FANDOM


Доведення 1Edit

Лінійність функцій перетворення координат.

Нехай є бескінечно мале зміщення \ dx' у системі \ K'. Відповідне зміщення \ dx системи \ K буде рівне \ dx, а проміжок часу, що відповідає зміщенню - \ dt.

Тоді для функції координати (для функції часу - аналогічно)

 dx' = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial u} du = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt .

Оскільки простір-час однорідний, то зміщення dx' не повинно залежати від точки простору-часу, а отже, \ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial t} є однаковими для всіх точок простору та усіх моментів часу \ \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial t} = const \right), а отже, є постійними при заданій відносній швидкості. Отже, їх можна у записі функції \ f(x, u, t) представити у вигляді коефіцієнтів, які можуть залежати лише від відносної швидкості (оскільки функція \ f = f(x, u, t) залежить лише від координати, часу та відносної швидкості ІСВ):

\ x' = Ax + Bt + const_{1}, t' = Cx + Dt + const_{2},

де

\ A = A(u), \quad B = B(u), \quad C = C(u), \quad D = D(u).

Доведення 2Edit

Інваріантність швидкості с відносно перетворень Лоренца.

Для доведення цього доцільно розглянути дві ІСВ \ A, A', у яких тіло має швидкість \ {u_{0}}_{{u_{0}}_{x}, {u_{0}}_{y}, {u_{0}}_{z}}, {u_{1}}_{{u_{1}}_{x}, {u_{1}}_{y}, {u_{1}}_{z}} відповідно, причому вектор швидкостей, для спрощення, у обох випадках орієнтований по осі \ x. Тоді, відповідно до перетворень Лоренца, при переході до ІСВ \ A', що рухається зі швидкістю \ u відносно ІСВ \ A, компоненти швидкості змінюються наступним чином:

\ {u_{1}}_{x} = \frac{{u_{0}}_{x} - u}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \qquad (.13);

\ {u_{1}}_{y} = \frac{{u_{0}}_{y}}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \qquad (.14);

\ {u_{1}}_{z} = \frac{{u_{0}}_{z}}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \qquad (.15).

Оскільки

\ u_{0}^{2} = {u_{0}}_{x}^{2} + {u_{0}}_{y}^{2} + {u_{0}}_{z}^{2} = c^{2},

\ u_{1}^{2} = {u_{1}}_{x} ^{2} + {u_{1}}_{y} ^{2} + {u_{1}}_{z} ^{2} \qquad (.16),

то, з урахуванням \ (.13)-(.15) і початкових припущень, вираз \ (.16) можна переписати:

\ u_{1}^{2} = {u_{1}}_{x} ^{2} \Rightarrow u_{1} = {u_{1}}_{x} = \frac{{u_{0}}_{x} - u}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}}.

Тоді можна виразити швидкість \ u_{1}:

\ u_{1} = \frac{{c^{2} (u_{0}}_{x} - u)}{c^{2} - {u_{0}}_{x} u} =  \frac{c^{2} (c - u)}{c(c - u)} = c,

з чого видно, що швидкість \ c інваріантна відносно будь-якої ІСВ.

Аналогічно можна отримати даний результат у більш загальному випадку для модуля вектора швидкості світла. Нехай у перетвореннях для вектора швидкості \ \mathbf v = \mathbf c. Тоді, взявши модуль від перетворення для вектора швидкості і об'єднавши, у отриманій підкореневій рівності, перший доданок з останнім, другий - з четвертим, а третій - з п'ятим, можна отримати

\ | \mathbf v ' | = \sqrt{(\mathbf v' \cdot \mathbf v' )} = \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)}\sqrt{\mathbf v^{2} + 2 \frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v )^{2} - 2\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf v) + \frac{\Gamma^{2}}{c^{4}}u^{2}(\mathbf u \cdot \mathbf v )^{2} - 2\frac{\Gamma \gamma }{c^{2}}u^{2}(\mathbf u \cdot \mathbf v ) + \gamma^{2}u^{2} } =

\ = |\mathbf u = \mathbf c | = \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf c )}{c^{2}} \right)} \sqrt{c^{2}\left( 1 + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - 2\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf c ) \left( 1 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + \frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf c )\left( 2 + \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)} =

\ = \left| 1 + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma^{2}, \quad 2 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = 1 + \gamma = \frac{1 + \gamma}{\gamma^{2}}\gamma^{2} = \frac{\gamma^{2}}{\Gamma}, \quad 1 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma \right| = \frac{\gamma}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{2}}\right)}\sqrt{c^{2} - 2 (\mathbf u \cdot \mathbf c) + \frac{1}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf c )^{2}} =

\ = c\frac{\sqrt{1 - 2\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{2}} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{4}}}}{1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c )}{c^{2}}} = c,

що й треба було довести.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.