FANDOM


Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями".

Релятивістське полеEdit

Релятивістське поле - це поле, яке визначене на просторі-часі Мінковського та перетворюється по представленню групи Пуанкаре. Тобто, для

\ x^{\mu}{'} = \Lambda^{\mu}_{\quad \nu}x^{\nu} + a^{\mu}, \quad g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}\Lambda^{\nu }_{\beta} = g_{\alpha \beta }, \quad \psi (x) = \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = \psi_{A_{n}\dot {A}_{m}}

перетворення здійснюється за законом

\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x') = T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(x), \quad T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = N^{\quad b_{1}}_{a_{1}}...N^{\quad b_{n}}_{a_{n}}N^{\quad \dot {b}_{1}}*_{\dot {a}_{1}}...N^{\quad \dot {b}_{m}}*_{\dot {a}_{m}}.

Поле побудоване відповідає представленню групи Лоренца \ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right), і може бути відповідним чином класифіковане: якщо зафіксувати масу \ m, то воно буде перетворюватися через незвідне представлення групи Лоренца.

Якщо виразити із співвідношення перетворення Пуанкаре \ x^{\mu} через \ x^{\mu}{'}, \ x = \Lambda^{-1}(x' - a), та замінити \ x{'} \to x, то можна отримати для закону перетворення поля вираз

\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x) = T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(\Lambda^{-1}(x - a)) \qquad (.1),

який є визначаючим співвідношенням для релятивістського поля.

Можна знайти спінорні вирази для операторів \ P_{\mu}, J_{\mu \nu} для релятивістських полів. Оскільки при інфінітезимальних перетвореннях розклад матриці перетворення Лоренца відповідає виразу

\ \Lambda^{\mu \nu} = \delta^{\mu \nu} + \omega^{\mu \nu},

а матриці \ N є елементами групи \ SL(2, C), що відповідають даним матрицям \ \Lambda, то для представлення \ T(N) справедливе

\ T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = \hat {E}^{B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} + \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}(J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}, \quad \hat {E}^{B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = \delta^{b_{1}}_{a_1{}}... , \quad (J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = (M_{\mu \nu})^{\quad b_{1}...}_{a_{1}...},

де \ J_{\mu \nu} - генератори групи Лоренца у спін-тензорному представленні (див. розділ "Оператори Казиміра спінорного представлення групи Лоренца"). В результаті, враховуючи асимптотичний розклад матриці \ {\Lambda^{-1}}^{\mu \nu} = \delta^{\mu \nu} - \omega^{\mu \nu}, можна отримати для перетворення \ (.1)

\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x) = T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(\Lambda^{-1}(x - a)) = (\hat {\mathbf E} + \omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(x - x\omega - a) \qquad (.2),

де у дужках в останній рівності було знехтувано доданком \ a\omega через його нелінійність по параметрам.

При цьому треба зберігти лінійний по параметрам вигляд для всього виразу. Для цього треба розкласти його в ряд в околі нульових значень параметрів \ a^{\mu}, \omega^{\mu \nu}. Враховуючи, що \ \left( \partial_{a_{\mu}}\psi \right)_{a_{\mu} = 0} = \left( \partial_{\omega^{\mu}_{ \nu}x^{\nu}}\psi\right)_{\omega^{\mu}_{\nu} = 0} = \partial_{\mu}\psi, можна одержати із \ (.2)

\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x) = (\hat {\mathbf E} + \omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} \left( \psi_{B_{n}\dot {B}_{m}} - a^{\mu}\partial_{a_{\mu}}(\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}) - \omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}\partial_{\omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}}(\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}) \right) =

\ = \psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} - a^{\mu}\partial_{\mu}\psi_{A_{n} \dot {A}_{m}} - \omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}\partial_{\mu }\psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} + \omega^{\mu \nu}\left({J_{\mu \nu}}\right)_{A_{n}\dot {A}_{m}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}} \qquad (.3).

Позначаючи \ \delta \psi = \psi ' - \psi, виділяючи уявні одиниці у всіх доданках (для ермітовості) та перетворюючи

\ -\omega^{\mu \nu}x_{\nu}\partial_{\mu }\psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} = \frac{i\omega^{\mu \nu}}{2}\left( x_{\mu}i\partial_{\nu} - x_{\nu }i\partial_{\mu } \right)\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}},

із \ (.3) можна отримати

\ \delta \psi = ia^{\mu}i\partial_{\mu}\psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} + \frac{i\omega^{\mu \nu}}{2}\left( (x_{\mu}i\partial_{\nu} - x_{\nu }i\partial_{\mu })\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} - i{J_{\mu \nu}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}} \right)\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}} \qquad (.4).

У статті про групу Пуанкаре було отримано вираз для перетворення довільного незвідного представлення групи,

\ T(a , \Lambda ) = e^{ia^{\mu}\partial_{\mu}}e^{\frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}M_{\mu \nu}}, \quad \psi {'} = T(a , \Lambda ) \Psi , \quad \delta \psi = ia^{\mu}\partial_{\mu}\psi + \frac{i\omega^{\mu \nu}}{2}M_{\mu \nu}\psi \qquad (.5).

Якщо порівняти \ (.4), (.5), можна отримати вирази для "польових версій" операторів \ M_{\mu \nu}, P_{\mu}:

\ {P_{\mu}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = i\partial_{\mu}\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}, \quad M_{\mu \nu} = (x_{\mu}i\partial_{\nu} - x_{\nu }i\partial_{\mu })\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} - i{J_{\mu \nu}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}} = L_{\mu \nu} + S_{\mu \nu},

де перший оператор виразу для \ M_{\mu \nu} відповідає орбітальному моменту, а другий - спіновому.

Очевидно, що кожен із операторів задовольняє алгебрі \ M_{\mu \nu}, а відповідний вектор Любанського-Паулі не містить \ L_{\mu \nu}, оскільки відбувається згортка із символом Леві-Чивіта.

Релятивістське хвильове рівнянняEdit

Нехай є релятивістське поле \ \psi_{B}. Для нього ставиться задача знаходження закону розповсюдження у просторі-часі. Задача відповідає релятивістському хвильовому рівнянню. Можна накласти деякі умови на рівняння. По-перше, воно повинно бути Пуанкаре-коваріантним. Тобто, для рівняння

\ L_{A}^{\quad B}\psi_{B}(x) = 0, \quad L_{A}^{\quad B} = L_{A}^{\quad B}(\partial_{\mu}),

функції \ \psi_{B}, яка перетворюється за представленням Пуанкаре, повинна відповідати функція \ L_{A}^{\quad B}\psi_{B}(x), яка також перетворюється за представлення Пуанкаре. Це означає, що часова координата не виділена відносно просторових. Далі, можна накласти умову на вигляд оператору \ L_{A}^{\quad B}: рівняння не повинно містити похідні, старші другого порядку. Враховуючи рівноправність похідних, рівняння набуває вигляду

 \left((a^{\mu \nu})_{A}^{\quad B}\partial_{\mu}\partial_{\nu} + (b^{\mu})_{A}^{\quad B}\partial_{\mu} + C_{A}^{\quad B} \right)\psi_{B} = 0,

де матричні коефіцієнти при похідних не залежать від координат в силу однорідності простору-часу. Тому вони побудовані із інваріантних відносно перетворення Лоренца тензорів. Такими величинами є  g_{\mu \nu}, \ \varepsilon_{\alpha \beta}, \varepsilon^{\dot {\alpha} \dot {\beta}} (див. підрозділ про спінори), \ (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}, (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {a}a} (той же розділ), \ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta } (див. розділ про антисиметричні тензори у просторі-часі Мінковського).

Крім того, поля повинні реалізовувати незвідні представлення групи Пуанкаре. Це означає, що масивні представлення повинні задовольняти умовам

\ p^{2}\psi_{A} = m^{2}\psi_{A}, \quad W^{2}\psi_{A} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{A},

а безмасові -

\ \frac{(\mathbf p \cdot \mathbf S )}{|\mathbf p|}\psi_{A} = \lambda \psi_{A}.

У наступному розділі буде отримана і доведена теорема, що пов'язує частинки і поля, у рамках спінорного формалізму.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.