NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Побудова розв'язку рівняння Дірака[]

Оскільки рівняння Дірака - лінійне, то за допомогою методу Фур'є можна шукати розв'язок у вигляді

,

де - деякий біспінор.

Підстановка у рівняння Дірака цього виразу дає

.

Нехай далі

.

Тоді рівняння спроститься до

.

Оскільки (розв'язок будується у діраківському представленні)

,

то, перейшовши від біспінорного запису до спінорного, можна отримати систему

.

Друге рівняння можна помножити на , підставивши до нього перше рівняння (і використовуючи тотожність із підрозділу про кватерніони):

.

Звідси .

Тому загальний розв'язок може бути записаний як сума розв'язків, кожен з яких відповідає своєму :

,

де .

Якщо у другому доданку зробити заміну , то, як уже було написано у розділі про скалярне поле, в силу симетричності меж інтегрування останні не зміняться, степінь експоненти згорнеться у , і тоді

.

Можна обмежити явний вигляд амплітуд . Для цього треба використати систему . Виразивши із її другого рівняння , підставивши перед цим , а із першого, після підстановки , спінор , можна отримати, що

.

Біспінори можна записати через власні вектори матриці . Тому, розкладаючи амплітуди по власним векторам матриці

як

,

вираз можна переписати:

,

де величини

називаються біспінорними хвилями.

Властивості біспінорних хвиль[]

1. Біспінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака,

,

і співвідношенням

.

2. Умова ортогональності для біспінорних хвиль .

З урахуванням явних виразів для , умови ортогональності і того, що при інверсії власне число змінюється як , можна отримати

,

.

3. Можна показати, що вектори мають такі властивості (сума по поляризаціям):

.

У цьому нескладно переконатися. Дійсно, якщо використати явний вигляд для, наприклад, ,

,

то при взятті суми можна отримати

.

Тепер треба врахувати, що і що сума (це справедливо в силу того, що утворюють повний базис; при бажанні рівність перевіряється "в лоб"). Тому

.

Рівність для перевіряється аналогічно.

4. Справедливим є співвідношення .

Дійсно,

.

Тут були використані рівняння (його було ермітово спряжено і домножено на ) і явний вигляд для доведення співвідношення (див. п. 2, 3).

Advertisement