FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Групи $ \ SU(n) $ складаються з набору квадратних матриць рангу $ \ n $, які є унітарними, $ \ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} =\hat {\mathbf E} $, та мають одиничний визначник, $ \ det \hat {\mathbf U} = 1 $.

Внаслідок цього зберігається норма відповідного $ \ n $-компонентного комплексного вектора $ \ \mathbf z $, який перетворюється як $ \ \mathbf z{'} = \hat {\mathbf U}\mathbf z $. Дійсно, для скалярного добутку в унітарних просторах

$ \ \mathbf z^{+}\mathbf z = (\hat {\mathbf U}\mathbf z )^{+}\hat {\mathbf U}\mathbf z = \mathbf z^{+}\hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U}\mathbf z = \mathbf z^{+}\mathbf z = inv $.

Можна розкласти матрицю в ряд в околі одиничного перетворення:

$ \ \hat {\mathbf U} \approx \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A } $.

Матриця $ \ \hat {\mathbf A} $ повинна бути антиермітовою та безслідовою. Дійсно,

$ \ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} \approx \left( \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}^{+} \right) \left( \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}\right) \approx \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}^{+} + \hat {\mathbf A} = \hat {\mathbf E} \Rightarrow \hat {\mathbf A}^{+} = -\hat {\mathbf A} $,

$ \ det \left(\hat {\mathbf U}\right) \approx det (\hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}) \approx 1 + tr (\hat {\mathbf A}) = 1 \Rightarrow tr (\hat {\mathbf A}) = 0 $.

Кількість незалежних параметрів такої матриці рівна $ \ n^{2} - 1 $. Дійсно, як комплексна матриця рангу $ \ n $ вона має $ \ 2n^{2} $ незалежних компонент. Антиермітовість матриці дає умовою рівність нулю дійсних частин кожної діагональної компоненти, $ \ A^{*}_{ii} = -A_{ii} \Rightarrow Re(A_{ii}) = 0 $, що відповідає $ \ n $ незалежним умовам на компоненти, та $ \ n^2 - n $ умов на недіагональні елементи. Безслідовість накладає ще одну умову. Тому кількість незалежних умов складає $ \ 2n^2 - n^2 - n + n -1 = n^{2} - 1 $.

Можна розглянути конкретні випадки, що буде зроблено у наступних розділах.