Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца для полів" .
Основні вирази, з якими будуть виконуватися викладки - це сила Лоренца і перетворення для 3-вектора сили:
F
=
q
E
+
q
c
[
v
×
B
]
(
.1
)
{\displaystyle \ \mathbf F = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B ] \qquad (.1)}
F
γ
(
1
−
(
u
⋅
v
)
c
2
)
=
F
′
−
γ
u
c
2
(
v
′
⋅
F
′
)
+
Γ
u
c
2
(
u
⋅
F
′
)
(
.2
)
{\displaystyle \ \frac{\mathbf F}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}}\right)} = \mathbf F' - \gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf v' \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u }{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) \qquad (.2)}
Перетворення Лоренца для напруженості електричного поля [ ] В силу принципу відносності вибір ІСВ не може позначитися на загальності перетворень, що були отримані для переходу між обраними ІСВ. Це дозволяє спростити вирази, наприклад, для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ.
Нехай у ІСВ А пробний заряд покоїться,
v
=
0
{\displaystyle \ \mathbf v = 0}
u
{\displaystyle \ \mathbf u}
v
′
=
−
u
{\displaystyle \ \mathbf v' = - \mathbf u}
(
.2
)
{\displaystyle \ (.2)}
F
γ
=
F
′
−
γ
u
c
2
(
u
⋅
F
′
)
+
Γ
u
c
2
(
u
⋅
F
′
)
=
F
′
+
(
u
⋅
F
′
)
u
c
2
(
Γ
−
γ
)
=
|
Γ
=
γ
2
1
+
γ
|
=
F
′
−
(
u
⋅
F
′
)
u
c
2
γ
1
+
γ
=
F
′
−
Γ
γ
u
c
2
(
u
⋅
F
′
)
{\displaystyle \ \frac{\mathbf F}{\gamma} = \mathbf F' - \gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) = \mathbf F' + (\mathbf u \cdot \mathbf F' )\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\Gamma - \gamma) = \left| \Gamma = \frac{\gamma^{2}}{1 + \gamma} \right| = \mathbf F' - (\mathbf u \cdot \mathbf F' )\frac{\mathbf u}{c^{2}}\frac{\gamma}{1 + \gamma} = \mathbf F' - \frac{\Gamma}{\gamma}\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' )}
Звідси слідує, що
F
=
γ
F
′
−
Γ
u
c
2
(
u
⋅
F
′
)
(
.3
)
{\displaystyle \ \mathbf F = \gamma \mathbf F' - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) \qquad (.3)}
З урахуванням того, що відносно ІСВ А сила
F
{\displaystyle \ \mathbf F}
q
{\displaystyle \ q}
F
=
q
E
{\displaystyle \ \mathbf F = q\mathbf E}
а відносно ІСВ А' ця ж сила рівна
F
′
=
q
E
′
−
q
c
[
u
×
B
′
]
{\displaystyle \ \mathbf F' = q \mathbf E' - \frac{q}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ' ]}
можна перетворити
(
.3
)
{\displaystyle \ (.3)}
q
E
=
q
[
γ
(
E
′
−
1
c
[
u
×
B
′
]
)
−
Γ
u
c
2
(
u
⋅
E
′
)
]
{\displaystyle \ q \mathbf E = q\left[\gamma \left( \mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}} (\mathbf u \cdot \mathbf E' )\right]}
де враховано, що
(
u
⋅
[
u
×
B
]
)
=
0
{\displaystyle \ (\mathbf u \cdot [\mathbf u \times \mathbf B ]) = 0}
Γ
{\displaystyle \ \Gamma}
Отже,
E
=
γ
(
E
′
−
1
c
[
u
×
B
′
]
)
−
Γ
u
c
2
(
u
⋅
E
′
)
(
.4
)
{\displaystyle \ \mathbf E = \gamma \left( \mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E') \qquad (.4)}
що і є шуканим перетворенням Лоренца для вектора напруженості електричного поля.
Обернене перетворення отримується шляхом замін
u
→
−
u
,
E
′
→
E
,
E
→
E
′
B
′
→
B
{\displaystyle \ \mathbf u \to -\mathbf u , \quad \mathbf E' \to \mathbf E , \quad \mathbf E \to \mathbf E' \quad \quad \mathbf B' \to \mathbf B}
E
′
=
γ
(
E
+
1
c
[
u
×
B
]
)
−
Γ
u
c
2
(
u
⋅
E
)
(
.5
)
{\displaystyle \ \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E ) \qquad (.5)}
у чому можна, при бажанні, переконатися і "в лоб" .
Якщо вибрати орієнтацію вісей ІСВ таким чином, що
u
=
(
u
,
0
,
0
)
{\displaystyle \ \mathbf u = (u, 0, 0)}
(
.5
)
{\displaystyle \ (.5)}
E
′
=
γ
E
+
1
c
|
i
j
k
u
0
0
B
x
B
y
B
z
|
−
Γ
u
c
2
u
B
x
=
γ
(
E
x
,
E
y
,
E
z
)
+
1
c
(
0
,
−
u
B
z
,
u
B
y
)
−
Γ
u
c
2
B
x
(
u
,
0
,
0
)
=
{\displaystyle \ \mathbf E' = \gamma \mathbf E + \frac{1}{c}\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u & 0 & 0 \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix} - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}uB_{x} = \gamma (E_{x}, E_{y}, E_{z}) + \frac{1}{c}(0, -uB_{z}, uB_{y}) - \Gamma \frac{u}{c^{2}}B_{x}(u, 0, 0) = }
=
(
(
γ
−
Γ
u
2
c
2
)
E
x
,
γ
(
E
y
−
u
c
B
z
)
,
γ
(
E
z
+
u
c
B
y
)
)
=
|
Γ
u
2
c
2
=
γ
−
1
|
=
(
E
x
,
γ
(
E
y
−
u
c
B
z
)
,
γ
(
E
z
+
u
c
B
y
)
)
(
.7
)
{\displaystyle \ = \left(\left(\gamma - \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}\right)E_{x}, \gamma \left(E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right), \gamma \left(E_{z} + \frac{u}{c}B_{y} \right)\right) = \left| \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma - 1 \right| = \left(E_{x}, \gamma \left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right), \gamma \left( E_{z} + \frac{u}{c}B_{y}\right)\right) \qquad (.7)}
Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля [ ] Маючи перетворення для напруженості електричного поля, можна знайти перетворення для індукції магнітного поля. Це не є випадковістю, оскільки індукція визначається через швидкість ІСВ і напруженість електричного поля.
Для початку, вираз
(
.5
)
{\displaystyle \ (.5)}
u
{\displaystyle \ \mathbf u}
(
.4
)
{\displaystyle \ (.4)}
Тоді
B
=
γ
(
B
′
+
1
c
[
u
×
E
′
]
)
−
Γ
u
c
2
(
B
′
⋅
u
)
(
.8
)
{\displaystyle \ \mathbf B = \gamma \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) \qquad (.8)}
Аналогічно до перетворень із напруженістю електричного поля, із
(
.8
)
{\displaystyle \ (.8)}
B
′
=
γ
(
B
−
1
c
[
u
×
E
]
)
−
Γ
u
c
2
(
B
⋅
u
)
(
.10
)
{\displaystyle \ \mathbf B' = \gamma \left(\mathbf B - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B \cdot \mathbf u ) \qquad (.10)}
Прийнявши
u
=
(
u
,
0
,
0
)
{\displaystyle \ \mathbf u = (u, 0, 0)}
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
B
′
=
γ
B
−
γ
c
(
0
,
−
u
E
z
,
u
E
y
)
−
Γ
c
2
(
u
,
0
,
0
)
u
B
x
=
(
B
x
(
γ
−
Γ
u
2
c
2
)
,
γ
(
B
y
+
u
c
E
z
)
,
γ
(
B
z
−
u
c
E
y
)
)
=
{\displaystyle \ \mathbf B' = \gamma \mathbf B - \frac{\gamma}{c}(0, -uE_{z}, uE_{y}) - \frac{\Gamma}{c^{2}}(u, 0, 0)uB_{x} = \left( B_{x}\left(\gamma - \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\right), \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z}\right), \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right)\right) = }
=
(
B
x
,
γ
(
B
y
+
u
c
E
z
)
,
γ
(
B
z
−
u
c
E
y
)
)
(
.11
)
{\displaystyle \ = \left( B_{x}, \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z}\right), \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right)\right) \qquad (.11)}
Інваріанти перетворень електромагнітного поля [ ] Використовуючи
(
.7
)
,
(
.11
)
{\displaystyle \ (.7), (.11)}
(
E
′
⋅
B
′
)
,
E
′
2
−
B
′
2
{\displaystyle \ (\mathbf E' \cdot \mathbf B' ), \quad \mathbf E'^{2} - \mathbf B'^{2}}
Дійсно,
(
E
′
⋅
B
′
)
=
E
x
B
x
+
E
y
B
y
+
E
z
B
z
=
E
x
B
x
+
γ
2
(
E
y
−
u
c
B
z
)
(
B
y
+
u
c
E
z
)
+
γ
2
(
E
z
+
u
c
B
y
)
(
B
z
−
u
c
E
y
)
=
{\displaystyle \ (\mathbf E' \cdot \mathbf B' ) = E_{x}B_{x} + E_{y}B_{y} + E_{z}B_{z} = E_{x}B_{x} + \gamma^{2}\left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right)\left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z} \right) + \gamma^{2}\left( E_{z} + \frac{u}{c}B_{y}\right)\left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y} \right) = }
=
E
x
B
x
+
E
y
B
y
γ
2
(
1
−
u
2
c
2
)
+
E
z
B
z
γ
2
(
1
−
u
2
c
2
)
+
u
c
γ
2
E
y
E
z
−
u
c
γ
2
B
y
B
z
−
u
c
γ
2
E
y
E
z
+
u
c
γ
2
B
y
B
z
=
(
E
⋅
B
)
=
i
n
v
{\displaystyle \ = E_{x}B_{x} + E_{y}B_{y}\gamma^{2}\left(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} \right) + E_{z}B_{z}\gamma^{2}\left(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} \right) + \frac{u}{c}\gamma^{2}E_{y}E_{z} - \frac{u}{c}\gamma^{2}B_{y}B_{z} - \frac{u}{c}\gamma^{2}E_{y}E_{z} + \frac{u}{c}\gamma^{2}B_{y}B_{z} = (\mathbf E \cdot \mathbf B ) = inv}
E
′
2
−
B
′
2
=
(
E
′
−
B
′
)
(
E
′
+
B
′
)
=
(
[
E
x
−
B
x
,
γ
(
E
y
−
B
y
−
u
c
(
B
z
+
E
z
)
)
,
γ
(
E
z
−
B
z
+
u
c
(
E
y
+
B
y
)
)
]
⋅
{\displaystyle \ \mathbf E'^{2} - \mathbf B'^{2} = (\mathbf E' - \mathbf B' )(\mathbf E' + \mathbf B') = ( \left[ E_{x} - B_{x}, \gamma \left( E_{y} - B_{y} - \frac{u}{c}(B_{z} + E_{z}) \right), \gamma \left( E_{z} - B_{z} + \frac{u}{c}(E_{y} + B_{y})\right) \right] \cdot }
⋅
[
E
x
+
B
x
,
γ
(
E
y
+
B
y
+
u
c
(
E
z
−
B
z
)
)
,
γ
(
E
z
+
B
z
+
u
c
(
B
y
−
E
y
)
)
]
)
=
{\displaystyle \ \cdot \left[ E_{x} + B_{x}, \gamma \left( E_{y} + B_{y} + \frac{u}{c}(E_{z} - B_{z})\right), \gamma \left( E_{z} + B_{z} + \frac{u}{c}(B_{y} - E_{y})\right) \right] ) = }
=
E
x
2
−
B
x
2
+
γ
2
E
y
2
(
1
−
u
2
c
2
)
−
γ
2
B
y
2
(
1
−
u
2
c
2
)
+
γ
2
E
z
2
(
1
−
u
2
c
2
)
−
γ
2
B
z
2
(
1
−
u
2
c
2
)
+
{\displaystyle \ = E_{x}^{2} - B_{x}^{2} + \gamma^{2}E_{y}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - \gamma^{2}B_{y}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + \gamma^{2}E_{z}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - \gamma^{2}B_{z}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + }
+
γ
2
u
c
[
E
y
E
z
−
E
y
B
z
−
2
E
z
B
y
+
B
y
B
z
−
E
y
B
z
−
E
y
E
z
−
B
y
B
z
+
2
E
z
B
y
−
E
y
E
z
−
B
y
B
z
+
E
y
B
z
+
E
y
E
z
+
E
y
B
z
+
B
y
B
z
]
=
{\displaystyle \ + \gamma^{2}\frac{u}{c}\left[ E_{y}E_{z} - E_{y}B_{z} - 2E_{z}B_{y} + B_{y}B_{z} - E_{y}B_{z} - E_{y}E_{z} - B_{y}B_{z} + 2E_{z}B_{y} - E_{y}E_{z} - B_{y}B_{z} + E_{y}B_{z} + E_{y}E_{z} + E_{y}B_{z} + B_{y}B_{z} \right] = }
=
E
2
−
B
2
=
i
n
v
{\displaystyle \ = \mathbf E^{2} - \mathbf B^{2} = inv}
Розглядаючи ці інваріанти, можна зробити декілька важливих висновків.
1. Якщо
B
2
>
E
2
,
E
⊥
B
{\displaystyle \ \mathbf B^{2} > \mathbf E^{2}, \mathbf E \bot \mathbf B}
E
′
=
0
,
B
′
≠
0
{\displaystyle \ \mathbf E' = \mathbf 0, \mathbf B' \neq \mathbf 0}
2. Аналогічно, якщо
B
2
<
E
2
,
E
⊥
B
{\displaystyle \ \mathbf B^{2} < \mathbf E^{2}, \mathbf E \bot \mathbf B}
B
′
=
0
,
E
′
≠
0
{\displaystyle \ \mathbf B' = \mathbf 0, \mathbf E' \neq \mathbf 0}
3. Якщо у деякій ІСВ
B
=
0
,
E
≠
0
{\displaystyle \ \mathbf B = \mathbf 0, \mathbf E \neq \mathbf 0}
4. Плоска хвиля, для якої
E
⊥
B
,
|
E
|
=
|
B
|
{\displaystyle \ \mathbf E \bot \mathbf B , |\mathbf E | = |\mathbf B | }
![{\displaystyle \ \mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\qquad (.1)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/113f3dbf845dd9076b3ab99adb6c66046190d7f6)
![{\displaystyle \ \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '-{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/aec15315ae1caa079504e371c1b465f20b79a301)
![{\displaystyle \ q\mathbf {E} =q\left[\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\right]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/3d1e391e97fb5c6462b4996827b5336df85bb39c)
![{\displaystyle \ (\mathbf {u} \cdot [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ])=0}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/ff0ddf5b7963613b23a0628fb71be563e909d074)
![{\displaystyle \ \mathbf {E} =\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\qquad (.4)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9a411b29a004282ffd309ba2b45ea29945576d6a)
![{\displaystyle \ \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\qquad (.5)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a167def1067764946228662e473e9cd91a8bb61f)
![{\displaystyle \ \mathbf {B} =\gamma \left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )\qquad (.8)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/d01e0057e9a835288af9a91fc2946fb9723886b1)
![{\displaystyle \ \mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {u} )\qquad (.10)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/41ed33468fa2136e6fee7ecf622b5a117931c1a6)
![{\displaystyle \ \mathbf {E} '^{2}-\mathbf {B} '^{2}=(\mathbf {E} '-\mathbf {B} ')(\mathbf {E} '+\mathbf {B} ')=(\left[E_{x}-B_{x},\gamma \left(E_{y}-B_{y}-{\frac {u}{c}}(B_{z}+E_{z})\right),\gamma \left(E_{z}-B_{z}+{\frac {u}{c}}(E_{y}+B_{y})\right)\right]\cdot }](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/c098ad1b7a31b7fe7f9da744cb19c88ef98c634e)
![{\displaystyle \ \cdot \left[E_{x}+B_{x},\gamma \left(E_{y}+B_{y}+{\frac {u}{c}}(E_{z}-B_{z})\right),\gamma \left(E_{z}+B_{z}+{\frac {u}{c}}(B_{y}-E_{y})\right)\right])=}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/7325c210694cb3637b6ca3c3cc3b7100194c25cb)
![{\displaystyle \ +\gamma ^{2}{\frac {u}{c}}\left[E_{y}E_{z}-E_{y}B_{z}-2E_{z}B_{y}+B_{y}B_{z}-E_{y}B_{z}-E_{y}E_{z}-B_{y}B_{z}+2E_{z}B_{y}-E_{y}E_{z}-B_{y}B_{z}+E_{y}B_{z}+E_{y}E_{z}+E_{y}B_{z}+B_{y}B_{z}\right]=}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b86d9353a8bd859cfa334c85f03b602115741dd3)
