Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца. Доведення

Доведення 1

Властивості матриць Паулі.

1. $\ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$.

Використовуючи вираз для спінорного представлення 4-вектора з попереднього підрозділу,

$\ X = \frac{1}{2}Tr (X)\hat {\mathbf E } + \frac{1}{2}Tr(X \hat {\sigma^{i}})\hat {\sigma }_{i}$,

можна, переписавши його у коваріантному вигляді, отримати

$\ X_{\alpha {\dot {c}}}={\frac {1}{2}}X_{\beta \beta }\delta _{\alpha {\dot {c}}}+{\frac {1}{2}}X_{\beta {\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}^{i})^{{\dot {\beta }}\beta }(\sigma _{i})_{\alpha {\dot {c}}}$.

Якщо у якості $\ X$ вибрати елемент канонічного базису матриць $\ 2 \times 2$, тобто, $\ X=e^{a{\dot {b}}}$ (матрицю, що має єдиний одиничний елемент), то можна отримати

$\ X_{\alpha {\dot {c}}}=\delta _{\alpha }^{a}\delta _{\dot {c}}^{\dot {b}}={\frac {1}{2}}\delta _{\beta }^{a}\delta _{\beta }^{\dot {b}}\delta _{\alpha {\dot {c}}}+{\frac {1}{2}}\delta _{\beta }^{a}\delta _{\dot {\beta }}^{\dot {b}}({\tilde {\sigma }}^{i})^{{\dot {\beta }}\beta }(\sigma _{i})_{\alpha {\dot {c}}}={\frac {1}{2}}\left(({{\tilde {\sigma }}^{0}})^{{\dot {b}}a}(\sigma _{0})_{\alpha {\dot {\alpha }}}+({\tilde {\sigma }}^{i})^{{\dot {c}}a}(\sigma _{i})_{\alpha {\dot {c}}}\right)={\frac {1}{2}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })^{{\dot {b}}a}(\sigma _{\nu })_{\alpha {\dot {c}}}$,

звідки і слідує потрібна рівність.

Взагалі, пропорційність вищенаведеного виразу $\ \delta _{\alpha }^{\beta }\delta _{\dot {\alpha }}^{\dot {\beta }}$ є очевидною з того, що єдиним нетривіальним коваріантним спінором з двома точковими і двома неточковими індексами є $\ \varepsilon ^{ab}\varepsilon ^{{\dot {a}}{\dot {b}}}$. Опускання двох його імпульсів і дає результат п. 1.

2. Четвірка матриць $\ (\sigma^{\mu})_{a \dot {a}}$ є інваріантом перетворень Лоренца.

Це можна показати, використовуючи відповідність перетворень 4-вектора у векторному та спінорному представленнях. Отже, для спінорного представлення 4-вектора справедливі перетворення

$\ X{'}_{a{\dot {a}}}=N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad {\dot {b}}}X_{b{\dot {b}}}=x^{\mu }N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad {\dot {b}}}(\sigma _{\mu })_{b{\dot {b}}},\quad X{'}_{a{\dot {a}}}=x^{\mu }{'}(\sigma _{\mu })_{a{\dot {a}}}=\Lambda _{\nu }^{\quad \mu }x^{\nu }(\sigma _{\mu })_{a{\dot {a}}}$.

Прирівнюючи ці дві рівності, в силу довільності $\ x^{\mu}$ можна отримати

$\ \Lambda _{\nu }^{\quad \mu }(\sigma _{\mu })_{a{\dot {a}}}=N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad {\dot {b}}}(\sigma _{\nu })_{b{\dot {b}}}\Rightarrow (\sigma _{\mu })_{a{\dot {a}}}=N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad {\dot {b}}}(\Lambda ^{-1})_{\quad \mu }^{\nu }(\sigma _{\nu })_{b{\dot {b}}}$.

Це означає, що $\ (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}$ є інваріантом відносно перетворень Лоренца. Дійсно, матриця має один 4-векторний індекс та два спінорних; кожен з них перетворюється за допомогою відповідної матриці. Тоді повне (за допомогою трьох вказаних матриць) перетворення матриці дає ту ж саму матрицю.

3. $\ (\sigma _{\mu }{\tilde {\sigma }}_{\nu }+\sigma _{\nu }{\tilde {\sigma }}_{\mu })_{a}^{\quad b}=2g_{\mu \nu }\delta _{a}^{b}$.

Для доведення треба використати рівність

$\ ({\hat {\sigma }}_{\mu }{\hat {\tilde {\sigma }}}_{\nu })=g_{\mu \nu }{\hat {\mathbf {E} }}-i\varepsilon _{0\mu \nu k}{\hat {\sigma }}^{k}-\delta _{\mu 0}(\delta _{\nu 0}{\hat {\mathbf {E} }}-{\hat {\tilde {\sigma }}}_{\nu })-\delta _{\nu 0}(\delta _{\mu 0}{\hat {\mathbf {E} }}-{\hat {\sigma }}_{\mu })$.

Дійсно, перший доданок відповідає випадку, коли $\ \mu = \nu$, другий - коли $\ \mu ,\nu \neq 0$ (відповідає стандартним комутаційним співвідношенням матриць Паулі з просторовими індексами), третій - коли $\ \mu =0,\nu \neq 0$, четвертий - коли $\ \mu \neq 0,\nu =0$. В результаті, сумою $\ ({\hat {\sigma }}^{\mu }{\hat {\tilde {\sigma }}}^{\nu })+({\hat {\sigma }}^{\nu }{\hat {\tilde {\sigma }}}^{\mu })$ буде рівність

$\ ({\hat {\sigma }}_{\mu }{\hat {\tilde {\sigma }}}_{\nu })+({\hat {\sigma }}_{\nu }{\hat {\tilde {\sigma }}}_{\mu })=2g_{\mu \nu }{\hat {\mathbf {E} }}-i\varepsilon _{0\mu \nu k}{\hat {\sigma }}^{k}-i\varepsilon _{0\nu \mu k}{\hat {\sigma }}^{k}-\delta _{\mu 0}(2\delta _{\nu 0}{\hat {\mathbf {E} }}-{\hat {\tilde {\sigma }}}_{\nu }-{\hat {\sigma }}_{\nu })-\delta _{\nu 0}(2\delta _{\mu 0}{\hat {\mathbf {E} }}-{\hat {\tilde {\sigma }}}_{\mu }-{\hat {\sigma }}_{\mu })$.

Сума другого та третього доданків рівна нулю в силу антисиметрії тензора Леві-Чивіта, а третій та четвертий доданок рівні в силу $\ \sigma _{\mu }=-{\tilde {\sigma }}_{\mu },\mu \neq 0$.

4. $\ Tr({\hat {\sigma }}_{\mu }{\tilde {\hat {\sigma }}}_{\nu })=Tr\left(g_{\mu \nu }{\hat {\mathbf {E} }}\right)=2g_{\mu \nu }$

(всі інші матриці під знаком сліду є матрицями Паулі, а їх слід рівен нулю).

Доведення 2

Спінорне представлення антисиметричного тензора рангу 2.

В силу визначення, $\ M_{\mu \nu }=-M_{\nu \mu }$. Це означає, що (див. $\ (.11)$)

$\ h_{\alpha {\dot {\alpha }}\beta {\dot {\beta }}}=\left((\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}\right)M_{\mu \nu }$.

Цей вираз тепер треба підставити у $\ (.13)$ для кожного з доданків:

$\ h_{(\alpha \beta )({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}={\frac {1}{8}}\left((\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}+(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}+(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\alpha }}}+(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}\right)-$

$\ -{\frac {1}{8}}\left((\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}-(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\alpha }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}\right)M_{\mu \nu }=0$,

$\ h={\frac {1}{8}}\varepsilon ^{\alpha \beta }\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\left((\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}\right)M_{\mu \nu }={\frac {1}{8}}\left(({\tilde {\sigma }}^{\mu })^{{\dot {\beta }}\beta }(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{{\dot {\beta }}\beta }\right)$.

В силу того, що $\ {\hat {\tilde {\sigma }}}=({\hat {\mathbf {E} }},-{\hat {\mathbf {\sigma } }})$, що просто перевіряється, виходячи з визначення

$\ (\sigma ^{\mu })^{\alpha {\dot {\alpha }}}=\varepsilon ^{\alpha \beta }\varepsilon ^{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}$,

очевидно, що

$\ h={\frac {1}{8}}\left(({\tilde {\sigma }}^{\mu })^{{\dot {\beta }}\beta }(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{{\dot {\beta }}\beta }\right)=\left|({\tilde {\sigma }}^{\mu })^{{\dot {\beta }}\beta }(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}=Tr(\delta ^{\mu \nu }{\hat {\mathbf {E} }}-i\varepsilon ^{\mu \nu k}{\hat {\sigma }}_{k})=2\delta ^{\mu \nu }\right|=0$,

де $\ \delta _{j}^{i}=diag(1,-1,-1,-1)$ - метричний тензор псевдоевклідового простору-часу.

Далі,

$\ h_{(\alpha \beta )}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\left((\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}+(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}-(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\alpha }}}\right)M_{\mu \nu }$.

Для пришвидшення роботи з індексами можна домножити весь вираз на $\ \varepsilon ^{\delta \beta }$:

$\ \varepsilon ^{\delta \beta }h_{(\alpha \beta )}=-{\frac {1}{8}}\varepsilon ^{\delta \beta }\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\left((\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}+(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}-(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}-(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\alpha }}}\right)M_{\mu \nu }$.

Перший і другий доданки, наприклад, згортаються із $\ \varepsilon ^{\delta \beta }\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}$ як

$\ \varepsilon ^{\delta \beta }\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\beta {\dot {\beta }}}=(\sigma ^{\mu })_{\alpha {\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })^{{\dot {\beta }}\delta }=(\sigma ^{\mu }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\alpha }^{\quad {\delta }},\quad \varepsilon ^{\delta \beta }\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(\sigma ^{\mu })_{\beta {\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}=-\varepsilon ^{\delta \beta }\varepsilon ^{{\dot {\beta }}{\dot {\alpha }}}(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}=-({\tilde {\sigma }}^{\mu })^{{\dot {\beta }}\delta }(\sigma ^{\nu })_{\alpha {\dot {\beta }}}=-(\sigma ^{\nu }{\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\alpha }^{\quad \delta }$.

Отже, виконуючи абсолютно аналогічні дії із останніми доданками, можна отримати

$\ \varepsilon ^{\delta \beta }h_{(\alpha \beta )}=-{\frac {1}{8}}\left(2(\sigma ^{\mu }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\alpha }^{\quad {\delta }}-2(\sigma ^{\nu }{\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\alpha }^{\quad \delta }\right)M_{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left((\sigma ^{\mu }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\alpha }^{\quad {\delta }}-(\sigma ^{\nu }{\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\alpha }^{\quad \delta }\right)=_{definition}=(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\quad {\delta }}M_{\mu \nu }$.

Нарешті, можна опустити індекс за допомогою тензора $\ \varepsilon _{\gamma \delta }$:

$\ \varepsilon _{\gamma \delta }\varepsilon ^{\delta \beta }h_{(\alpha \beta )}=\delta _{\gamma }^{\quad \beta }h_{(\alpha \beta )}=h_{(\alpha \gamma )}=(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha \gamma }M_{\mu \nu }$.

Абсолютно аналогічно показується, що

$\ h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\gamma }})}=-({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {\alpha }}{\dot {\gamma }}}M_{\mu \nu }$.

Очевидно, у утвореного тензора є шість незалежних компонент - по три від $h_{(ab)},h_{({\dot {a}}{\dot {b}})}$.

Доведення 3

Обернена формула для антисиметричного тензора.

Використовуючи $\ (.14)$, можна отримати

$\ M_{\mu \nu }={\frac {1}{4}}({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }h_{\alpha \beta {\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}={\frac {1}{4}}({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }\left(\varepsilon _{\alpha \beta }h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}+\varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}h_{(\alpha \beta )}\right)$.

Користуючись тим, що $\ h_{(\alpha \beta )}=h_{(\beta \alpha )},h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}=h_{({\dot {\beta }}{\dot {\alpha }})}$, можна записати

$\ M_{\mu \nu }={\frac {1}{4}}\varepsilon _{\alpha \beta }{\frac {1}{2}}\left(({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}+({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\beta }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\alpha }}\beta }h_{({\dot {\beta }}{\dot {\alpha }})}\right)+{\frac {1}{4}}\varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\frac {1}{2}}\left(({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }h_{(\alpha \beta )}+({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\beta }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\alpha }h_{(\beta \alpha )}\right)=$

$\ ={\frac {1}{8}}\left(\varepsilon _{\alpha \beta }\left(({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }+({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\beta }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\alpha }}\beta }\right)h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}+\varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\left(({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }+({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\beta }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\alpha }\right)h_{(\alpha \beta )}\right)$.

Тепер, перетворюючи згортки метричного тензора з матрицями Паулі як

$\ \varepsilon _{\alpha \beta }({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }=\varepsilon ^{{\dot {\beta }}{\dot {\gamma }}}({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }(\sigma _{\nu })_{\alpha {\dot {\gamma }}}=({\tilde {\sigma }}_{\mu }\sigma ^{\nu })^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}$,

$\ \varepsilon _{\alpha \beta }({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\beta }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\alpha }}\beta }=\varepsilon _{\alpha \beta }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\alpha }}\beta }({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\beta }}\alpha }=-({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\alpha }}\beta }(\sigma _{\mu })_{\beta {\dot {\gamma }}}\varepsilon ^{{\dot {\beta }}{\dot {\gamma }}}=-({\tilde {\sigma }}_{\nu }\sigma _{\mu })^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}$,

$\ \varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }=-\varepsilon ^{\alpha \gamma }(\sigma _{\mu })_{\gamma {\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\beta }=-(\sigma _{\mu }{\tilde {\sigma }}_{\nu })^{\alpha \beta }$,

$\ \varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\beta }({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\alpha }=\varepsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}({\tilde {\sigma }}_{\nu })^{{\dot {\beta }}\alpha }({\tilde {\sigma }}_{\mu })^{{\dot {\alpha }}\beta }=(\sigma _{\nu }{\tilde {\sigma }}_{\mu })^{\alpha \beta }$,

можна отримати

$\ M_{\mu \nu }={\frac {1}{8}}\left(\left(({\tilde {\sigma }}_{\mu }\sigma _{\nu })^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}-({\tilde {\sigma }}_{\nu }\sigma _{\mu })^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\right)h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}+\left(-(\sigma _{\mu }{\tilde {\sigma }}_{\nu })^{\alpha \beta }+(\sigma _{\nu }{\tilde {\sigma }}_{\mu })^{\alpha \beta }\right)h_{(\alpha \beta )}\right)={\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\alpha \beta }h_{(\alpha \beta )}-{\frac {1}{2}}({\tilde {\sigma }}_{\mu \nu })^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}h_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}$.

Доведення 4

Комутаційні співвідношення генераторів групи Лоренца у спінорному представленні.

Частина 1

Для подальшого треба згадати властивість $\ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$.

Згортка 1.

Користуючись визначеннями матриць, можна отримати

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}(\sigma ^{\mu \nu })_{cd}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{8}}\left(-\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bd}-\varepsilon _{ad}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bc}-\varepsilon _{bc}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ad}-\varepsilon _{bd}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ac}\right)$.

Дійсно,

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}(\sigma ^{\mu \nu })_{cd}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{16}}\left((\sigma ^{\alpha }{\tilde {\sigma }}^{\beta })_{ab}-(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{ab}\right)\left((\sigma ^{\mu }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{cd}-(\sigma ^{\nu }{\tilde {\sigma }}^{\mu })_{cd}\right)g_{\alpha \mu }=$

$\ ={\frac {1}{16}}\left((\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\mu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}-(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\quad d}^{\dot {m}}-(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\mu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\quad d}^{\dot {m}}\right)g_{\alpha \mu }$.

Тепер можна перетворити кожен з доданків перетворюваного виразу. Вони набудуть вигляду

$\ (\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\mu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}g_{\alpha \mu }=(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}(\sigma _{\alpha })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=\varepsilon _{c\delta }\varepsilon _{{\dot {m}}{\dot {\delta }}}(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })^{{\dot {\delta }}\delta }({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=2\varepsilon _{c\delta }\varepsilon _{{\dot {m}}{\dot {\delta }}}\delta _{a}^{\delta }\delta _{\dot {n}}^{\dot {\delta }}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=$

$\ =2\varepsilon _{ca}\varepsilon _{{\dot {m}}{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=-2\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=-2\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bd}$,

$\ (\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\quad d}^{\dot {m}}g_{\alpha \mu }=(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })_{\quad d}^{\dot {m}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}=\varepsilon _{d\gamma }(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })^{{\dot {m}}\gamma }({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}=2\varepsilon _{d\gamma }\delta _{a}^{\gamma }\delta _{\dot {n}}^{\dot {m}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}=$

$\ =-2\varepsilon _{da}(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad c}^{\dot {n}}=2\varepsilon _{ad}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bc}$,

$\ (\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\mu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma _{\alpha })_{c{\dot {m}}}(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=2\varepsilon _{\beta \gamma }\delta _{c}^{\gamma }\delta _{\dot {m}}^{\dot {n}}(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad d}^{\dot {m}}=2\varepsilon _{bc}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ad}$,

$\ (\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\quad d}^{\dot {m}}g_{\alpha \mu }=({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })_{\quad d}^{\dot {m}}(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}=2\varepsilon _{b\gamma }\varepsilon ^{{\dot {m}}{\dot {l}}}\delta _{d}^{\gamma }\delta _{\dot {l}}^{\dot {n}}(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}=-2\varepsilon _{bd}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ac}$,

де у передостанній рівності для другого доданку використана властивість антисиметричності за згорткою по індексам:

$\ (\sigma ^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{c{\dot {m}}}=-(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\quad c}^{\dot {n}}$ (див. розділ "Основні властивості...").

Отже,

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}(\sigma ^{\mu \nu })_{cd}g_{\alpha \mu }g_{\alpha \mu }={\frac {1}{8}}\left(-\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bd}-\varepsilon _{ad}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bc}-\varepsilon _{bc}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ad}-\varepsilon _{bd}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ac}\right)$.

Згортка 2.

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}(\sigma ^{\mu \nu })_{cd}g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }=\varepsilon _{ac}\varepsilon _{bd}+\varepsilon _{ad}\varepsilon _{bc}$.

Аналогічно,

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}(\sigma ^{\mu \nu })_{cd}g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }={\frac {1}{8}}\left(-\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bd}-\varepsilon _{ad}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bc}-\varepsilon _{bc}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ad}-\varepsilon _{bd}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{ac}\right)g_{\beta \mu }=$

$\ =\left|\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta }{\tilde {\sigma }}^{\nu })_{bd}g_{\beta \mu }=\varepsilon _{ac}(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}_{\beta })_{d}^{\dot {m}}=\varepsilon _{ac}\varepsilon _{d\gamma }(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}_{\beta })^{{\dot {m}}\gamma }=2\varepsilon _{ac}\varepsilon _{d\gamma }\delta _{b}^{\gamma }\delta _{\dot {m}}^{\dot {m}}=-4\varepsilon _{ac}\varepsilon _{bd},...\right|=$

$\ ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ac}\varepsilon _{bd}+\varepsilon _{bc}\varepsilon _{ad}+\varepsilon _{ad}\varepsilon _{bc}+\varepsilon _{bd}\varepsilon _{ac}\right)=\varepsilon _{ac}\varepsilon _{bd}+\varepsilon _{ad}\varepsilon _{bc}$.

Згортка 3.

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{8}}\left(\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {c}}}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {a}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {a}}{\dot {c}}}\right)$.

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }=$

$\ ={\frac {1}{16}}\left(({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\dot {a}}^{\quad d}(\sigma ^{\beta })_{d{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}-({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\dot {a}}^{\quad n}(\sigma ^{\beta })_{n{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\mu })_{m{\dot {d}}}\right)g_{\alpha \mu }+$

$\ +{\frac {1}{16}}\left(-({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\dot {a}}^{\quad n}(\sigma ^{\alpha })_{n{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}+({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\dot {a}}^{\quad n}(\sigma ^{\alpha })_{n{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\mu })_{m{\dot {d}}}\right)g_{\alpha \mu }$.

Вираз буде абсолютно аналогічним виразу для першої згортки, взятому зі знаком мінус (звичайно, із заміною на точкові індекси), і переставленими тильдованими та не тильдованими матрицями. Це можна показати перетворенням першого доданку:

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\dot {a}}^{\quad d}(\sigma ^{\beta })_{d{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }=({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\dot {a}}^{\quad d}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\beta })_{d{\dot {b}}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {\gamma }}}\varepsilon ^{mk}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })^{{\dot {\gamma }}d}(\sigma _{\alpha })_{k{\dot {c}}}(\sigma ^{\beta })_{d{\dot {b}}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=$

$\ =2\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {\gamma }}}\varepsilon ^{mk}\delta _{k}^{d}\delta _{\dot {c}}^{\dot {\gamma }}(\sigma ^{\beta })_{d{\dot {b}}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=2\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}\varepsilon ^{md}(\sigma ^{\beta })_{d{\dot {b}}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=2\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\dot {b}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=2\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}$.

Таким чином,

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{8}}\left(\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {c}}}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {a}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {a}}{\dot {c}}}\right)$.

Згортка 4.

Аналогічно виразу для згортки 2,

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }=\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {d}}}\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {c}}}$.

Згортка 5.

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{8}}\left((\sigma ^{\beta })_{b{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {d}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {c}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{b{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {d}}}(\sigma ^{\nu })_{b{\dot {c}}}\right)$.

Дійсно,

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{16}}\left((\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}-(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\mu })_{m{\dot {d}}}\right)g_{\alpha \mu }+$

$\ +{\frac {1}{16}}\left(-(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\nu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\mu })_{m{\dot {d}}}\right)g_{\alpha \mu }$.

Після перетворення кожного з доданків за типом (на прикладі першого доданку)

$\ (\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}({\tilde {\sigma }}^{\mu })_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }=(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })_{\dot {c}}^{\quad m}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=\varepsilon _{{\dot {c}}{\dot {\gamma }}}(\sigma ^{\alpha })_{a{\dot {n}}}({\tilde {\sigma }}_{\alpha })^{{\dot {\gamma }}m}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=2\varepsilon _{{\dot {c}}{\dot {\gamma }}}\delta _{\dot {m}}^{\dot {\gamma }}\delta _{a}^{n}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {n}}(\sigma ^{\nu })_{m{\dot {d}}}=$

$\ =2\varepsilon _{{\dot {c}}{\dot {m}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta })_{\quad b}^{\dot {m}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {d}}}=2(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {d}}}$

можна отримати

$\ (\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }={\frac {1}{8}}\left((\sigma ^{\beta })_{b{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {d}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {c}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{b{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {d}}}(\sigma ^{\nu })_{b{\dot {c}}}\right)$.

Частина 2

Перше та друге комутаційні співвідношення.

$\ [J_{({\dot {a}}{\dot {b}})},J_{({\dot {c}}{\dot {d}})}]={\frac {1}{4}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}[J_{\alpha \beta },J_{\mu \nu }]={\frac {i}{4}}({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}\left(g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }-g_{\beta \mu }J_{\alpha \nu }+g_{\alpha \nu }J_{\mu \beta }-g_{\beta \nu }J_{\mu \alpha }\right)=$

$\ ={\frac {i}{4}}\left(({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\beta \mu }J_{\alpha \nu }+({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \nu }J_{\mu \beta }-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\beta \nu }J_{\mu \alpha }\right)$.

В силу антисиметричності тензора $\ J_{\mu \nu}$ та матриці $\ {\tilde {\sigma }}^{\mu \nu }=-{\tilde {\sigma }}^{\nu \mu }$ суму цих доданків можна звести до одного доданку. Дійсно, перейменовуючи німі індекси, для третього-четвертого доданків можна отримати:

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\beta \mu }J_{\alpha \nu }=({\tilde {\sigma }}^{\beta \alpha })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }=-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }$,

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \nu }J_{\mu \beta }=-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \nu }J_{\beta \mu }=-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \mu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }=({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu },$,

$\ ({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\beta \nu }J_{\mu \alpha }=-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\beta \nu }J_{\alpha \mu }=-({\tilde {\sigma }}^{\beta \alpha })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \mu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }=-({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }$.

Отже, знову використовуючи антисиметричність тензора $\ J_{\mu \nu}$, вищенаведені згортки, та перейменування німих індексів, можна отримати

$\ [J_{({\dot {a}}{\dot {b}})},J_{({\dot {c}}{\dot {d}})}]=i({\tilde {\sigma }}^{\alpha \beta })_{{\dot {a}}{\dot {b}}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }={\frac {i}{8}}\left(\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {c}}}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {a}}{\dot {d}}}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {a}}{\dot {c}}}\right)M_{\beta \nu }=$

$\ =\left|\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\beta \nu }={\frac {\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}}{2}}\left(({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\beta \nu }+({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\beta \nu }\right)={\frac {\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}}{2}}\left(({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\beta \nu }-({\tilde {\sigma }}^{\beta }\sigma ^{\nu })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\nu \beta }\right)=-2\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \beta })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\nu \beta }\right|=$

$\ =-{\frac {i}{4}}\left(\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \beta })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\nu \beta }+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \beta })_{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{\nu \beta }+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \beta })_{{\dot {a}}{\dot {c}}}J_{\nu \beta }+\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {d}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \beta })_{{\dot {b}}{\dot {c}}}J_{\nu \beta }+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {c}}}({\tilde {\sigma }}^{\nu \beta })_{{\dot {a}}{\dot {d}}}J_{\nu \beta }\right)=$

$\ ={\frac {i}{2}}\left(\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {c}}}J_{({\dot {b}}{\dot {d}})}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {d}}}J_{({\dot {a}}{\dot {c}})}+\varepsilon _{{\dot {a}}{\dot {d}}}J_{({\dot {b}}{\dot {c}})}+\varepsilon _{{\dot {b}}{\dot {c}}}J_{({\dot {a}}{\dot {d}})}\right)$,

де було використане визначення

$\ J_{({\dot {\alpha }}{\dot {\beta }})}=-{\frac {1}{2}}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}J_{\mu \nu }$.

Абсолютно аналогічно, використовуючи визначення

$\ J_{(\alpha \beta )}={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha \beta }J_{\mu \nu }$,

можна отримати комутатор

$\ [J_{(ab)},J_{(cd)}]={\frac {i}{2}}\left(\varepsilon _{ac}J_{(bd)}+\varepsilon _{bd}J_{(ac)}+\varepsilon _{ad}J_{(bc)}+\varepsilon _{bc}J_{(ad)}\right)$.

Третє комутаційне співвідношення.

Виконуючи аналогічні дії, що були використані для отримання першого комутаційного співвідношення, можна отримати

$\ [J_{(ab)},J_{({\dot {c}}{\dot {d}})}]=-i(\sigma ^{\alpha \beta })_{ab}({\tilde {\sigma }}^{\mu \nu })_{{\dot {c}}{\dot {d}}}g_{\alpha \mu }J_{\beta \nu }=-{\frac {i}{8}}\left((\sigma ^{\beta })_{b{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{b{\dot {d}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {c}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{b{\dot {d}}}+(\sigma ^{\beta })_{a{\dot {d}}}(\sigma ^{\nu })_{b{\dot {c}}}\right)J_{\beta \nu }$.

Такий вираз тотожньо рівен нулю, оскільки кожен з доданків $\ (\sigma ^{\beta })_{b{\dot {c}}}(\sigma ^{\nu })_{a{\dot {d}}}$ є симетричним за індексами $\ \beta ,\nu$, в той час як $\ J_{\beta \nu }$ є антисиметричним.

Доведення 5

Генератори Казиміра групи Лоренца у спінорному представленні.

$\ [C_{1},J_{(cd)}]=J^{(ab)}[J_{(ab)},J_{(cd)}]+[J^{(ab)},J_{(cd)}]J_{(ab)}=\left|[J^{(ab)},J_{(cd)}]=\varepsilon ^{a\alpha }\varepsilon ^{b\beta }[J_{(\alpha \beta )},J_{(cd)}]\right|=$

$\ {\frac {i}{2}}J^{(ab)}\left(\varepsilon _{ac}J_{(bd)}+\varepsilon _{bd}J_{(ac)}+\varepsilon _{ad}J_{(bc)}+\varepsilon _{bc}J_{(ad)}\right)+{\frac {i}{2}}\varepsilon ^{a\alpha }\varepsilon ^{b\beta }\left(\varepsilon _{\alpha c}J_{(\beta d)}+\varepsilon _{\alpha d}J_{(\beta c)}+\varepsilon _{\beta c}J_{(\alpha d)}+\varepsilon _{\beta d}J_{(\alpha c)}\right)J_{(ab)}$.

Використовуючи властивість $\ \varepsilon _{\alpha \beta }\varepsilon ^{\beta \gamma }=\delta _{\alpha }^{\quad \gamma }=\delta _{\quad \alpha }^{\gamma }$, а також - симетрію тензора $\ J_{(ab)}$,

$\ J_{(ab)}=J_{(ba)},\quad J_{\quad b}^{\alpha }=\varepsilon ^{\alpha a}J_{ab}=\varepsilon ^{\alpha a}J_{ba}=J_{b}^{\quad \alpha }$,

можна отримати

$\ [C_{1},J_{(cd)}]={\frac {i}{2}}\left(-J_{c}^{\quad b}J_{(bd)}-J_{d}^{\quad b}J_{(bc)}-J_{c}^{\quad a}J_{(ad)}-J_{d}^{\quad a}J_{(ac)}+J_{c}^{\quad b}J_{(bd)}+J_{d}^{\quad b}J_{(bc)}+J_{c}^{\quad a}J_{(ad)}+J_{d}^{\quad a}J_{(ac)}\right)=0$

Дійсно, наприклад, для першого та восьмого доданків справедливе перетворення

$\ J^{(ab)}\varepsilon _{ac}J_{(bd)}=-J^{(ab)}\varepsilon _{ca}J_{(bd)}=-J_{c}^{\quad b}J_{(bd)}$,

$\ \varepsilon ^{a\alpha }\varepsilon ^{b\beta }\varepsilon _{\beta d}J_{(\alpha c)}J_{(ab)}=\delta _{\quad d}^{b}J_{\quad c}^{a}J_{(ab)}=J_{c}^{\quad }J_{(ad)}$,

і вони скорочуються. Аналогічно - для інших пар.

Для комутатора $\ [C_{2},J_{({\dot {c}}{\dot {d}})}]$ всі міркування - аналогічні.

Доведення 6

Власні значення генераторів групи Лоренца у спінорному представленні.

$\ (C_{1}\psi )_{a_{1}...a_{n}}=(J^{cd}J_{cd}\psi )_{a_{1}...a_{n}}=-{\frac {i}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(\varepsilon _{a_{i}c}J^{cd}\psi _{da_{1}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}+J^{cd}\varepsilon _{a_{i}d}\psi _{ca_{1}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}\right)=-i\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{a_{i}c}J^{cd}\psi _{da_{1}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}=$

$\ =-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{a_{i}c}\left(\delta _{d}^{d}\psi _{\quad a_{1}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}^{c}+\delta _{d}^{c}\psi _{\quad a_{1}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}^{d}+\sum _{j\neq i}^{n}\left(\delta _{a_{j}}^{d}\psi _{\quad da_{1}...{\tilde {a}}_{j}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}^{c}+\delta _{a_{j}}^{c}\psi _{\quad da_{1}...{\tilde {a}}_{j}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}^{d}\right)\right)=$

$\ =-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left(2\psi _{a_{1}...a_{n}}+\psi _{a_{1}...a_{n}}\right)-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j\neq i}^{n}\left(\varepsilon _{a_{i}c}\psi _{\quad a_{1}...{\tilde {a}}_{i}...a_{n}}^{c}+\varepsilon _{a_{i}a_{j}}\psi _{\quad da_{1}...{\tilde {a}}_{i}...{\tilde {a}}_{j}...a_{n}}^{d}\right)=-{\frac {3n}{2}}\psi _{a_{1}...a_{n}}-{\frac {n(n-1)}{2}}\psi _{a_{1}...a_{n}}=-{\frac {n(n+2)}{2}}\psi _{a_{1}...a_{n}}$,

де доданок з $\ \varepsilon _{a_{i}a_{j}}$ рівен нулю, оскільки при підсумовуванні будуть суми вигляду $\ \varepsilon _{a_{i}a_{j}}+\varepsilon _{a_{j}a_{i}}$.

Інші рівності отримуються аналогічно.

Доведення 7

Алгебра оператора просторової інверсії на спінорних представленнях.

Використовуючи вирази для співвідношень генераторів групи Лоренца у векторному формалізмі із оператором $\ \hat {P}$ (див. розділ Оператор просторової інверсії...),

$\ {\hat {P}}M_{0\alpha }=-M_{0\alpha }{\hat {P}},\quad {\hat {P}}M_{\beta \gamma }=M_{\beta \gamma }{\hat {P}}\quad \beta ,\gamma \neq 0$,

можна отримати

$\ {\hat {P}}M_{ab}={\hat {P}}{\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{ab}M_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}{\hat {P}}\left(2(\sigma ^{0\alpha })_{ab}M_{0\alpha }+(\sigma ^{\beta \gamma })_{ab}M_{\beta \gamma }\right)={\frac {1}{2}}\left(-2(\sigma ^{0\alpha })_{ab}M_{0\alpha }{\hat {P}}+(\sigma ^{\beta \gamma })_{ab}M_{\beta \gamma }{\hat {P}}\right)=$

$\ =\left|\sigma ^{0\alpha }=-{\frac {1}{4}}\left(\sigma ^{0}{\tilde {\sigma }}^{\alpha }-\sigma ^{\alpha }{\tilde {\sigma }}^{0}\right)=-{\frac {1}{4}}\left(-{\tilde {\sigma }}^{0}\sigma ^{\alpha }+{\tilde {\sigma }}^{\alpha }\sigma ^{0}\right)=-{\tilde {\sigma }}^{0\alpha },\quad \sigma ^{\beta \gamma }={\tilde {\sigma }}^{\beta \gamma }\right|=$

$\ ={\frac {1}{2}}\left(2({\tilde {\sigma }}^{0\alpha })_{ab}M_{0\alpha }+({\tilde {\sigma }}^{\beta \gamma })_{ab}M_{\beta \gamma }{\hat {P}}\right){\hat {P}}=-M_{({\dot {a}}{\dot {b}})}{\hat {P}}$.

Аналогічно,

$\ {\hat {P}}M_{(ab)}=-M_{(ab)}{\hat {P}}$.