FANDOM


Повернутися до розділу "Енергія та імпульс у СТВ".

У рамках СТВ загальний вираз для вектора сили дається похідною від вектора імпульсу:

$ \ \mathbf F = \frac{d \mathbf p}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{m \mathbf v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}) = \frac{m \frac{d \mathbf v}{dt}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} + m \mathbf v \frac{d \mathbf v}{dt}\frac{d}{d \mathbf v}(\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}})}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{m \frac{d \mathbf v}{dt}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m \mathbf v (\mathbf v \cdot \frac{d \mathbf v}{dt})}{c^{2}(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} \qquad (.0) $.

Для величини $ \ \frac{d \mathbf v}{dt} $ не вводиться ніякого позначення, оскільки у релятивістській фізиці, як видно із $ \ (.0) $, вона не може бути названою прискоренням, виходячи із визначення сили як $ \ \mathbf F = m \mathbf a $.

Сила, як 3-вектор, не є інваріантною у рамках СТВ. Для визначення закону зв'язку векторів сили відносно спостерігачів у ІСВ $ \ K, K' $ для сили, вектор якої співнапрямлений з вектором відносної швидкості ІСВ (який задає вісь $ \ O_{x} $), треба послідовно знайти диференціали

$ \ dE' = \frac{dE - dp_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad dp_{x}' = \frac{dp_{x} - \frac{dE u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.1) $.

Для початку, похідна від енергії по часу рівна

$ \ \frac{dE}{dt} = (\mathbf F \cdot \mathbf v) $.

Дійсно,

$ \ \frac{dE}{dt} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{d}{d \mathbf v} \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{m \mathbf v}{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{m \mathbf v - m \mathbf v \frac{v^{2}}{c^{2}} + m \mathbf v \frac{v^{2}}{c^{2}}}{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{m (\mathbf v \cdot \mathbf a)}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m v^{2} (\mathbf v \cdot \mathbf a)}{c^{2}(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = (\mathbf F \cdot \mathbf v) $.

Далі треба знайти власний час частинки, інваріантний відносно будь-якої ІСВ. В принципі, вираз для нього уже був отриманий при аналізі інтервалу причинно пов'язаних подій, але доцільно буде отримати інше виведення. Для цього можна записати перетворення Лоренца для часу:

$ \ \sqrt{1 - \frac{v{'}^{2}}{c^{2}} }dt{'} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt \qquad (2) $.

Цей вираз слідує із доведеного раніше виразу про зв'язок між швидкостями у різних ІСВ та перетворень Лоренца для часу:

$ \ \sqrt{1 - \frac{v{'}^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \frac{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}} \Rightarrow \left|dt' = \gamma \left(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}}\right)\right| \Rightarrow \sqrt{1 - \frac{v{'}^{2}}{c^{2}}} dt{'} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt $.

Якщо розділити $ \ (1) $ на $ \ (2) $, можна буде отримати перетворення Лоренца для компонент 3-сили:

$ \ \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) - F_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} $,

$ \ \frac{F_{x}'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{F_{x} - \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} $.

Векторними перетвореннями сили при переході між ІСВ є, аналогічно до перетворень вектора швидкості як похідній по часу від перетворень радіус-вектора, похідна по власному часу від виразу перетворення вектора імпульсу:

$ \ \frac{d \mathbf p'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt'} = \frac{d \mathbf p - \gamma \frac{\mathbf u dE}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot d \mathbf p)}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} \Rightarrow \frac{\mathbf F'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\mathbf F - \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F)}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} $.

Обернене перетворення має наступний вигляд:

$ \ \frac{\mathbf F}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow \left| \frac{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}}} \right| \Rightarrow \frac{\mathbf F \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}}} = \mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}} $.

Аналогічно з інтервалом та 4-вектором енергії-імпульсу, для сили є власний 4-вектор з компонентами, які отримуються шляхом диференціювання компонент 4-вектора енергії-імпульса по власному часу:

$ \ f^{\mu} = \frac{dp^{\mu}}{d\tau} = \frac{dp^{\mu}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \frac{(\frac{dE}{c}, dp_{x}, dp_{y}, dp_{z})}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \left(\frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{x}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{y}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{z}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right) $.