Потенціали Лієнара-Віхерта

Повернутися до розділу "Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено".

Вирази для потенціалів, отримані у розділі Потенціали поля, враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:

$\ \varphi ={\frac {Q}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}},\quad \mathbf {A} ={\frac {Q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}\qquad (.1)$,

де $\ \mathbf {R} =\mathbf {R} (T)=\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(T),\quad T:t-\tau -{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}}=0$.

Дійсно, нехай, наприклад, розглядається інтеграл для $\ \varphi$:

$\ \varphi (\mathbf {x} ,T)=\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ,t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}})d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}=\int \int {\frac {\rho (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}{c}}\right)d\tau =\int \int {\frac {Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {x} _{0}(\tau ))d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)d\tau =$

$\ =\int {\frac {Q\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}{c}}\right)d\tau }{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}(\tau )|}}=\int {\frac {Q\delta \left(t-\tau -{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}}\right)d\tau }{|\mathbf {R} (\tau )|}}$.

Використовуючи властивість дельта-функції від складного аргументу (доведення диф. у розділі "Додаткові матеріали"),

$\ \delta (f(\tau ))={\frac {\delta (\tau -T)}{\left|{\frac {\partial f(\tau )}{\partial \tau }}\right|_{\tau =T}}}$,

де $\ T$ - розв'язок рівняння $\ f(\tau )=0,$, можна, користуючись

$\ {\frac {d|R(\tau )|}{d\tau }}={\frac {d{\sqrt {(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )}}}{d\tau }}={\frac {1}{2|\mathbf {R} |}}2\left({\frac {d\mathbf {R} }{d\tau }}\cdot \mathbf {R} \right)=-{\frac {(\mathbf {v} (\tau )\cdot \mathbf {R} (\tau ))}{R(\tau )}}$,

отримати:

$\ f(\tau )=\tau -t+{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}},\quad {\frac {df(\tau )}{d\tau }}={\frac {d}{d\tau }}\left(\tau -t+{\frac {|\mathbf {R} (\tau )|}{c}}\right)={\frac {R(\tau )-{\frac {(\mathbf {v} (\tau )\cdot \mathbf {R} (\tau ))}{c}}}{R(\tau )}}$.

Отже, сам інтеграл набуде вигляду

$\ \varphi =\int {\frac {Q\delta (\tau -T)Rd\tau }{R\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}={\frac {Q}{R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}}}$.

Зовсім аналогічно - і в випадку з виразом для векторного потенціалу:

$\ \mathbf {A} ={\frac {Q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} )}{c}}\right)}}$.