FANDOM


Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Перетворення групи Пуанкаре базисних станів. Мала групаEdit

Нехай розглядається деяке незвідне представлення групи Пуанкаре \ U(\Lambda , a), де перший індекс позначає групу Лоренца, а другий - групу трансляцій. В силу того, що група Пуанкаре відповідає напівпрямому добутку груп трансляцій та Лоренца, представлення \ U(\Lambda , a) можна характеризувати двома представленнями: \ U(\Lambda , 0), U(1 , a).

Оскільки генератори трансляцій групи Пуанкаре комутують, \ [\hat {P}^{\mu}, \hat {P}^{\nu}] = 0 (група є абелевою), то існує набір (нескінченний в силу неперервності 4-імпульсу) власних функцій \ | \mathbf p , \sigma \rangle, для яких

\ \hat {P}^{\mu}| p , \sigma \rangle = p^{\mu}| p , \sigma \rangle \quad (1).

Тут \ \sigma визначає всі дискретні ступені вільності для даного стану (як спінове, що відповідає незвідності представлення, так і зарядові числа, що відповідають внутрішнім симетріям типу унітарної і які не пов'язані із групою Пуанкаре). Також враховано, що для даних станів повинно виконуватись співвідношення незвідності \ \hat {P}^{\mu}\hat {P}_{\mu}| \mathbf p , \sigma \rangle = p^{2}| \mathbf p , \sigma \rangle  = m^{2}| \mathbf p , \sigma \rangle. В силу написаного вище, треба подивитись, як перетворюються функції стану при дії на них \ U(\Lambda , 0), U(1 , a). Друге перетворення є очевидним в силу \ (1):

\ e^{i \hat {P}^{\mu}a_{\mu}}| p , \sigma \rangle = e^{ip^{\mu}a_{\mu}}| p , \sigma \rangle.

Нехай далі із усіх компонент зв'язності групи Пуанкаре виділена одна - ортохронна підгрупа. Це означає, що будь-який \ p^{\mu} можна зв'язати з іншим \ p^{\nu} за допомогою перетворення неперервної групи Лоренца \ p^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}. Тому стан \ U(\Lambda , 0) | \mathbf p , \sigma \rangle також є власним станом оператора \ \hat {P}^{\mu} із власним значенням \ \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}:

\ \hat {P}^{\mu}U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda , 0)[U^{-1}(\Lambda , 0)\hat {P}^{\mu}U(\Lambda , 0)]| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda , 0)\Lambda^{\mu}_{\ \nu}\hat {P}^{\nu}| \mathbf p , \sigma \rangle = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle.

Це означає, що \ U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle дається лінійною комбінацією станів \ | \Lambda p , \sigma {'} \rangle:

\ U(\Lambda , 0)| p, \sigma \rangle = \sum_{\sigma '} C_{ \sigma{'}\sigma}(\Lambda , p)| \Lambda p , \sigma {'} \rangle \qquad (2).

Для остаточного знаходження перетворення групи Пуанкаре базисних треба знайти коефіцієнти \ C_{\sigma \sigma{'}}(\Lambda , p).

Мала групаEdit

Щоб це зробити, зручно зафіксувати 4-імпульс \ p_{\mu} одночастинкового стану. Ортохронне перетворення Лоренца залишає інваріантним величину \ p^{2} та знак \ p_{0}. Набір імпульсів \ p, для яких ці величини фіксовані, називається орбітою групи Лоренца. Будь-який 4-імпульс орбіти може бути виражений через деякий "стандартний" 4-імпульс \ k_{\mu} за допомогою деякого "стандартного" перетворення \ L_{\mu}^{\nu}(p),

\ p_{\mu} \equiv L_{\mu}^{\ \nu}k_{\nu}.

Відповідно до цього, можна постулювати, що стани \ | \mathbf p , \sigma \rangle , | \mathbf k , \sigma \rangle пов'язані один із одним через співвідношення виду

\ | \mathbf p , \sigma \rangle = N(p)U(L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle \qquad (3).

Тут \ N(p) - деякий нормуючий множник, а \ U(L(p)) = U(L(p), 0). Вираз \ (3) являється визначенням мітки \ \sigma і встановлює її зв'язок із 4-імпульсом.

Тоді

\ U(\Lambda )| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda )N(p)U(L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)U(\Lambda L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)U(L(\Lambda p))U(L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle \qquad (4),

де останній перехід було зроблено в силу групової властивості \ U(b) = U(aa^{-1}b) = U(a)U(a^{-1}b). Тут було виділене представлення \ U(L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)) = R(\Lambda , p), дія якого на \ k^{\mu} залишає останній інваріантним:

\ R(\Lambda , p) k^{\mu} = [L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)]^{\mu}_{\ \nu}k^{\nu} = |L(p)k = p| = (L^{-1}(\Lambda p))^{\mu}_{\ \nu}\Lambda^{\nu}_{\alpha} p^{\alpha} = k^{\mu}.

Відповідні представлення \ U(R(\Lambda , p)) називаються представленнями малої групи \ k^{\mu}. Навіщо було потрібно їх виділяти? Справа у тому, що для фіксованого імпульсу розмірність представлення \ U(R(\Lambda , p)) (для більшості орбіт) є скінченною, на відміну від нескінченної розмірності для представлення \ U(\Lambda). Це значно спрощує пошук явного вигляду реалізації незвідного представлення на одночастинкових станах.

Нехай тепер у \ (2) перетворення відповідають \ U(R(\Lambda , p)). Тоді

\ U(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma \rangle = \sum_{\sigma '}D_{\sigma ' \sigma}(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma '\rangle.

З виразу видно, що \ U(R(\Lambda , p)), D_{\sigma ' \sigma} утворюють унітарне незвідне представлення малої групи. Підставивши цей вираз у \ (4) та врахувавши \ (3), можна отримати

\ U(\Lambda )| \mathbf p , \sigma \rangle = N(p)U(L(\Lambda p))U(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)\sum_{\sigma '}D_{\sigma '\sigma }(R(\Lambda , p))U(L(\Lambda p))| \mathbf k , \sigma '\rangle = |(3)| = \frac{N(p)}{N(\Lambda p)}\sum_{\sigma '}D_{\sigma ' \sigma} | \Lambda p , \sigma '\rangle.

Наведене продемонструвало, що побудова унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре з точністю до нормування визначається побудовою унітарних незвідних представлень малої групи. Тому, врешті-решт, частинка з точки зору Пуанкаре-симетрії характеризується "орбітою" групи Лоренца у імпульсному просторі Мінковського та незвідним унітарним представленням малої групи "орбіти".

Нарешті, можна визначити вираз для нормуючого множника: врахувавши унітарність оператору трансляцій та представлення малої групи \ U(R(\Lambda , p)) , можна отримати

\ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = \langle p ' , \sigma '|U^{+}(1, a)U(1, a)|p, \sigma \rangle = e^{ia^{\mu}(p - p')_{\mu}}\langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle.

Вираз повинен бути справедливим для будь-яких значень \ a, тому

\ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = A(p)\delta (\mathbf p - \mathbf p') \qquad (5).

З іншого боку, на основі \ (3) можна написати

\ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = N^{*}(p')N(p)\langle U(L(p))k ,\sigma |U(L(p)) k , \sigma \rangle = \left| |k , \sigma \rangle = \frac{1}{N(p)}U(L^{-1}(p))| \mathbf p , \sigma \rangle \right| =

\ = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}\langle U(L(p'))U(L^{-1}(p_{1}'))p_{1}' ,\sigma |U(L(p))U(L^{-1}(p_{1})) p_{1} , \sigma \rangle = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})} \langle p_{1}' ,\sigma |U[L^{-1}(p_{1}'))L(p')L(p)L^{-1}(p_{1})]| p_{1} , \sigma \rangle

для будь-яких \ p, p_{1}, p', p_{1}'. Враховуючи, що \ p' = \Lambda p_{1}', p_{1} = \Lambda p, \ U[L^{-1}(p_{1}'))L(p')L(p)L^{-1}(p_{1})] = 1, тому при використанні \ (5) можна отримати

\ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = A(p)\delta (\mathbf p - \mathbf p') = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}\langle p_{1}' ,\sigma | p_{1}, \sigma '\rangle = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}A(p_{1})\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}').

Тому визначаючим для нормувального множника є вираз

\ \frac{A(\Lambda p_{1})}{|N(\Lambda p_{1})|^{2}}\delta (\mathbf p - \mathbf p') = \frac{A(p_{1})}{|N(p_{1})|^{2}}\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}').

Враховуючи рівність

\ p^{0}\delta(\mathbf p - \mathbf p{'}) = p^{0}_{1}\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}'), цей вираз можна переписати як

\ \frac{|N(\Lambda p)|^{2}(\Lambda p)^{0}}{A(\Lambda p)} = \frac{|N( p)|^{2}( p)^{0}}{A( p)} \Rightarrow N(p) = N \sqrt{\frac{A(p)}{p^{0}}} \qquad (6).

Тут N - формальний фазовий множник, а як \ A(p) можна взяти \ (\Lambda p)^{0}. Отже, нарешті, перетворення групи Пуанкаре базисних станів мають вигляд

\ U(\Lambda , a)|\mathbf p, \sigma\rangle = U(1, a)U(\Lambda, 0)|\mathbf p, \sigma\rangle = e^{i( \Lambda p)^{\mu}a_{\mu}}N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}}{p^{0}}}\sum_{\sigma_{'}}D_{\sigma ' \sigma}| \Lambda p , \sigma '\rangle \qquad (7).

Побудова малої групи для масивного випадку розглянута нижче, а для безмасового - подана у наступному розділі.

Масивний випадокEdit

Нехай \ m^{2} \neq 0. Тоді за стандартний вектор на такій оболонці прийнято обирати \ k^{\mu} = (m, 0, 0, 0). Яка (мала) група залишає вектор інваріантним? Така, яка не зачіпає часову координату. Такою групою є \ SO(3) - група тривимірних поворотів \ T(\hat {J}):

\ D_{\sigma ' \sigma }(T(\hat {J})) = \delta_{\sigma \sigma {'}} + i\omega^{i}\hat {J}^{i}_{\sigma \sigma {'}} + o(\omega^{2}) \qquad (8),

де \ \hat {J}^{i} є матрицями незвідного представлення групи поворотів для спіну \ s:

\ \hat {J}_{1 (\sigma \sigma')} = \frac{1}{2}\left( \delta_{\sigma' (\sigma + 1)}\sqrt{(s + \sigma + 1)(s  - \sigma)} + \delta_{\sigma' (\sigma - 1)}\sqrt{(s + \sigma)(s - \sigma + 1)} \right) \qquad (9),

\ \hat {J}_{2 (\sigma  \sigma ')} = \frac{i}{2}\left( \delta_{\sigma' (\sigma - 1)}\sqrt{(s + \sigma)(s  - \sigma + 1)} - \delta_{\sigma' (\sigma + 1)}\sqrt{(s - \sigma)(s + \sigma + 1)} \right) \qquad (10),

\ \hat {J}_{3 (\sigma \sigma')} = \sigma\delta_{\sigma \sigma'} \qquad (11).

Отже, для масивного стану мітка \ \sigma пробігає \ 2s+1 значень, де \ s - спін представлення.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.