FANDOM


Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Перетворення групи Пуанкаре базисних станів. Мала групаEdit

Нехай розглядається деяке незвідне представлення групи Пуанкаре $ \ U(\Lambda , a) $, де перший індекс позначає групу Лоренца, а другий - групу трансляцій. В силу того, що група Пуанкаре відповідає напівпрямому добутку груп трансляцій та Лоренца, представлення $ \ U(\Lambda , a) $ можна характеризувати двома представленнями: $ \ U(\Lambda , 0), U(1 , a) $.

Оскільки генератори трансляцій групи Пуанкаре комутують, $ \ [\hat {P}^{\mu}, \hat {P}^{\nu}] = 0 $ (група є абелевою), то існує набір (нескінченний в силу неперервності 4-імпульсу) власних функцій $ \ | \mathbf p , \sigma \rangle $, для яких

$ \ \hat {P}^{\mu}| p , \sigma \rangle = p^{\mu}| p , \sigma \rangle \quad (1) $.

Тут $ \ \sigma $ визначає всі дискретні ступені вільності для даного стану (як спінове, що відповідає незвідності представлення, так і зарядові числа, що відповідають внутрішнім симетріям типу унітарної і які не пов'язані із групою Пуанкаре). Також враховано, що для даних станів повинно виконуватись співвідношення незвідності $ \ \hat {P}^{\mu}\hat {P}_{\mu}| \mathbf p , \sigma \rangle = p^{2}| \mathbf p , \sigma \rangle = m^{2}| \mathbf p , \sigma \rangle $. В силу написаного вище, треба подивитись, як перетворюються функції стану при дії на них $ \ U(\Lambda , 0), U(1 , a) $. Друге перетворення є очевидним в силу $ \ (1) $:

$ \ e^{i \hat {P}^{\mu}a_{\mu}}| p , \sigma \rangle = e^{ip^{\mu}a_{\mu}}| p , \sigma \rangle $.

Нехай далі із усіх компонент зв'язності групи Пуанкаре виділена одна - ортохронна підгрупа. Це означає, що будь-який $ \ p^{\mu} $ можна зв'язати з іншим $ \ p^{\nu} $ за допомогою перетворення неперервної групи Лоренца $ \ p^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu} $. Тому стан $ \ U(\Lambda , 0) | \mathbf p , \sigma \rangle $ також є власним станом оператора $ \ \hat {P}^{\mu} $ із власним значенням $ \ \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu} $:

$ \ \hat {P}^{\mu}U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda , 0)[U^{-1}(\Lambda , 0)\hat {P}^{\mu}U(\Lambda , 0)]| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda , 0)\Lambda^{\mu}_{\ \nu}\hat {P}^{\nu}| \mathbf p , \sigma \rangle = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle $.

Це означає, що $ \ U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle $ дається лінійною комбінацією станів $ \ | \Lambda p , \sigma {'} \rangle $:

$ \ U(\Lambda , 0)| p, \sigma \rangle = \sum_{\sigma '} C_{ \sigma{'}\sigma}(\Lambda , p)| \Lambda p , \sigma {'} \rangle \qquad (2) $.

Для остаточного знаходження перетворення групи Пуанкаре базисних треба знайти коефіцієнти $ \ C_{\sigma \sigma{'}}(\Lambda , p) $.

Мала групаEdit

Щоб це зробити, зручно зафіксувати 4-імпульс $ \ p_{\mu} $ одночастинкового стану. Ортохронне перетворення Лоренца залишає інваріантним величину $ \ p^{2} $ та знак $ \ p_{0} $. Набір імпульсів $ \ p $, для яких ці величини фіксовані, називається орбітою групи Лоренца. Будь-який 4-імпульс орбіти може бути виражений через деякий "стандартний" 4-імпульс $ \ k_{\mu} $ за допомогою деякого "стандартного" перетворення $ \ L_{\mu}^{\nu}(p) $,

$ \ p_{\mu} \equiv L_{\mu}^{\ \nu}k_{\nu} $.

Відповідно до цього, можна постулювати, що стани $ \ | \mathbf p , \sigma \rangle , | \mathbf k , \sigma \rangle $ пов'язані один із одним через співвідношення виду

$ \ | \mathbf p , \sigma \rangle = N(p)U(L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle \qquad (3) $.

Тут $ \ N(p) $ - деякий нормуючий множник, а $ \ U(L(p)) = U(L(p), 0) $. Вираз $ \ (3) $ являється визначенням мітки $ \ \sigma $ і встановлює її зв'язок із 4-імпульсом.

Тоді

$ \ U(\Lambda )| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda )N(p)U(L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)U(\Lambda L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)U(L(\Lambda p))U(L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle \qquad (4) $,

де останній перехід було зроблено в силу групової властивості $ \ U(b) = U(aa^{-1}b) = U(a)U(a^{-1}b) $. Тут було виділене представлення $ \ U(L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)) = R(\Lambda , p) $, дія якого на $ \ k^{\mu} $ залишає останній інваріантним:

$ \ R(\Lambda , p) k^{\mu} = [L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)]^{\mu}_{\ \nu}k^{\nu} = |L(p)k = p| = (L^{-1}(\Lambda p))^{\mu}_{\ \nu}\Lambda^{\nu}_{\alpha} p^{\alpha} = k^{\mu} $.

Відповідні представлення $ \ U(R(\Lambda , p)) $ називаються представленнями малої групи $ \ k^{\mu} $. Навіщо було потрібно їх виділяти? Справа у тому, що для фіксованого імпульсу розмірність представлення $ \ U(R(\Lambda , p)) $ (для більшості орбіт) є скінченною, на відміну від нескінченної розмірності для представлення $ \ U(\Lambda) $. Це значно спрощує пошук явного вигляду реалізації незвідного представлення на одночастинкових станах.

Нехай тепер у $ \ (2) $ перетворення відповідають $ \ U(R(\Lambda , p)) $. Тоді

$ \ U(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma \rangle = \sum_{\sigma '}D_{\sigma ' \sigma}(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma '\rangle $.

З виразу видно, що $ \ U(R(\Lambda , p)), D_{\sigma ' \sigma} $ утворюють унітарне незвідне представлення малої групи. Підставивши цей вираз у $ \ (4) $ та врахувавши $ \ (3) $, можна отримати

$ \ U(\Lambda )| \mathbf p , \sigma \rangle = N(p)U(L(\Lambda p))U(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)\sum_{\sigma '}D_{\sigma '\sigma }(R(\Lambda , p))U(L(\Lambda p))| \mathbf k , \sigma '\rangle = |(3)| = \frac{N(p)}{N(\Lambda p)}\sum_{\sigma '}D_{\sigma ' \sigma} | \Lambda p , \sigma '\rangle $.

Наведене продемонструвало, що побудова унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре з точністю до нормування визначається побудовою унітарних незвідних представлень малої групи. Тому, врешті-решт, частинка з точки зору Пуанкаре-симетрії характеризується "орбітою" групи Лоренца у імпульсному просторі Мінковського та незвідним унітарним представленням малої групи "орбіти".

Нарешті, можна визначити вираз для нормуючого множника: врахувавши унітарність оператору трансляцій та представлення малої групи $ \ U(R(\Lambda , p)) $, можна отримати

$ \ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = \langle p ' , \sigma '|U^{+}(1, a)U(1, a)|p, \sigma \rangle = e^{ia^{\mu}(p - p')_{\mu}}\langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle $.

Вираз повинен бути справедливим для будь-яких значень $ \ a $, тому

$ \ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = A(p)\delta (\mathbf p - \mathbf p') \qquad (5) $.

З іншого боку, на основі $ \ (3) $ можна написати

$ \ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = N^{*}(p')N(p)\langle U(L(p))k ,\sigma |U(L(p)) k , \sigma \rangle = \left| |k , \sigma \rangle = \frac{1}{N(p)}U(L^{-1}(p))| \mathbf p , \sigma \rangle \right| = $

$ \ = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}\langle U(L(p'))U(L^{-1}(p_{1}'))p_{1}' ,\sigma |U(L(p))U(L^{-1}(p_{1})) p_{1} , \sigma \rangle = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})} \langle p_{1}' ,\sigma |U[L^{-1}(p_{1}'))L(p')L(p)L^{-1}(p_{1})]| p_{1} , \sigma \rangle $

для будь-яких $ \ p, p_{1}, p', p_{1}' $. Враховуючи, що $ \ p' = \Lambda p_{1}', p_{1} = \Lambda p $, $ \ U[L^{-1}(p_{1}'))L(p')L(p)L^{-1}(p_{1})] = 1 $, тому при використанні $ \ (5) $ можна отримати

$ \ \langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle = A(p)\delta (\mathbf p - \mathbf p') = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}\langle p_{1}' ,\sigma | p_{1}, \sigma '\rangle = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}A(p_{1})\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}') $.

Тому визначаючим для нормувального множника є вираз

$ \ \frac{A(\Lambda p_{1})}{|N(\Lambda p_{1})|^{2}}\delta (\mathbf p - \mathbf p') = \frac{A(p_{1})}{|N(p_{1})|^{2}}\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}') $.

Враховуючи рівність

$ \ p^{0}\delta(\mathbf p - \mathbf p{'}) = p^{0}_{1}\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}') $, цей вираз можна переписати як

$ \ \frac{|N(\Lambda p)|^{2}(\Lambda p)^{0}}{A(\Lambda p)} = \frac{|N( p)|^{2}( p)^{0}}{A( p)} \Rightarrow N(p) = N \sqrt{\frac{A(p)}{p^{0}}} \qquad (6) $.

Тут N - формальний фазовий множник, а як $ \ A(p) $ можна взяти $ \ (\Lambda p)^{0} $. Отже, нарешті, перетворення групи Пуанкаре базисних станів мають вигляд

$ \ U(\Lambda , a)|\mathbf p, \sigma\rangle = U(1, a)U(\Lambda, 0)|\mathbf p, \sigma\rangle = e^{i( \Lambda p)^{\mu}a_{\mu}}N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}}{p^{0}}}\sum_{\sigma_{'}}D_{\sigma ' \sigma}| \Lambda p , \sigma '\rangle \qquad (7) $.

Побудова малої групи для масивного випадку розглянута нижче, а для безмасового - подана у наступному розділі.

Масивний випадокEdit

Нехай $ \ m^{2} \neq 0 $. Тоді за стандартний вектор на такій оболонці прийнято обирати $ \ k^{\mu} = (m, 0, 0, 0) $. Яка (мала) група залишає вектор інваріантним? Така, яка не зачіпає часову координату. Такою групою є $ \ SO(3) $ - група тривимірних поворотів $ \ T(\hat {J}) $:

$ \ D_{\sigma ' \sigma }(T(\hat {J})) = \delta_{\sigma \sigma {'}} + i\omega^{i}\hat {J}^{i}_{\sigma \sigma {'}} + o(\omega^{2}) \qquad (8) $,

де $ \ \hat {J}^{i} $ є матрицями незвідного представлення групи поворотів для спіну $ \ s $:

$ \ \hat {J}_{1 (\sigma \sigma')} = \frac{1}{2}\left( \delta_{\sigma' (\sigma + 1)}\sqrt{(s + \sigma + 1)(s - \sigma)} + \delta_{\sigma' (\sigma - 1)}\sqrt{(s + \sigma)(s - \sigma + 1)} \right) \qquad (9) $,

$ \ \hat {J}_{2 (\sigma \sigma ')} = \frac{i}{2}\left( \delta_{\sigma' (\sigma - 1)}\sqrt{(s + \sigma)(s - \sigma + 1)} - \delta_{\sigma' (\sigma + 1)}\sqrt{(s - \sigma)(s + \sigma + 1)} \right) \qquad (10) $,

$ \ \hat {J}_{3 (\sigma \sigma')} = \sigma\delta_{\sigma \sigma'} \qquad (11) $.

Отже, для масивного стану мітка $ \ \sigma $ пробігає $ \ 2s+1 $ значень, де $ \ s $ - спін представлення.$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $