Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца" .
Визначення спінора. Спінорна метрика [ ]
Спінором
ψ
a
≡
(
ψ
1
ψ
2
)
{\displaystyle \ \psi_{a} \equiv \begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \end{pmatrix}}
називається вектор, що перетворюється через унімодулярні комплексні матриці
N
∈
SL
(
2
,
C
)
{\displaystyle \ N \in \text{SL}(2,C)}
:
ψ
a
→
ψ
a
′
≡
N
a
b
ψ
b
,
N
∈
SL
(
2
,
C
)
{\displaystyle \ \psi_{a} \to \psi_{a}{'} \equiv N_{a}^{\ b}\psi_{b}, \quad N \in \text{SL}(2,C)}
Метрику простору спінорів можна визначити, відшукавши комбінацію із компонент двох спінорів, що є інваріантною відносно перетворень, здійснюваних унімодулярними матрицями. Такою комбінацією є
ψ
⋅
κ
≡
ψ
1
κ
2
−
ψ
2
κ
1
(
.1
)
{\displaystyle \ \psi \cdot \kappa \equiv \psi_{1}\kappa_{2} - \psi_{2}\kappa_{1} \qquad (.1)}
.
Дійсно, параметризувавши матрицю
N
{\displaystyle \ N}
N
=
(
A
B
C
D
)
,
A
D
−
B
C
=
1
{\displaystyle \ N = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}, \quad AD - BC = 1}
,
можна отримати для перетворення
(
.1
)
{\displaystyle \ (.1)}
ψ
1
′
κ
2
′
−
ψ
2
′
κ
1
′
=
(
A
D
−
B
C
)
(
ψ
1
κ
2
−
ψ
2
κ
1
)
=
1
{\displaystyle \ \psi_{1}{'}\kappa_{2}{'} - \psi_{2}{'}\kappa_{1}{'} = (AD - BC)(\psi_{1}\kappa_{2} - \psi_{2}\kappa_{1}) = 1}
.
Для запису
(
.1
)
{\displaystyle \ (.1)}
у коваріантному вигляді треба ввести матрицю
ε
a
b
=
−
ε
a
b
=
(
0
1
−
1
0
)
a
b
(
.2
)
{\displaystyle \ \varepsilon^{ab} = -\varepsilon_{ab} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}_{ab} \qquad (.2)}
із властивостями
ε
^
T
=
−
ε
^
,
ε
^
2
=
−
E
^
{\displaystyle \ \quad \hat \varepsilon^{T} = -\hat \varepsilon , \quad \hat \varepsilon^{2} = - \hat {\mathbf E}}
.
Дійсно, інваріант
(
.1
)
{\displaystyle \ (.1)}
, записаний у вигляді
ψ
⋅
κ
≡
ψ
a
κ
b
ϵ
a
b
≡
ψ
a
κ
a
,
κ
a
≡
ϵ
a
b
κ
b
{\displaystyle \ \psi \cdot \kappa \equiv \psi_{a}\kappa_{b}\epsilon^{ab} \equiv \psi_{a}\kappa^{a}, \quad \kappa^{a}\equiv \epsilon^{ab}\kappa_{b}}
,
дає вираз для компонент коваріантного спінору
ψ
a
{\displaystyle \ \psi^{a}}
,
ψ
1
=
ψ
2
,
ψ
2
=
−
ψ
1
{\displaystyle \ \psi^{1} = \psi_{2}, \quad \psi^{2} = -\psi_{1}}
,
а матриця
(
.2
)
{\displaystyle \ (.2)}
дає перехід від контраваріантних до коваріантних компонент, і навпаки:
ψ
a
=
ε
a
b
ψ
b
,
ψ
a
=
ε
a
b
ψ
b
{\displaystyle \ \psi^{a} = \varepsilon^{ab}\psi_{b}, \quad \psi_{a} = \varepsilon_{ab}\psi^{b} }
.
Закон перетворення коваріантного спінору
ψ
a
{\displaystyle \ \psi^{a}}
, користуючись його визначенням, можна отримати так:
ψ
a
′
=
(
ψ
1
′
ψ
2
′
)
=
(
ψ
2
′
−
ψ
1
′
)
=
(
C
ψ
1
+
D
ψ
2
−
A
ψ
1
−
B
ψ
2
)
=
(
−
C
ψ
2
+
D
ψ
1
A
ψ
2
−
B
ψ
1
)
=
(
D
−
C
−
B
A
)
(
ψ
1
ψ
2
)
≡
ψ
b
(
N
−
1
)
b
a
≡
(
N
~
ψ
)
a
{\displaystyle \ \psi^{a}{'} = \begin{pmatrix} \psi^{1}{'} \\ \psi^{2}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_{2}{'} \\ -\psi_{1}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C \psi_{1} + D\psi_{2} \\ -A \psi_{1} - B \psi_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C \psi^{2} + D\psi^{1} \\ A \psi^{2} - B \psi^{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D & -C \\ -B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi^{1} \\ \psi^{2} \end{pmatrix} \equiv \psi^{b}(N^{-1})_{\ b}^{a} \equiv (\tilde{N}\psi)^{a}}
,
де
N
~
≡
(
N
T
)
−
1
=
ϵ
−
1
N
ϵ
{\displaystyle \ \tilde{N} \equiv (N^{T})^{-1} = \epsilon^{-1} N \epsilon}
.
Дійсно, використовуючи явний вигляд матриці перетворення для коваріантного спінора можна отримати
ψ
a
′
κ
a
′
=
N
~
b
a
ψ
b
N
a
c
κ
c
=
ψ
b
(
N
T
)
b
a
N
a
c
κ
c
=
(
A
ψ
1
+
B
ψ
2
)
(
D
κ
2
+
C
κ
1
)
−
(
C
ψ
1
+
D
ψ
2
)
(
B
κ
2
+
A
κ
1
)
=
{\displaystyle \ \psi^{a}{'}\kappa_{a}{'} = \tilde {N}^{a}_{\quad b}\psi^{b}N_{a}^{\quad c}\kappa_{c} = \psi^{b} (N^{T})_{b}^{\quad a}N_{a}^{\quad c}\kappa_{c}= (A\psi^{1} + B\psi^{2})(D\kappa^{2} + C\kappa^{1}) - (C \psi^{1} + D\psi^{2})(B\kappa^{2} + A\kappa^{1}) = }
=
(
A
D
−
B
C
)
ψ
1
κ
2
−
(
A
D
−
B
C
)
ψ
2
κ
1
=
ψ
1
κ
2
−
ψ
2
κ
1
=
ψ
b
δ
b
c
κ
c
=
i
n
v
{\displaystyle \ = (AD - BC)\psi^{1}\kappa^{2} - (AD - BC)\psi^{2}\kappa^{1} = \psi^{1}\kappa^{2} - \psi^{2}\kappa^{1} = \psi^{b}\delta_{b}^{\quad c}\kappa_{c} = inv}
.
Антисиметричність метрики має наслідком неінваріантність скалярного добутку відносно одночасної перестановки індексів у спінорів,
ψ
α
κ
α
=
−
ψ
α
κ
α
{\displaystyle \ \psi^{\alpha}\kappa_{\alpha} = -\psi_{\alpha}\kappa^{\alpha}}
,
тобто, перестановка індексів знизу вгору змінює знак:
ψ
α
κ
α
=
(
ψ
2
−
ψ
1
)
(
κ
1
κ
2
)
=
ψ
2
κ
1
−
ψ
1
κ
2
{\displaystyle \ \psi_{\alpha}\kappa^{\alpha} = \begin{pmatrix} \psi^{2} & -\psi^{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \kappa^{1} \\ \kappa^{2} \end{pmatrix} = \psi^{2}\kappa^{1} - \psi^{1}\kappa^{2}}
.
Властивості спінорної метрики [ ]
Деякі найпростіші властивості матриці
ε
α
β
{\displaystyle \ \varepsilon^{\alpha \beta}}
(для точкових індексів - аналогічно). Далі розглядається конвенція, у рамках якої
ε
a
b
=
(
0
1
−
1
0
)
a
b
=
ε
a
˙
b
˙
=
−
ε
a
b
=
−
ε
a
˙
b
˙
{\displaystyle \ \varepsilon^{a b} = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ -1 && 0 \end{pmatrix}^{ab} = \varepsilon^{\dot {a} \dot {b}} = -\varepsilon_{a b} = -\varepsilon_{\dot {a} \dot {b}}}
.
Прямим множенням можна переконатися, що
ε
α
β
ε
β
γ
=
δ
α
γ
=
δ
α
γ
=
E
^
α
γ
{\displaystyle \ \varepsilon_{\alpha \beta}\varepsilon^{\beta \gamma} = \delta_{\alpha}^{\quad \gamma } = \delta^{\gamma}_{\quad \alpha} = \hat {\mathbf E}^{\gamma}_{\quad \alpha}}
.
Далі,
ε
a
˙
b
˙
ε
c
˙
d
˙
=
−
(
δ
a
˙
c
˙
δ
d
˙
b
˙
−
δ
b
˙
c
˙
δ
a
˙
d
˙
)
(
3
)
{\displaystyle \ \varepsilon_{\dot {a}\dot {b}}\varepsilon^{\dot {c} \dot {d}} = -(\delta^{\dot {c}}_{\dot {a}}\delta {\dot {d}}_{\dot {b}} - \delta^{\dot {c}}_{\dot {b}}\delta^{\dot {d}}_{\dot {a}})\qquad (3)}
.
Дійсно, у випадку "однакових" індексів добуток двох матриць
ε
{\displaystyle \ \varepsilon}
відповідає згортці двох символів Леві-Чивіта рангу 3 по одному співпадаючому індексу.
За допомогою цього можна отримати зв'язки між матрицями перетворення коваріантного і контраваріантого спінорів. Для цього використаємо факт, що детермінант будь-якої матриці
S
{\displaystyle \ S}
розмірності 2*2 можна представити за допомогою спінорної метрики як
d
e
t
S
=
−
1
2
ε
a
b
ε
c
d
S
c
a
S
d
b
{\displaystyle \ det S = -\frac{1}{2}\varepsilon_{ab}\varepsilon^{cd}S_{c}^{\ a}S_{d}^{\ b}}
.
Для матриць із одиничним визначником можна написати тоді
1
2
ε
a
b
ε
c
d
N
c
a
N
d
b
=
−
1
{\displaystyle \ \frac{1}{2}\varepsilon_{ab}\varepsilon^{cd}N_{c}^{\ a}N_{d}^{\ b} = -1}
.
Домноживши цей вираз на
ε
n
m
{\displaystyle \ \varepsilon_{nm}}
і використавши
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
, можна отримати
1
2
ε
a
b
(
δ
n
c
δ
m
d
−
δ
m
c
δ
m
d
)
N
c
a
N
d
b
=
−
1
⇒
N
m
a
N
n
b
ε
a
b
=
ε
m
n
{\displaystyle \ \frac{1}{2}\varepsilon_{ab}(\delta^{c}_{n}\delta^{d}_{m} - \delta^{c}_{m}\delta^{d}_{m})N_{c}^{\ a}N_{d}^{ \ b} = -1 \Rightarrow N_{m}^{\ a}N_{n}^{\ b}\varepsilon_{ab} = \varepsilon_{mn}}
.
Аналогічний вираз можна отримати і для обернених матриць:
ε
a
b
(
N
−
1
)
a
n
(
N
−
1
)
b
m
=
ε
m
n
{\displaystyle \ \varepsilon^{ab}(N^{-1})_{a}^{\ n}(N^{-1})_{b}^{ \ m} = \varepsilon^{mn}}
,
що показує інваріантність метрики відносно перетворень, що здійснюються такими матрицями.
Із цих двох співвідношень слідує, що
ε
c
m
ε
m
n
=
N
m
a
N
n
b
ε
a
b
ε
c
m
{\displaystyle \ \varepsilon^{cm}\varepsilon_{mn} = N_{m}^{\ a}N_{n}^{\ b}\varepsilon_{a b}\varepsilon^{cm}}
, і, як наслідок,
(
N
−
1
)
k
c
=
(
N
−
1
)
k
n
N
m
a
N
n
b
ε
a
b
ε
c
m
⇒
(
N
−
1
)
k
c
=
ε
c
m
N
m
a
ε
a
k
⇒
(
N
−
1
)
T
=
−
ε
N
ε
{\displaystyle \ (N^{-1})_{k}^{\ c} = (N^{-1})_{k}^{n}N_{m}^{\ a}N_{n}^{\ b}\varepsilon_{a b}\varepsilon^{cm} \Rightarrow (N^{-1})_{k}^{\ c} = \varepsilon^{cm}N_{m}^{\ a}\varepsilon_{ak} \Rightarrow (N^{-1})^{T} = -\varepsilon N \varepsilon}
.
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
Спряжений спінор [ ]
Оскільки матриці лоренцівських бустів і поворотів є комплексними, треба ввести спряжений спінор
ψ
a
˙
{\displaystyle \ \psi_{\dot {a}}}
, який перетворюється як комплексне спряження спінора
ψ
a
{\displaystyle \ \psi_{a}}
:
ψ
a
˙
′
=
(
ψ
1
˙
′
ψ
2
˙
′
)
=
(
A
∗
B
∗
C
∗
D
∗
)
(
ψ
1
˙
ψ
2
˙
)
,
ψ
a
˙
′
=
(
S
∗
)
a
˙
b
˙
ψ
b
˙
{\displaystyle \ \psi_{\dot {a}}{'} = \begin{pmatrix} \psi_{\dot {1}}{'} \\ \psi_{\dot {2}}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^{*} & B^{*} \\ C^{*} & D^{*} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_{\dot {1}} \\ \psi_{\dot{2}} \end{pmatrix}, \quad \psi_{\dot {a}}{'} = (S^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}}}
.
Аналогічно до "неточкових" спінорів, перетворення контраваріантного спінору є
ψ
a
˙
′
=
(
S
~
∗
)
b
˙
a
˙
ψ
b
˙
=
ψ
b
˙
(
S
∗
−
1
)
b
˙
a
˙
,
ψ
a
˙
′
ψ
a
˙
′
=
ψ
c
˙
(
S
∗
−
1
)
c
˙
a
˙
(
S
∗
)
a
˙
b
˙
ψ
b
˙
=
i
n
v
{\displaystyle \ \psi^{\dot {a}}{'} = (\tilde {S}^{*})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}\psi^{\dot {b}} = \psi^{\dot {b}}(S^{*^{-1}})^{\quad \dot {a}}_{ \dot {b}}, \quad \psi^{\dot {a}}{'}\psi_{\dot {a}}{'} = \psi^{\dot {c}}(S^{*^{-1}})^{\quad \dot {a}}_{ \dot {c}}(S^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}} = inv}
.
При згортці спінорів по індексам можна згортати індекси лише одного типу. Для доведення цього достатньо розглянути згортку
Ψ
α
κ
α
˙
{\displaystyle \ \Psi^{\alpha}\kappa_{\dot \alpha}}
у матричному вигляді:
Ψ
′
α
κ
′
α
˙
=
ψ
′
T
ε
^
κ
˙
′
=
|
ψ
′
T
=
(
S
^
ψ
)
T
=
ψ
T
S
^
T
|
=
ψ
T
S
^
T
ε
^
S
^
∗
κ
˙
=
|
ε
^
ε
^
=
−
E
^
|
=
−
ψ
T
ε
^
ε
^
S
^
T
ε
^
S
^
∗
κ
˙
=
|
ε
^
S
^
T
ε
^
=
−
S
^
−
1
|
=
ψ
T
ε
^
(
S
^
−
1
S
^
∗
)
κ
˙
≠
ψ
T
ε
^
κ
˙
{\displaystyle \ \Psi{'}^{\alpha}\kappa{'}_{\dot {\alpha}} = \psi{'}^{T}\hat \varepsilon \dot {\kappa}{'} = |\psi{'}^{T} = (\hat {\mathbf S} \psi )^{T} = \psi^{T}\hat {\mathbf S}^{T}| = \psi^{T}\hat {\mathbf S}^{T}\hat \varepsilon \hat {\mathbf S}^{*}\dot {\kappa} = |\hat {\varepsilon} \hat {\varepsilon} = -\hat {\mathbf E}| = -\psi^{T}\hat \varepsilon \hat \varepsilon \hat {\mathbf S}^{T}\hat \varepsilon \hat {\mathbf S}^{*}\dot {\kappa} = |\hat \varepsilon \hat {\mathbf S}^{T}\hat \varepsilon = -\hat {\mathbf S}^{-1}| = \psi^{T}\hat \varepsilon (\hat {\mathbf S}^{-1} \hat {\mathbf S}^{*})\dot {\kappa} \neq \psi^{T} \hat {\varepsilon } \dot \kappa}
,
а отже, вираз не є інваріантом.
Вводиться метрика
ε
a
˙
b
˙
=
−
ε
a
˙
b
˙
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle \ \varepsilon^{\dot {a} \dot {b}} = -\varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}
,
за допомогою якої можна піднімати та опускати індекси у спряжених спінорів.
Отже, нарешті, спінор - це двокомпонентний вектор, закон перетворення якого при бустах та тривимірних поворотах дається матрицями з одиничним визначником:
ψ
a
′
=
S
a
b
ψ
b
,
ψ
a
=
ε
a
b
ψ
b
,
ψ
a
′
=
S
b
a
ψ
b
=
ψ
b
(
S
−
1
)
a
b
,
ψ
a
κ
a
=
i
n
v
{\displaystyle \ \psi_{a}{'} = S_{a}^{\quad b}\psi^{b}, \psi^{a} = \varepsilon^{ab}\psi_{b}, \quad \psi^{a}{'} = S^{a}_{\quad b}\psi_{b} = \psi_{b}(S^{-1})^{b}_{\quad a}, \quad \psi^{a}\kappa_{a} = inv }
,
ψ
a
˙
′
=
(
S
∗
)
a
˙
b
˙
ψ
b
˙
,
ψ
a
˙
=
ε
a
˙
b
˙
ψ
b
˙
,
ψ
a
˙
′
=
(
S
∗
)
b
˙
a
˙
ψ
b
˙
=
ψ
b
˙
(
S
∗
−
1
)
a
˙
b
˙
,
ψ
a
˙
κ
a
˙
=
i
n
v
{\displaystyle \ \psi_{\dot {a}}{'} = (S^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}}, \quad \psi^{\dot {a}} = \varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}\psi_{\dot {b}}, \quad \psi^{\dot {a}}{'} = (S^{*})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}\psi^{\dot {b}} = \psi_{\dot {b}}(S^{*^{-1}})^{\dot {b}}_{\quad \dot {a}}, \quad \psi^{\dot {a}}\kappa_{\dot {a}} = inv}
.
Спінорний тензор. Зв'язок векторного та спінорного представлень [ ]
Спінорний тензор рангу
n
{\displaystyle \ n}
- величина із
k
{\displaystyle \ k}
верхніми індексами та
n
−
k
{\displaystyle \ n - k }
нижніми індексами, що перетворюється як сукупність k спінорів та n - k коспінорів. Наприклад,
Ψ
β
α
′
=
S
μ
α
S
β
ν
Ψ
ν
μ
{\displaystyle \ \Psi^{\alpha}_{\quad \beta}{'} = S^{\alpha}_{\quad \mu}S^{\nu}_{\quad \beta}\Psi^{\mu}_{\quad \nu}}
.
Спінорний тензор рангу два з одним спряженим індексом,
ψ
μ
ν
˙
{\displaystyle \ \psi^{\mu \dot {\nu}}}
, перетворюється таким же чином, як і кватерніон
a
^
a
a
˙
=
a
0
E
^
+
(
σ
^
,
a
)
=
x
i
σ
i
=
(
x
0
+
x
3
x
1
−
i
x
2
x
1
+
i
x
2
x
0
−
x
3
)
,
σ
μ
=
(
E
^
,
σ
^
)
{\displaystyle \ \hat {a}_{a \dot {a}} = a_{0}\hat {\mathbf E} + (\hat {\sigma }, \mathbf a ) = x^{i}\sigma_{i} = \begin{pmatrix} x_{0} + x_{3} & x_{1} - ix_{2} \\ x_{1} + ix_{2} & x_{0} - x_{3} \end{pmatrix}, \quad \sigma_{\mu} = \left( \hat {\mathbf E }, \hat {\mathbf \sigma }\right)}
.
Дійсно,
ψ
μ
ν
˙
′
=
S
^
ψ
^
S
∗
^
T
=
S
^
ψ
^
S
^
+
{\displaystyle \ \psi^{\mu \dot {\nu }}{'} = \hat {S}\hat {\psi }\hat {{S}^{*}}^{T} = \hat {S}\hat {\psi} \hat {S}^{+}}
.
Тому кватерніон є частинним випадком спінорів.
Далі, для отримання норми такого спінорного тензора, треба ввести спряжений спінорний тензор:
ψ
γ
μ
˙
=
ε
γ
α
ε
μ
˙
ν
˙
ψ
α
ν
˙
=
(
ε
^
ψ
^
ε
^
T
)
γ
μ
˙
=
−
ε
^
(
a
0
E
^
+
(
σ
a
^
)
)
ε
^
=
a
0
E
^
−
(
a
ε
^
σ
^
ε
^
)
=
a
0
E
^
+
(
a
σ
^
~
)
=
a
μ
σ
~
μ
=
A
^
¯
{\displaystyle \ \psi _{\gamma {\dot {\mu }}}=\varepsilon _{\gamma \alpha }\varepsilon _{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}\psi ^{\alpha {\dot {\nu }}}=({\hat {\varepsilon }}{\hat {\psi }}{\hat {\varepsilon }}^{T})_{\gamma {\dot {\mu }}}=-{\hat {\varepsilon }}(a_{0}{\hat {\mathbf {E} }}+(\mathbf {\hat {\sigma \mathbf {a} }} )){\hat {\varepsilon }}=a_{0}{\hat {\mathbf {E} }}-(\mathbf {a} {\hat {\varepsilon }}{\hat {\sigma }}{\hat {\varepsilon }})=a_{0}{\hat {\mathbf {E} }}+(\mathbf {a} {\tilde {\hat {\sigma }}})=a^{\mu }{\tilde {\sigma }}_{\mu }={\overline {\hat {A}}}}
,
де введена матриця
(
σ
~
μ
)
b
˙
a
=
ε
a
c
ε
b
˙
c
˙
(
σ
μ
)
c
c
˙
=
(
E
^
,
−
σ
^
)
{\displaystyle (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {b}a} = \varepsilon^{a c}\varepsilon^{\dot {b} \dot {c}}(\sigma_{\mu})_{c\dot {c}} = (\hat {\mathbf E}, -\hat {\sigma } )}
.
При цьому
a
α
γ
˙
a
α
γ
˙
=
a
α
γ
˙
a
γ
˙
α
=
(
a
0
2
−
a
2
)
E
^
{\displaystyle \ a^{\alpha \dot {\gamma }}a_{\alpha \dot {\gamma }} = a^{\alpha \dot {\gamma }}a_{\dot {\gamma }\alpha } = ( a_{0}^{2} - \mathbf a ^{2})\hat {\mathbf E}}
.
Можна розглянути зв'язок між 4-векторами та спінорними тензорами. В силу вищенаведеного зв'язку спінорного двохіндексного тензора та 4-вектора,
X
α
β
˙
=
(
σ
μ
)
α
β
˙
x
μ
,
X
β
˙
α
=
(
σ
~
μ
)
β
˙
α
x
μ
(
.3
)
{\displaystyle \ X_{\alpha \dot {\beta}} = (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\beta }}x_{\mu }, \quad X^{\dot {\beta }\alpha } = (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\beta }\alpha }x^{\mu } \qquad (.3)}
,
а також - умови на слід для добутку матриць
T
r
(
σ
^
μ
σ
^
~
ν
)
=
2
g
μ
ν
{\displaystyle Tr (\hat {\sigma}_{\mu}\tilde { \hat \sigma}_{\nu}) = 2g_{\mu \nu}}
(див. підрозділ нижче), можна отримати обернене співвідношення:
x
μ
=
1
2
(
σ
~
μ
)
α
˙
α
X
α
α
˙
=
1
2
T
r
(
σ
^
μ
X
)
(
.4
)
{\displaystyle \ x^{\mu} = \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{ \dot {\alpha }\alpha}X_{\alpha \dot {\alpha }} = \frac{1}{2}Tr(\hat {\sigma}^{\mu}X) \qquad (.4)}
.
Дійсно,
x
μ
=
1
2
T
r
(
E
^
)
x
μ
=
x
μ
{\displaystyle \ x^{\mu} = \frac{1}{2}Tr(\hat {\mathbf E})x^{\mu} = x^{\mu}}
.
Можна дещо видозмінити визначення спінорного представлення
X
=
x
μ
σ
^
μ
{\displaystyle \ X = x^{\mu}\hat {\sigma}_{\mu}}
. В силу того, що матриці Паулі безслідові, нульову компоненту 4-вектора можна представити як
x
0
=
1
2
T
r
(
X
)
{\displaystyle \ x^{0} = \frac{1}{2}Tr (X)}
, і в силу цього ж та співвідношень для множення матриць Паулі просторові компоненти можуть бути записані у вигляді
x
i
=
1
2
T
r
(
X
σ
i
^
)
{\displaystyle \ x^{i} = \frac{1}{2}Tr(X \hat {\sigma^{i}})}
. Тоді
X
=
1
2
T
r
(
X
)
E
^
+
1
2
T
r
(
X
σ
i
^
)
σ
^
i
{\displaystyle \ X = \frac{1}{2}Tr (X)\hat {\mathbf E } + \frac{1}{2}Tr(X \hat {\sigma^{i}})\hat {\sigma }_{i}}
.
Такий вираз знадобиться у подальшому. Більш строгий зв'язок векторного представлення (групи Лоренца) зі спінорним буде даний у відповідному розділі .
Можна, маючи
(
3
)
,
(
4
)
{\displaystyle \ (3), (4)}
, встановити загальну відповідність 4-тензора до спінора:
C
μ
1
.
.
.
μ
n
=
1
2
n
(
σ
~
μ
1
)
a
1
˙
a
1
.
.
.
(
σ
~
μ
n
)
a
n
˙
a
n
X
a
1
.
.
.
a
n
a
˙
1
.
.
.
a
˙
n
,
X
a
1
.
.
.
a
n
a
˙
1
.
.
.
a
˙
n
=
(
σ
μ
1
)
a
1
a
˙
1
.
.
.
(
σ
μ
n
)
a
n
a
˙
n
C
μ
1
.
.
.
μ
n
(
5
)
{\displaystyle \ C_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}(\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{ \dot {a_{1} }a_{1}}...(\tilde {\sigma}^{\mu_{n}})^{ \dot {a_{n} }a_{n}}X_{a_{1}...a_{n}\dot{a}_{1}...\dot{a}_{n}}, \quad X_{a_{1}...a_{n}\dot{a}_{1}...\dot{a}_{n}} = (\sigma^{\mu_{1}})_{a_{1} \dot {a}_{1}}...(\sigma^{\mu_{n}})_{a_{n} \dot {a}_{n}}C_{\mu_{1}...\mu_{n}} \qquad (5)}
.
Наостанок залишається переконатись, що четвірка матриць
(
σ
μ
)
a
a
˙
{\displaystyle \ (\sigma^{\mu})_{a \dot {a}}}
є інваріантом перетворень Лоренца. Це можна показати, використовуючи відповідність перетворень 4-вектора у векторному та спінорному представленнях. Отже, для спінорного представлення 4-вектора справедливі перетворення по спінорним індексам,
X
′
a
a
˙
=
N
a
b
N
a
˙
b
˙
X
b
b
˙
=
x
μ
N
a
b
N
a
˙
b
˙
(
σ
μ
)
b
b
˙
{\displaystyle \ X{'}_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}X_{b \dot {b}} = x^{\mu}N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\mu})_{b \dot {b}} }
,
і по векторним,
X
′
a
a
˙
=
x
μ
′
(
σ
μ
)
a
a
˙
=
Λ
ν
μ
x
ν
(
σ
μ
)
a
a
˙
{\displaystyle \ X{'}_{a \dot {a}} = x^{\mu}{'}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = \Lambda^{\quad \mu}_{\nu}x^{\nu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}}
.
Прирівнюючи ці дві рівності, в силу довільності
x
μ
{\displaystyle \ x^{\mu}}
можна отримати
Λ
ν
μ
(
σ
μ
)
a
a
˙
=
N
a
b
N
a
˙
b
˙
(
σ
ν
)
b
b
˙
⇒
(
σ
μ
)
a
a
˙
=
N
a
b
N
a
˙
b
˙
(
σ
ν
)
b
b
˙
(
Λ
−
1
)
μ
ν
{\displaystyle \ \Lambda^{\quad \mu}_{\nu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\nu})_{b \dot {b}} \Rightarrow (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\nu})_{b \dot {b}}(\Lambda^{-1})^{\nu}_{\quad \mu}}
.
Це означає, що
(
σ
μ
)
a
a
˙
{\displaystyle \ (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}}
є інваріантом відносно перетворень Лоренца. Дійсно, матриця має один 4-векторний індекс та два спінорних; кожен з них перетворюється за допомогою відповідної матриці. Тоді повне (за допомогою трьох вказаних матриць) перетворення матриці дає ту ж саму матрицю.
Властивості матриць Паулі [ ]
Для подальшого дуже знадобляться наступні властивості матриць Паулі.
1.
(
σ
μ
)
α
α
˙
(
σ
~
μ
)
β
˙
β
=
2
δ
α
β
δ
α
˙
β
˙
{\displaystyle \ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}}
.
2. Четвірка матриць
(
σ
μ
)
a
a
˙
{\displaystyle \ (\sigma^{\mu})_{a \dot {a}}}
є інваріантом перетворень Лоренца.
3.
(
σ
μ
σ
~
ν
+
σ
ν
σ
~
μ
)
a
b
=
2
g
μ
ν
δ
a
b
{\displaystyle \ (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu} + \sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})^{\quad b}_{a} = 2g^{\mu \nu}\delta_{a}^{b} }
.
4.
T
r
(
σ
^
μ
σ
^
~
ν
)
=
2
g
μ
ν
{\displaystyle \ Tr (\hat {\sigma}_{\mu}\tilde { \hat \sigma}_{\nu}) = 2g_{\mu \nu}}
.
Доведення .