{\mathbf k} (b_{\mathbf k}^{2}e^{2i\epsilon_{\mathbf k}t} + (b_{\mathbf k}^{*})^{2}e^{-2i\epsilon_{\mathbf k}t}),

другий -

\ \frac{1}{4}\int \left[\int (\mathbf K\cdot \mathbf k)\sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}\sqrt{\epsilon_{\mathbf K}}\left( b_{\mathbf k}b^{*}_{\mathbf K}e^{i(K - k)x} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K}e^{i(k - K)x} - b_{\mathbf k}b_{\mathbf K}e^{i(k + K)x} - b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf K}^{*}e^{-i(k + K)x}\right) \frac{d^{3}\mathbf k d^{3}\mathbf K}{(2 \pi)^{3}}\right] d^{3}\mathbf r =

\ =\frac{1}{4}\int \frac{\mathbf k^{2}}{\epsilon_{\mathbf k}} \left( b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf k}\right)d^{3}\mathbf k + \frac{1}{4} \int d^{3}\mathbf k \frac{\mathbf k^{2}}{\epsilon_{\mathbf k}} (b_{\mathbf k}^{2}e^{2i\epsilon_{\mathbf k}t} + (b_{\mathbf k}^{*})^{2}e^{-2i\epsilon_{\mathbf k}t}),

останній -

\ \frac{1}{4}\int \frac{m^{2}}{\epsilon_{\mathbf k}} \left( b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf k}\right)d^{3}\mathbf k + \frac{1}{4} \int d^{3}\mathbf k \frac{m^{2}}{\epsilon_{\mathbf k}} (b_{\mathbf k}^{2}e^{2i\epsilon_{\mathbf k}t} + (b_{\mathbf k}^{*})^{2}e^{-2i\epsilon_{\mathbf k}t}).

Сума цих трьох доданків (з урахуванням дисперсійного співвідношення) скорочує члени, що залежать від часу, і отримуємо

\ H = \frac{1}{2}\int \epsilon_{\mathbf k}\left( b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf k}\right) d^{3}\mathbf k.

Доведення 2Edit

Комутаційні співвідношення для операторів амплітуд.

Для доведення можна взяти інтеграл для оператору поля, домножити його на експоненту \ e^{-i(\mathbf q \cdot \mathbf x )} і проінтегрувати по \ \frac{d^{3}\mathbf x}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}:

\ \int \varphi (\mathbf r , t) e^{-i (\mathbf q \cdot \mathbf r )}\frac{d^{3}\mathbf r }{\sqrt{(2 \pi )^{3}}} = \int \int \left( b_{\mathbf k}^{*}e^{-i((\mathbf k + \mathbf q) \cdot \mathbf x) + i\epsilon_{\mathbf q}t} + b_{\mathbf k}e^{i((\mathbf k - \mathbf q) \cdot \mathbf x) - i\epsilon_{\mathbf q}t}\right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k}}}\frac{d^{3}\mathbf x }{\sqrt{(2 \pi )^{3}}} =

\ = \int \left( b_{\mathbf k}^{*}\delta (\mathbf k + \mathbf q)e^{i \varepsilon_{\mathbf q }t} + b_{\mathbf k}\delta (\mathbf k - \mathbf q)e^{-i \varepsilon_{\mathbf q }t}\right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{2 \varepsilon_{\mathbf k}}} = \frac{1}{\sqrt{2 \epsilon_{\mathbf q}}}\left( b_{-\mathbf q}^{*}e^{i \epsilon_{\mathbf q} t} + b_{\mathbf q}e^{-i \epsilon_{\mathbf q} t}\right).

Взявши від цього виразу похідну по часу, можна отримати

\ \int \pi (\mathbf r , t) e^{-i (\mathbf q \cdot \mathbf r )}\frac{d^{3}\mathbf r }{\sqrt{(2 \pi )^{3}}} = i\sqrt{\frac{\epsilon_{\mathbf q} }{2}}\left( -b_{\mathbf q}e^{- i\epsilon_{\mathbf q} t} + b_{-\mathbf q}^{*}e^{i \epsilon_{\mathbf q} t} \right).

Із цих двох виразів, як із системи лінійних алгебраїчних рівнянь, можна виключити \ b_{\mathbf q }:

\ b_{\mathbf q } = \frac{\int \left( i\sqrt{\frac{\epsilon_{\mathbf q} }{2}}\varphi - \frac{\pi }{\sqrt{2 \epsilon_{\mathbf q} }}\right) e^{i\epsilon_{\mathbf q} t - i(\mathbf q \cdot \mathbf r )}\frac{d^{3}\mathbf r}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}}{\frac{i}{2} + \frac{i}{2}} = \int \left( \epsilon_{\mathbf q} \varphi + i \pi \right)e^{i q x}\frac{d^{3}\mathbf r }{\sqrt{2 \epsilon_{\mathbf q} (2 \pi )^{3}}}.

Тоді, користуючись, знову ж таки, тим, що оператори полів - ермітові, можна отримати значення операторів амплітуд:

\ \hat {b}_{\mathbf q } = \int \left( \epsilon_{\mathbf q} \hat {\varphi} + i \hat {\pi} \right)e^{i q x}\frac{d^{3}\mathbf r }{\sqrt{2 \epsilon_{\mathbf q} (2 \pi )^{3}}} , \quad \hat {b}_{\mathbf q }^{+} = \int \left( \epsilon_{\mathbf q} \hat {\varphi} - i \hat {\pi} \right)e^{-i q x}\frac{d^{3}\mathbf r }{\sqrt{2 \epsilon_{\mathbf q} (2 \pi )^{3}}}.

Тоді

\ [\hat {b}_{\mathbf q } , \hat {b}_{\mathbf p }^{+}] = \int \left(-i\int [\hat {\varphi }, \hat {\pi}']e^{i(qx - px')}\epsilon_{\mathbf q}\frac{d^{3}\mathbf r}{2(2\pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}\epsilon_{\mathbf q}}} +i\int [\hat {\pi}, \hat {\varphi }']e^{i(qx - px')}\epsilon_{\mathbf p}\frac{d^{3}\mathbf r}{2(2\pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}\epsilon_{\mathbf q}}}  \right) d^{3}\mathbf r' =

\ = \hbar  \left( \int e^{i(\epsilon_{\mathbf q} - \epsilon_{\mathbf p})t - ((\mathbf q - \mathbf p ) \cdot \mathbf r' )}\epsilon_{\mathbf q}\frac{d^{3}\mathbf r'}{2(2 \pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf q} \epsilon_{\mathbf p}}} + \int e^{i(\epsilon_{\mathbf q} - \epsilon_{\mathbf p})t - ((\mathbf q - \mathbf p )\cdot \mathbf r' )}\epsilon_{\mathbf p}\frac{d^{3}\mathbf r'}{2(2 \pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf q} \epsilon_{\mathbf p}}}\right) = \hbar \delta (\mathbf q - \mathbf p),

де перехід при останній рівності зроблений через те, що при \ \mathbf q \neq \mathbf p амплітудний множник \ e^{i(\epsilon_{\mathbf q} - \epsilon_{\mathbf p})t}\epsilon_{\mathbf q , \mathbf p} не змінює рівність нулю виразу.

Аналогічні викладки, проте з однаковим знаком доданків-інтегралів при першій рівності (що дає тотожний нуль), можуть бути проведені для визначення комутаторів

\ [\hat {b}_{\mathbf p }^{+}, \hat {b}_{\mathbf q }^{+}] = [\hat {b}_{\mathbf p }, \hat {b}_{\mathbf q }] = 0.

Доведення 3Edit

Енергія-імпульс комплексного скалярного поля.

Лагранжіан скалярного комплексного поля має вигляд

\ L = (\partial^{\mu}\varphi )(\partial_{\mu}\varphi^{*}) - m^{2}\varphi \varphi^{*}.

Відповідний тензор енергії-імпульсу має вигляд

\ T^{\mu \nu} = \frac{\partial L}{\partial_{\mu}\varphi }\partial^{\nu}\varphi + \frac{\partial L}{\partial_{\mu}\varphi^{*} }\partial^{\nu}\varphi^{*} - g^{\mu \nu}L = \partial^{\mu}\varphi^{*}\partial^{\nu}\varphi + \partial^{\mu}\varphi \partial^{\nu}\varphi^{*} - g^{\mu \nu}L.

Тоді вираз для густини енергії відповідає виразу

\ T^{00} = 2\partial^{0}\varphi \partial^{0}\varphi^{*} - \partial^{0}\varphi \partial^{0}\varphi^{*} + (\nabla \varphi )(\nabla \varphi^{*}) + m^{2}\varphi \varphi^{*} = \dot {\varphi }\dot {\varphi}^{*} + (\nabla \varphi )(\nabla \varphi^{*}) + m^{2}\varphi \varphi^{*},

\ T^{0i} = \dot {\varphi}^{*}\partial^{i}\varphi + \dot {\varphi }\partial^{i}\varphi^{*}.

Відповідно,

\ H = \int \left( \dot {\varphi }^{*}\dot {\varphi} + (\nabla \varphi^{*} )(\nabla \varphi) + m^{2}\varphi^{*} \varphi\right) d^{3}\mathbf r , \quad \mathbf P = \int \left( \dot {\varphi}^{*}\nabla\varphi + \dot {\varphi }\nabla \varphi^{*}\right) d^{3}\mathbf r.

Використовуючи вирази для \ \varphi , \varphi^{*}, комутаційні співвідношення на оператори \ a, b, нехтуючи нескінченними константами, повністю аналогічно до дій підрозділу про лагранжів формалізм дійсного скалярного поля можна отримати шуканий результат.

Доведення 4Edit

Вираз для оператора заряду.

Заряд відповідає інтегралу по об'єму від нульової компоненти густини струму:

\ \hat {Q} = \int \hat {J}^{0}d^{3}\mathbf r = i\int \left( \hat {\varphi} (\partial^{0} \hat {\varphi}^{*}) - \hat {\varphi}^{*}(\partial^{0} \hat {\varphi})\right)d^{3}\mathbf r.

Маючи вирази для

\ \hat {\varphi} (x) = \int \left( \hat {a}_{\mathbf p}e^{ipx} + \hat {b}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\varphi}^{+}(x) =  \int \left( \hat {a}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx} + \hat {b}_{\mathbf p}e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}} \Rightarrow

\ \partial^{0}\varphi=  i\int \sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}\left( \hat {a}_{\mathbf p}e^{ipx} - \hat {b}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi )^{3}}} , \quad \partial^{0}\varphi^{+} = i\int \sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}\left( \hat {b}_{\mathbf p}e^{ipx} - \hat {a}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi )^{3}}},

можна підставити їх у вираз для оператора заряду:

\ \hat {Q} = \frac{1}{2}\int \int \int\left[ \sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}\left( \hat {a}_{\mathbf p}e^{ipx} + \hat {b}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx}\right)\left( \hat {a}^{+}_{\mathbf k}e^{-ikx} - \hat {b}_{\mathbf k}e^{ikx}\right) - \sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}\left( \hat {a}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx} + \hat {b}_{\mathbf p}e^{ipx}\right)\left( \hat {b}^{+}_{\mathbf k}e^{-ikx} - \hat {a}_{\mathbf k}e^{ikx} \right)\right]\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{(2 \pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}}d^{3}\mathbf r.

Розкривши лапки та перегрупувавши доданки, можна отримати

\ \hat {Q} = \frac{1}{2}\int \int \int \sqrt{\epsilon_{\mathbf k}}\left( \hat {a}_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{\mathbf k}e^{ix(p - k)} - \hat {b}_{\mathbf p}^{+}\hat {b}_{\mathbf k}e^{ix(k - p)} + \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}_{\mathbf k}e^{ix(k - p)} - \hat {b}_{\mathbf p}\hat {b}^{+}_{\mathbf k}e^{i(p - k)x}\right)\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{(2 \pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}}d^{3}\mathbf r +

\ + \frac{1}{2}\int \int \int \sqrt{\epsilon_{\mathbf k }}\left( \hat {b}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{\mathbf k}e^{-ix(p + k)x} - \hat {a}_{\mathbf p}\hat {b}_{\mathbf k}e^{i(p + k)x} - \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {b}^{+}_{\mathbf k}e^{-ix(p + k)} + \hat {b}_{\mathbf p}\hat {a}_{\mathbf k}e^{ix(p + k)}\right)\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{(2 \pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}}d^{3}\mathbf r.

Перший інтеграл дає (див. підрозділ про дійсне поле; нескінченною константою нехтується) вираз

\ \frac{1}{2}\int \left( \hat {a}_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{\mathbf p} - \hat {b}_{\mathbf p}^{+}\hat {b}_{\mathbf p} + \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}_{\mathbf p} - \hat {b}_{\mathbf p}\hat {b}^{+}_{\mathbf p}\right)d^{3}\mathbf p = \int \left( \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}_{\mathbf p} - \hat {b}_{\mathbf p}^{+}\hat {b}_{\mathbf p}\right)d^{3}\mathbf p.

Другий же доданок рівен

\ \frac{1}{2}\int \sqrt{\epsilon_{\mathbf k}} \left( \hat {b}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{\mathbf k}e^{-i(\epsilon_{\mathbf p} + \epsilon_{\mathbf k})t}\delta(\mathbf p + \mathbf k) - \hat {a}_{\mathbf p}\hat {b}_{\mathbf k}e^{i(\epsilon_{\mathbf p} + \epsilon_{\mathbf k})t}\delta(\mathbf p + \mathbf k) - \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {b}^{+}_{\mathbf k}e^{-i(\epsilon_{\mathbf p} + \epsilon_{\mathbf k})t}\delta(\mathbf p + \mathbf k) + \hat {b}_{\mathbf p}\hat {a}_{\mathbf k}e^{i(\epsilon_{\mathbf p} + \epsilon_{\mathbf k})t}\delta(\mathbf p + \mathbf k)\right)\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}} =

\ = \frac{1}{2}\int \left( \hat {b}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{-\mathbf p}e^{-2i\epsilon_{\mathbf p}t} - \hat {a}_{\mathbf p}\hat {b}_{-\mathbf p}e^{2i\epsilon_{\mathbf p}t} - \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {b}^{+}_{-\mathbf p}e^{-2i\epsilon_{\mathbf p}t} + \hat {b}_{\mathbf p}\hat {a}_{-\mathbf p}e^{2i\epsilon_{\mathbf p}t}\right) d^{3}\mathbf p =

\ = \frac{1}{2}\int \left( \hat {b}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{-\mathbf p}e^{-2i\epsilon_{\mathbf p}t} - \hat {b}^{+}_{-\mathbf p}\hat {a}^{+}_{\mathbf p}e^{-2i\epsilon_{\mathbf p}t} - \hat {a}_{\mathbf p}\hat {b}_{-\mathbf p}e^{2i\epsilon_{\mathbf p}t} + \hat {a}_{-\mathbf p}e^{2i\epsilon_{\mathbf p}t}\hat {b}_{\mathbf p}\right) d^{3}\mathbf p,

де в останній рівності використані нульові комутатори для \ \hat {a}, \hat {b}, \hat {a}^{+}, \hat {b}^{+}.

Можна побачити, що перший-другий та третій-четвертий доданки антисиметричні при перестановці \ \mathbf p \to -\mathbf p. Оскільки межі інтегрування симетричні, то інтеграл рівен нулю.

Доведення 5Edit

Інваріант для глобально-калібрувально інваріантного скалярного поля.

\ \delta L_{0} = \delta (\varphi^{*})\frac{\partial L_{0}}{\partial \varphi^{*}} + \delta (\partial_{\mu}\varphi^{*})\frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi^{*})} + \delta (\varphi )\frac{\partial L_{0}}{\partial \varphi } + \delta (\partial_{\mu}\varphi )\frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi )} = iq\alpha \left( -\varphi^{*}\frac{\partial L_{0}}{\partial \varphi^{*}} - (\partial_{\mu}\varphi^{*})\frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi^{*})} + \varphi\frac{\partial L_{0}}{\partial \varphi } + (\partial_{\mu}\varphi )\frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu}\varphi )} \right) =

\ = \left| \frac{\partial L_{0}}{\partial \varphi } = \partial_{\mu}\frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu} \varphi )}, \quad \frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu} \varphi )} = -\partial^{\mu}\varphi^{*}, \quad \frac{\partial L_{0}}{\partial \varphi^{*} } = \partial_{\mu}\frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu} \varphi^{*} )} , \quad \frac{\partial L_{0}}{\partial (\partial_{\mu} \varphi^{*})} = -\partial^{\mu} \varphi \right| =

\ = -iq \alpha \left( - \partial_{\mu}\left( \varphi^{*} \partial^{\mu} \varphi \right) + \partial_{\mu}\left( \varphi \partial^{\mu}\varphi^{*}\right)\right) = -i q \alpha \partial_{\mu}j^{\mu} = 0.

Доведення 6Edit

Варіація першої модифікації лагранжіану.

Знайдемо спочатку \ \delta \varphi ,  \delta (\partial_{\mu }\varphi ):

\ \delta \varphi = iq \alpha \varphi , \quad \delta (\partial_{\mu} \varphi ) = iq \alpha \partial_{\mu} \varphi + iq \varphi \partial_{\mu}\alpha .

Тоді

\ \delta J_{\mu} = iq \delta ( \varphi D_{\mu} \varphi^{*} - \varphi^{*} D_{\mu}\varphi ) = iq \delta \left[ \varphi \partial_{\mu}\varphi^{*} + iq\varphi A_{\mu}\varphi^{*} - \varphi^{*}\partial_{\mu}\varphi - iq \varphi^{*}A_{\mu}\varphi \right] = -iq \left[ (\delta \varphi )(\partial_{\mu} \varphi^{*}) + \varphi \delta (\partial_{\mu} \varphi^{*}) - (\delta \varphi^{*} )(\partial_{\mu} \varphi ) - \varphi^{*} \delta (\partial_{\mu} \varphi )\right] =

\ = iq \left[ iq \alpha \varphi (\partial_{\mu} \varphi^{*}) - iq \varphi (\varphi^{*} \partial_{\mu}\alpha + \alpha \partial_{\mu}\varphi^{*}) + iq\alpha \varphi^{*} (\partial_{\mu}\varphi ) - iq\varphi^{*} (\varphi \partial_{\mu} \alpha + \alpha \partial_{\mu} \varphi ) \right] = -2q^{2}\varphi \varphi^{*}\partial_{\mu}\alpha.

Далі,

\ A'^{\mu} = A^{\mu} - \partial^{\mu}\alpha \Rightarrow \delta A_{\mu} = -\partial^{\mu}\alpha.

Тоді

\ \delta L_{1} = 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\mu}(\partial_{\mu}\alpha ) - J_{\mu}(\partial^{\mu}\alpha ).

Доведення 7Edit

Рівняння руху.

\ \frac{\partial L}{\partial A_{\nu}} = \partial_{\mu}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})},

\ \frac{\partial L}{\partial A_{\nu}} = -J^{\nu} + 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\nu} .

Користуючись написаним у підрозділі "Функція Лагранжа та дія для електромагнітного поля", можна отримати

\ \partial_{\mu}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} = -\frac{2}{4}\partial_{\mu} \frac{\partial}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})}(\partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu}) = -\frac{1}{2}\partial_{\mu}(2\partial^{\mu}A^{\nu} - 2\partial^{\nu}A^{\mu}) = -\partial_{\mu}F^{\mu \nu} = J_{electr.}^{\nu}.

Звідси

\ -J_{electr.}^{\nu} = -J^{\nu} + 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\nu} \Rightarrow J_{electr.}^{\nu} = J^{\nu} - 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\nu}.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.