NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Визначення спінора. Спінорна метрика[]

Спінором

називається вектор, що перетворюється через унімодулярні комплексні матриці :

Метрику простору спінорів можна визначити, відшукавши комбінацію із компонент двох спінорів, що є інваріантною відносно перетворень, здійснюваних унімодулярними матрицями. Такою комбінацією є

.

Дійсно, параметризувавши матрицю

,

можна отримати для перетворення

.

Для запису у коваріантному вигляді треба ввести матрицю

із властивостями

.

Дійсно, інваріант , записаний у вигляді

,

дає вираз для компонент коваріантного спінору ,

,

а матриця дає перехід від контраваріантних до коваріантних компонент, і навпаки:

.

Закон перетворення коваріантного спінору , користуючись його визначенням, можна отримати так:

,

де

.

Дійсно, використовуючи явний вигляд матриці перетворення для коваріантного спінора можна отримати

.

Антисиметричність метрики має наслідком неінваріантність скалярного добутку відносно одночасної перестановки індексів у спінорів,

,

тобто, перестановка індексів знизу вгору змінює знак:

.

Властивості спінорної метрики[]

Деякі найпростіші властивості матриці (для точкових індексів - аналогічно). Далі розглядається конвенція, у рамках якої

.

Прямим множенням можна переконатися, що

.

Далі,

.

Дійсно, у випадку "однакових" індексів добуток двох матриць відповідає згортці двох символів Леві-Чивіта рангу 3 по одному співпадаючому індексу.

За допомогою цього можна отримати зв'язки між матрицями перетворення коваріантного і контраваріантого спінорів. Для цього використаємо факт, що детермінант будь-якої матриці розмірності 2*2 можна представити за допомогою спінорної метрики як

.

Для матриць із одиничним визначником можна написати тоді

.

Домноживши цей вираз на і використавши , можна отримати

.

Аналогічний вираз можна отримати і для обернених матриць: ,

що показує інваріантність метрики відносно перетворень, що здійснюються такими матрицями.

Із цих двох співвідношень слідує, що , і, як наслідок,

.

Спряжений спінор[]

Оскільки матриці лоренцівських бустів і поворотів є комплексними, треба ввести спряжений спінор , який перетворюється як комплексне спряження спінора :

.

Аналогічно до "неточкових" спінорів, перетворення контраваріантного спінору є

.

При згортці спінорів по індексам можна згортати індекси лише одного типу. Для доведення цього достатньо розглянути згортку у матричному вигляді:

,

а отже, вираз не є інваріантом.

Вводиться метрика

,

за допомогою якої можна піднімати та опускати індекси у спряжених спінорів.

Отже, нарешті, спінор - це двокомпонентний вектор, закон перетворення якого при бустах та тривимірних поворотах дається матрицями з одиничним визначником:

,

.

Спінорний тензор. Зв'язок векторного та спінорного представлень[]

Спінорний тензор рангу - величина із верхніми індексами та нижніми індексами, що перетворюється як сукупність k спінорів та n - k коспінорів. Наприклад,

.

Спінорний тензор рангу два з одним спряженим індексом, , перетворюється таким же чином, як і кватерніон

.

Дійсно,

.

Тому кватерніон є частинним випадком спінорів.

Далі, для отримання норми такого спінорного тензора, треба ввести спряжений спінорний тензор:

,

де введена матриця .

При цьому

.

Можна розглянути зв'язок між 4-векторами та спінорними тензорами. В силу вищенаведеного зв'язку спінорного двохіндексного тензора та 4-вектора,

,

а також - умови на слід для добутку матриць (див. підрозділ нижче), можна отримати обернене співвідношення:

.

Дійсно,

.

Можна дещо видозмінити визначення спінорного представлення . В силу того, що матриці Паулі безслідові, нульову компоненту 4-вектора можна представити як , і в силу цього ж та співвідношень для множення матриць Паулі просторові компоненти можуть бути записані у вигляді . Тоді

.

Такий вираз знадобиться у подальшому. Більш строгий зв'язок векторного представлення (групи Лоренца) зі спінорним буде даний у відповідному розділі.

Можна, маючи , встановити загальну відповідність 4-тензора до спінора:

.

Наостанок залишається переконатись, що четвірка матриць є інваріантом перетворень Лоренца. Це можна показати, використовуючи відповідність перетворень 4-вектора у векторному та спінорному представленнях. Отже, для спінорного представлення 4-вектора справедливі перетворення по спінорним індексам,

,

і по векторним,

.

Прирівнюючи ці дві рівності, в силу довільності можна отримати

.

Це означає, що є інваріантом відносно перетворень Лоренца. Дійсно, матриця має один 4-векторний індекс та два спінорних; кожен з них перетворюється за допомогою відповідної матриці. Тоді повне (за допомогою трьох вказаних матриць) перетворення матриці дає ту ж саму матрицю.

Властивості матриць Паулі[]

Для подальшого дуже знадобляться наступні властивості матриць Паулі.

1. .

2. Четвірка матриць є інваріантом перетворень Лоренца.

3. .

4. .

Доведення.

Advertisement