NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Самодіюче скалярне поле[]

Розглянемо скалярне поле (неперенормоване)

.

Введемо перенормовані поле та масу:

,

де обирається так, щоб поле задовольняло вираз , а - з умови задовільненню умови наявності полюса в пропагатора. Тоді лагранжіан може бути переписаний як

.

На основі цього визначимо константи . Для цього треба розрахувати точний пропагатор для перенормованого поля із лагранжіаном . Зручно при цьому розглядати сильнозв'язні діаграми (див. попередній розділ), які відповідають таким діаграмам, які не можна зробити незв'язними розрізанням однієї лінії. Прийнято (опускаючи множники від двох зовнішніх ліній), позначати суму таких діаграм як . Цей вираз обчислюється як сума безпетльових діаграм, що виникають від однократної вставки вершин, які відповідають , а також петлів, що входять у вершину (від самодії):

.

Тоді точний пропагатор визначається як нескінченний ряд із однієї, двох і т.д. таких діаграм, що з'єднані вільними пропагаторами:

.

Умова того, що - справжня маса частинки, може бути отримана як умова того, що полюс точного пропагатора знаходиться в точці . Звідси

.

Окрім того, в силу того, що полюс пропагатора при має одиничний лишок, є також умова

.

Звідси з отримуємо умови

.

Отже, задаються рядами по ступеням константи зв'язку без нульових членів.

Зручно відняти від поліном першого порядку по з коефіцієнтами такими, щоб ця різниця задовольняла умовам . Ця процедура скорочує нескінченності, що виникають при розрахунку інтегралів, що відповідають , проте саме по собі перенормування мас та полів не має нічого спільного з існуванням нескінченностей, а необхідність в ньому виникає навіть за умови відсутності цих нескінченностей.

Вирази також мають за наслідок той факт, що зовнішні лінії на масовій поверхні не містять радіаційних поправок. Це зумовлюється тим фактом, що вони дають вклад який рівний

.

Аналогічний результат застосовний і для полів довільних спінів, що буде продемонстровано нижче на частинному випадку діраківських полів.

Спін 1/2[]

Візьмемо лагранжіан для діраківського поля,

,

і введемо перенормовані поля та масу:

.

Тоді лагранжіан можна буде переписати як

.

Нехай - сума усіх зв'язних діаграм із одною вхідною лінією з 4-імпульсом і одною вихідною лінією із таким же імпульсом, які не можна зробити незв'язними шляхом розрізання однієї внутрішньої лінії, причому пропагаторні множники для зовнішніх ліній опущені. Тоді повний ферміонний пропагатор в імпульсному представленні має вигляд

.

враховує вклад найнижчих діаграм від доданків , а також - вклад петльових діаграм, за які відповідає . Тобто,

.

Умова того, щоб пропагатор мав полюс при із тим же лишком, що й і вільний пропагатор, має вигляд

.

Звідси з маємо

.

Як і для безмасових частинок, каже про те, що зовнішні лінії не містять радіаційних поправок, що перевіряється побудовою виразу, аналогічного до , для зовнішніх ліній.

Однопетльова поправка для ферміонного пропагатора у КЕД[]

Розглянемо обчислення констант перенормування для однопетльової поправки у вираз для ферміонного пропагатора у КЕД у загальному калібруванні методом розмірної регуляризації. Нагадаю, що загальне калібрування у КЕД означає, що голий фотонний пропагатор (у імпульсному представленні) має вигляд

.

Тоді однопетльова поправка до пропагатора дається виразом

.

У більшості випадків є два типи розбіжностей: ультрафіолетова та інфрачервона. Обидві можуть бути регуляризовані шляхом розмірної регуляризації (перший випадок відповідає зсуву розмірності на від'ємну величину, другий - на додатню). Перепишемо , переходячи від розмірності 4 до розмірності і використовуючи вирази для гамма-матриць при такому переході: отримаємо

.

Добуток доцільно записати як

.

Тоді, остаточно,

,

де доданок зник через явну антисиметричність функції. Видно, що на масовій поверхні, коли , внеску до перенормування маси калібрувально-неінваріантної частини не буде. Втім, внесок у перенормування поля від калібрувально-неінваріантної частини буде ненульовим.

Для обчислення інтегралів виразу зручно ввести фейнманівські параметри (вираз тут):

.

Для остаточного завершення попередньої роботи треба тепер зробити зсув (який ніяк не змінить міру інтегрування) . Тоді набуде вигляду (лінійні по доданки занулені одразу після зсуву)

.

Проінтегруємо по з використанням табличного інтегралу

.

Якщо являється від'ємним, то такі інтеграли набувають уявну частину. Оскільки являється функцією імпульсу і маси, то при деяких співвідношеннях між ними власна енергія буде мати стрибок. Для правильної роботи із такими розривами треба робити модифікацію (вже після інтегрування). Отже, тепер набуде вигляду

.

Врахуємо тепер, що

,

занісши перед цим параметр у .

У результаті отримаємо інтеграли виду

,

,

,

кожен з яких є кінечним на масовій поверхні або внаслідок власної структури, або внаслідок того, що перед ними стоять множники , внаслідок тотожності .

Тепер можна використати результати попереднього підрозділу:

.

Advertisement