FANDOM


Доведення 1Edit

Обернене перетворення для напруженості електричного поля.

Нехай, навпаки,

$ \ \mathbf v = \mathbf u , \quad \mathbf v' = 0, \quad \mathbf F' = q\mathbf E' , \quad \mathbf F = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ] $.

Тоді вираз $ \ (.2) $ набуде вигляду:

$ \ \frac{\mathbf F}{\gamma \left( 1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}\right)} = \frac{\gamma^{2}\mathbf F}{\gamma} = \gamma \mathbf F = \mathbf F' + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') \Rightarrow \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) = \mathbf E' + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') \Rightarrow \left| (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf E ) \right| \Rightarrow $

$ \ \Rightarrow \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E) $.

Проміжний вираз $ \ (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf E ) $ був отриманий із виразу $ \ (.4) $ наступним чином:

$ \ (\mathbf u \cdot \mathbf E ) = \gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) - \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E) \Rightarrow (\mathbf u \cdot \mathbf E ) = \frac{\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E')}{1 + \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}} = \left| \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma - 1 \right| = \frac{\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E')}{\gamma} = (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) \qquad (.6) $.

З цього виразу, окремо, слідує інваріантність продольної (до вектору швидкості пробного заряду) компоненти напруженості поля. Дійсно, напруженість поля не залежить від швидкості пробного заряду, а отже, вибір $ \ \mathbf v = 0 $ не обмежує загальності $ \ (.6) $.

Доведення 2Edit

Перетворення Лоренца для полів#Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля.

$ \ [\mathbf u \times \mathbf E' ] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf E ] + \frac{\gamma }{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] = \left| (.4) \right| = \gamma^{2}[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B' ]] + \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] \Rightarrow $

$ \ \Rightarrow (\gamma^{2} - 1)[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B' ]] + \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] = \left| \gamma^{2} - 1 = \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} \right| = \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2}[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c}\mathbf B' + \frac{\gamma}{c}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B ) - \gamma \frac{u^{2}}{c}\mathbf B = $

$ \ = \left| (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B ), \quad 1 - \gamma = -\Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} \right| = \frac{u^{2}}{c}\gamma^{2} \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) + (1 - \gamma)\gamma\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) - \frac{u^{2}}{c}\gamma\mathbf B = 0 \Rightarrow $

$ \ \Rightarrow \frac{u^{2}}{c}\gamma \mathbf B = \frac{u^{2}}{c}\gamma^{2} \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\frac{\mathbf u}{c}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) \Rightarrow \mathbf B = \gamma \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) $.

Проміжний вираз $ \ (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B ) $ можна вивести наступним чином.

Нехай $ \ (\mathbf u \cdot \mathbf v ) = 0 $. Перетворення $ \ (.2) $ матиме вигляд:

$ \ \mathbf F = \gamma \mathbf F' - \gamma^{2}\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf v' \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') $.

Якщо його векторно домножити зліва на $ \ \mathbf u $, то зправа залишаться лише один доданок:

$ \ [\mathbf u \times \mathbf F ] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf F'] $.

Тоді, використовуючи вираз $ \ (.4) $, перетворення Лоренца для вектора швидкості за цієї умови і вирази для сил $ \ \mathbf F , \mathbf F' $, можна записати:

$ \ \mathbf v' = \frac{\mathbf v + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v) - \gamma \mathbf u}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} \right)} = \frac{\mathbf v}{\gamma} - \mathbf u \qquad (.9) $.

Тоді зліва можна буде отримати

$ \ q[\mathbf u \times \mathbf E ] + \frac{q}{c}[\mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] = \left| (.4) \right| = q\left[ \mathbf u \times \left( \gamma (\mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E' ) \right)\right] + \frac{q}{c}[\mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] $,

а зправа, використовуючи $ \ (.9) $,

$ \ = q\gamma [\mathbf u \times \mathbf E' ] + \frac{q\gamma }{c}\left[\mathbf u \times \left[\left( \frac{\mathbf v}{\gamma} - \mathbf u \right) \times \mathbf B \right]\right] \Rightarrow \gamma [\mathbf u \times \mathbf E'] - \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B']] + \frac{1}{c}[ \mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf E' ] + \frac{1}{c}[\mathbf u \times [ \mathbf v \times \mathbf B' ]] - \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B']] $.

Прирівнявши ліву і праву частини, можна буде отримати, що

$ \ \Rightarrow \frac{1}{c}\mathbf v (\mathbf u \cdot \mathbf B ) - \frac{1}{c}\mathbf B (\mathbf u \cdot \mathbf v) = \frac{1}{c}\mathbf v (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) - \frac{1}{c}\mathbf B' (\mathbf u \cdot \mathbf v ) \Rightarrow (\mathbf u \cdot \mathbf B ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B') $.

Цей вираз, знову ж таки, означає інваріантність продольної (по відношенню до вектора швидкості заряда) компоненти вектора магнітної індукції при перетвореннях Лоренца.