FANDOM


Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

На основі калібрувального принципу у попередньому розділі були побудовані теорії взаємодії біспінорного діраківського поля та комплексного скалярного поля із електромагнітним полем. Аналогічним чином, із використанням відповідного принципу, можуть бути побудовані взаємодії полів вищих спінів з електромагнітним полем.

Проте для описання сильної та електрослабкої взаємодій необхідне розширення групи локального калібрувального перетворення. Історично така ідея була суто математичною - грунтувалася на ідеї принципу калібрувальної інваріантності та наступному збільшенню ступенів вільності, пов'язаних із набором калібрувальних полів. Потім було знайдено багато частинок, які приймали участь у сильній та слабкій взаємодіях. Після цього було встановлено, що все різноманіття "сильних" частинок може бути зведене до невеликої кількості "фундаментальних частинок", названих кварками. Було введено поняття квантової ступені вільності кварків - колір. Якщо врахувати природню умову калібрувальної інваріантності, виявиться, що калібрувальне поле для сильної взаємодії може бути описане представленням $ \ SU(3) $. Аналогічно, для електрослабкої взаємодії поле описується групою $ \ SU(2) $ (правильніше, $ \ SU(2) \otimes U(1) $). У наступних розділах ці теорії сформульовані математично.

Група $ \ SU(2) $ має в якості генераторів три матриці Паулі. Довільна матриця групи записується як $ \ U = e^{i\sigma_{j}\varphi^{j}} $. Матриця залишає інваріантом (при перетвореннях виду $ \ \Psi \to U \Psi , \quad \Psi^{\dagger} \to \Psi^{\dagger}U^{\dagger} $) білінійну форму

$ \ \Psi^{\dagger}\Psi = {\Psi^{*}}^{1}\Psi^{1} + {\Psi^{*}}^{2}\Psi^{2} $,

Можна розглянути випадок, коли $ \ \Psi^{1, 2} $ являються біспінорами. Тоді $ \ \Psi^{i} = \Psi^{i}_{\alpha} $, а поле $ \ \Psi $ має вісім комплексних компонент. В силу того, що компоненти поля - біспінори, для кожного з них справедливе рівняння Дірака, а тому - і відповідний лагранжіан, тому в лагранжіан самого поля входять окремо лагранжіани біспінорів. В результаті лагранжіан має вигляд

$ \ L = \bar {\Psi }\gamma^{\mu}i\partial_{\mu}\Psi - m\bar {\Psi}\Psi = \left|\bar {\Psi} = \Psi^{+}\gamma^{0}\right| = (\Psi^{+})^{c}_{\alpha}(\gamma^{0} \gamma^{\mu})_{\alpha \beta }i\partial_{\mu}\Psi^{c}_{\beta } - m(\Psi^{+})^{c}_{\alpha}(\gamma^{0})_{\alpha \beta }\Psi^{c}_{\beta } \qquad (.0) $,

де сумується по $ \ c $ від одного до двох, по $ \ \alpha , \beta $ - від одного до чотирьох.

Лагранжіан є інваріантним відносно глобального перетворення $ \ SU(2) $, параметри якого не залежать від координат та часу:

$ \ \psi_{\alpha}{'}_{c} = U_{cb}\psi^{b}_{\alpha}, \quad U^{+}_{ac}U_{cb} = U_{ca}^{*}U_{cb} = \delta_{ab} \qquad (.1) $.

Індекси $ \ a, b, c $ називаються "кольоровими".

Аналогічно до випадку зі "звичайною" калібрувальною інваріантністю, можна перейти до локально інваріантного лагранжіану. Спочатку можна подовжити похідну (процедура із диференціюванням матриці $ \ U $ є складною в силу некомутативності $ \ ((\partial_{\mu}\mathbf {\omega} )\cdot \hat {\mathbf \sigma}), (\mathbf {\omega }\hat {\mathbf \sigma}) $). Подовження похідної здійснюється за рахунок чотирьох матриць 2*2 $ \ A^{\mu}_{ab} $:

$ \ L{'} = \bar {\Psi }\left(\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} + g\gamma^{\mu}A_{\mu}\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi \qquad (.2) $,

і, переходячи до локального калібрувального перетворення $ \ (.1) $, можна отримати

$ \ L{'} \to \bar {\Psi }U^{+}\gamma^{\mu}\left( i \partial_{\mu} + g{A_{\mu}}{'}\right) U \Psi - m\bar {\Psi}\Psi = \bar {\Psi}\gamma^{\mu}\left( iU^{+}(\partial_{\mu} U) + i \partial_{\mu} + gU^{+}{A_{\mu}}{'}U\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi \qquad (.3) $,

де $ \ U^{+} $ переставляється із $ \ \gamma^{\mu} $ через те, що (як видно із закону перетворення) вона згортається із біспінором $ \ \bar {\Psi} $.

Враховуючи, що із унітарності $ \ U $ слідує

$ \ UU^{+} = 1 \Rightarrow \partial_{\mu}(UU^{+}) = (\partial_{\mu}U)U^{+} + U(\partial_{\mu} U^{+}) = 0 \Rightarrow (\partial_{\mu}U)U^{+} = -U(\partial_{\mu} U^{+}) $,

$ \ (.3) $ перейде в $ \ (.2) $, якщо для поля $ \ A_{\mu} $ виконується калібрувальне перетворення

$ \ gU^{+}A_{\mu}^{'}U = gA_{\mu} - iU^{+}(\partial_{\mu} U) $,

або, якщо домножити зліва та зправа на $ \ U, U^{+} $ відповідно,

$ \ A_{\mu}{'} = UA_{\mu}U^{+} - \frac{i}{g}(\partial_{\mu} U) U^{+} = UA_{\mu}U^{+} + \frac{i}{g}U\partial_{\mu} U^{+} = \frac{i}{g}UD_{\mu}U^{+}, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - igA_{\mu} $.

Можна знайти вираз для введеної подовженої похідної від поля $ \ \Psi $. Беручи пряме калібрувальне перетворення, можна отримати

$ \ D_{\mu}{'}\Psi{'} = UD_{\mu }U^{+}\Psi{'} $.

Ці похідні не комутують одна з одною. Дійсно,

$ \ [D_{\mu}, D_{\nu}]\Psi = [\partial_{\mu}, \partial_{\nu}]\Psi - ig\left( [\partial_{\mu}, A_{\nu}] + [A_{\mu}, \partial_{\nu}]\right) \Psi - g^{2}[A_{\mu}, A_{\nu}]\Psi = $

$ \ = -ig\left( (\partial_{\mu}A_{\nu}) + A_{\nu}\partial_{\mu} - A_{\nu}\partial_{\mu} + A_{\mu}\partial_{\nu} - A_{\mu}\partial_{\nu} - (\partial_{\nu}A_{\mu}) - ig[A_{\mu}, A_{\nu}]\right)\Psi = -igF_{\mu \nu}\Psi , \quad F_{\mu \nu} = (\partial_{\mu}A_{\nu}) - (\partial_{\nu}A_{\mu}) - ig[A_{\mu}, A_{\nu}] $,

де введено матрицю тензорів напруженості $ \ F_{\mu \nu} = D_{\mu}A_{\nu} - D_{\nu}A_{\mu} $. Її калібрувальне перетворення дає

$ \ F_{\mu \nu}{'}\Psi{'} = UF_{\mu \nu}U^{+}\Psi{'} $.

Калібрувальне поле можна розкласти по базису матриць Паулі:

$ \ A_{\mu} = \frac{1}{2}A_{\mu}^{c}\hat {\sigma}_{c} = \frac{1}{2}(\mathbf {A}_{\mu}\cdot \hat {\mathbf {\sigma}}), \quad \mathbf {A}_{\mu} = (A_{\mu}^{1}, A_{\mu}^{2}, A_{\mu}^{3}) $.

Це означає, що калібрувально-інваріантне біспінорне поле $ \ (.2) $ взаємодіє із трьома 4-векторними полями $ \ A_{\mu}^{i} $.

За допомогою отриманого розкладу можна розкласти також тензор поля $ \ F_{\mu \nu} $:

$ \ F_{\mu \nu} = D_{\mu}A_{\nu} - D_{\nu}A_{\mu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\mu }A_{\nu} - ig[A_{\mu}, A_{\nu}] = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right)\mathbf {\sigma} - \frac{ig}{4}A_{\mu}^{a}A_{\nu}^{b}[\sigma_{a},\sigma_{b}] = \left|[\sigma_{a},\sigma_{b}] = \delta_{ab}\mathbf E + i\varepsilon_{abc}\sigma^{c} - \delta_{ba}\mathbf E - i\varepsilon_{bac}\sigma^{c} \right| = $

$ \ = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right) \cdot \mathbf {\sigma} + \frac{g}{2}A_{\mu}^{a}A_{\nu}^{b}\varepsilon_{abc}\sigma^{c} = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right)\mathbf {\sigma} + \frac{g}{2}([\mathbf A_{\mu} \times \mathbf A_{\nu}]\cdot \sigma ) = \frac{1}{2}\mathbf F_{\mu \nu}^{c}\sigma_{c} $.

Можна повернутися до лагранжіану поля. Додаючи до $ \ (.2) $ калібрувально-інваріантний доданок $ \ \frac{1}{16 \pi}\mathbf {F}_{\mu \nu}^{a}\mathbf {F}^{\mu \nu}_{a} $, можна отримати

$ \ L = \bar {\Psi }\gamma^{\mu} \left(i\partial_{\mu} + gA_{\mu}\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi - \frac{1}{16 \pi}(\mathbf F_{\mu \nu} \mathbf F^{\mu \nu}) = \bar {\Psi }\gamma^{\mu}\left(i\partial_{\mu} + \frac{g}{2}(\mathbf A_{\mu}\hat {\mathbf \sigma })\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi - \frac{1}{16 \pi}(\mathbf F_{\mu \nu}^{a} \mathbf F^{\mu \nu}_{a}) \qquad (.4) $.

Відповідне рівняння поля дає

$ \ -2 \pi g\bar {\Psi }\gamma^{\mu}\hat {\mathbf \sigma }\Psi = \frac{1}{4 \pi}\partial_{\alpha}F^{\alpha \beta} + [\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \beta}] $.

Можна отримати вираз для нетерівського струму, якщо розкласти матрицю перетворення в ряд по параметру $ \ \mathbf \omega $:

$ \ \Psi {'} = U\Psi \approx \left( \hat {\mathbf E} + \frac{i}{2}(\mathbf \omega \cdot \hat {\mathbf \sigma})\right) \Psi , \quad \bar {\Psi}{'} = \bar {\Psi}U^{+} \approx \bar {\Psi} \left( \hat {\mathbf E} + \frac{i}{2}(\mathbf \omega \cdot \hat {\mathbf \sigma})\right), \quad A_{\mu}{'} \approx (\mathbf A_{\mu} + [\mathbf A_{\mu} \times \mathbf \omega ])\cdot \hat {\mathbf \sigma} \qquad (5) $

(для третього виразу не враховується розклад доданку $ \ \frac{i}{g}U\partial_{\mu} U^{+} $, оскільки він все одно скоротиться із відповідним доданком лагранжіану).

Використовуючи вираз для нетерівського струму (див. підрозділ "Теорема Нетер" статті "Теорія поля")

$ \ J^{\mu }_{a} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, a} - \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k} - \delta_{\nu}^{\mu}L\right)X^{\nu}_{a} $

та враховуючи, що $ \ X^{\nu}_{a} = 0 $, із виразу $ \ (.4) $ можна отримати (одразу враховується, що $ \ \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi {'})}\right)_{\omega_{a} = 0} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi )} $)

$ \ J^{\mu}_{a} = \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi )}\frac{\partial \Psi {'}}{\partial \omega^{a}} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi})}\frac{\partial \bar {\Psi} {'}}{\partial \omega^{a}} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\mathbf A_{\nu}^{m})}\frac{\partial \mathbf A_{\nu}^{m}{'}}{\partial \omega^{a}} \right)_{\omega_{a} = 0} = $

$ \ = \left| \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\mathbf A_{\nu}^{m})}\frac{\partial \mathbf {(A_{\nu})}^{m}{'}}{\partial \omega^{a}} = -\frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu})_{m}\partial_{\omega_a}([\mathbf A_{\nu} \times \mathbf \omega ])^{m} = -\frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu})_{m}\partial_{\omega_{a}}(\varepsilon^{mjk}(A_{\nu})_{j}\omega_{k}) = -\frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu})_{m}\varepsilon^{mj}_{\quad a}(A_{\nu})_{j} = -\frac{1}{4 \pi}[\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \mu}]_{a}\right| = $

$ \ = \left| \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi})} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi ^{a})}\frac{\partial \Psi {'}}{\partial \omega^{a}} = i\bar {\Psi}\gamma^{\mu}\frac{i}{2}\hat {\sigma}_{a}\Psi = -\frac{1}{2}\gamma^{\mu}\hat {\sigma}_{a}\Psi \right| = $

$ \ = -\frac{1}{2}\gamma^{\mu}\hat {\sigma}_{a}\Psi -\frac{1}{4 \pi}[\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \mu}]_{a} $.