FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Самодіюче скалярне полеEdit

Розглянемо скалярне поле (неперенормоване)

$ \ L(\varphi_{B}) = \frac{1}{2}(\partial \varphi_{B} )^{2} - \frac{1}{2}m_{B}^{2}\varphi_{B} +V(\varphi_{B} ) $.

Введемо перенормовані поле та масу:

$ \ \varphi = \frac{1}{\sqrt{Z}}\varphi_{B}, \quad m^{2} = m_{B}^{2} + \delta m^{2} $,

де $ \ Z $ обирається так, щоб поле задовольняло вираз $ \ (10) $, а $ \ \delta m^{2} $ - з умови задовільненню умови наявності полюса в $ \ q^{2} = m^{2} $ пропагатора. Тоді лагранжіан може бути переписаний як

$ \ L = \left[ \frac{1}{2}(\partial \varphi )^{2} - \frac{1}{2}m^{2}\varphi^{2} \right] + \left[ \frac{Z - 1}{2}\left((\partial \varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2} \right) - \frac{1}{2}Z\delta m^{2}\varphi^{2} - V(\varphi )\right] = L_{0} + L_{1} \qquad (1) $.

На основі цього визначимо константи $ \ Z, \delta m^{2} $. Для цього треба розрахувати точний пропагатор $ \ \Delta '(q) $ для перенормованого поля із лагранжіаном $ \ (11) $. Зручно при цьому розглядати сильнозв'язні діаграми (див. попередній розділ), які відповідають таким діаграмам, які не можна зробити незв'язними розрізанням однієї лінії. Прийнято (опускаючи множники $ \ \frac{-i}{(2 \pi )^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon } $ від двох зовнішніх ліній), позначати суму таких діаграм як $ \ i (2\pi )^{4}\prod^{*}(q^{2}) $. Цей вираз обчислюється як сума безпетльових діаграм, що виникають від однократної вставки вершин, які відповідають $ \ (\partial \varphi )^{2}, \varphi^{2} $, а також петлів, що входять у вершину (від самодії):

$ \ \prod^{*}(q^{2}) = \frac{Z - 1}{2}\left(q^{2} - m^{2} \right) - Z\delta m^{2} + \prod^{*}_{Loop}(q^{2}) \qquad (2) $.

Тоді точний пропагатор визначається як нескінченний ряд із однієї, двох і т.д. таких діаграм, що з'єднані вільними пропагаторами:

$ \ -\frac{i}{(2 \pi )^{4}}\Delta '(q) = \frac{1}{q^{2}- m^{2} - i\varepsilon } + \left[\frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right]\left( i (2 \pi)^{4}\prod^{*}(q^{2})\right)\left[\frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right] + ... = \frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon - \prod^{*}(q^{2})} $.

Умова того, що $ \ m^{2} $ - справжня маса частинки, може бути отримана як умова того, що полюс точного пропагатора знаходиться в точці $ \ q^{2} = m^{2} $. Звідси

$ \ \prod^{*}(m^{2}) = 0 \qquad (3) $.

Окрім того, в силу того, що полюс пропагатора при $ \ q^{2} = m^{2} $ має одиничний лишок, є також умова

$ \ \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}} = 0 \qquad (4) $.

Звідси з $ \ (2) $ отримуємо умови

$ \ Z\delta m^{2} = \prod^{*}_{Loop}(m^{2}), \quad Z = 1 + \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod_{loop}^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}} $.

Отже, $ \ \delta m^{2}, Z - 1 $ задаються рядами по ступеням константи зв'язку без нульових членів.

Зручно відняти від $ \ \prod^{*}_{Loop}(q^{2}) $ поліном першого порядку по $ \ q^{2} $ з коефіцієнтами такими, щоб ця різниця задовольняла умовам $ \ \prod^{*}(m^{2}) = 0, \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}}= 0 $. Ця процедура скорочує нескінченності, що виникають при розрахунку інтегралів, що відповідають $ \ \prod^{*}_{Loop}(q^{2}) $, проте саме по собі перенормування мас та полів не має нічого спільного з існуванням нескінченностей, а необхідність в ньому виникає навіть за умови відсутності цих нескінченностей.

Вирази $ \ (3), (4) $ також мають за наслідок той факт, що зовнішні лінії на масовій поверхні не містять радіаційних поправок. Це зумовлюється тим фактом, що вони дають вклад який рівний

$ \ \left( \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} + \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} + ...\right)_{p^{2} = m^{2}} = 0 $.

Аналогічний результат застосовний і для полів довільних спінів, що буде продемонстровано нижче на частинному випадку діраківських полів.

Спін 1/2Edit

Візьмемо лагранжіан для діраківського поля,

$ \ L = \bar{\Psi}_{B}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m_{B})\Psi_{B} + V_{B}(\Psi_{B}) $,

і введемо перенормовані поля та масу:

$ \ \Psi_{B} = \sqrt{Z_{2}}\Psi , \quad m_{B} = m - \delta m $.

Тоді лагранжіан можна буде переписати як

$ \ L = \bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + \left((Z_{2}- 1)\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + Z_{2}\delta m \bar{\Psi}\Psi + V_{B}(Z_{2}\bar{\Psi}\Psi ) \right) = L_{0} +L_{1} \qquad (5) $.

Нехай $ \ i(2 \pi )^{4}\Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) $ - сума усіх зв'язних діаграм із одною вхідною лінією з 4-імпульсом $ \ k $ і одною вихідною лінією із таким же імпульсом, які не можна зробити незв'язними шляхом розрізання однієї внутрішньої лінії, причому пропагаторні множники для зовнішніх ліній опущені. Тоді повний ферміонний пропагатор в імпульсному представленні має вигляд

$ \ \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon } + \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon }\Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})\frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon } + ... = \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) - i\varepsilon} \qquad (6) $.

$ \ \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) $ враховує вклад найнижчих діаграм від доданків $ \ (Z_{2}- 1)\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + Z_{2}\delta m \bar{\Psi}\Psi $, а також - вклад петльових діаграм, за які відповідає $ \ V_{B}(Z_{2}\bar{\Psi}\Psi ) $. Тобто,

$ \ \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) = (Z_{2} - 1)(\gamma^{\mu} k_{\mu} - m) + Z_{2}\delta m + \Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu}k_{\mu}) \qquad (7) $.

Умова того, щоб пропагатор мав полюс при $ \ k^{2} = m^{2} $ із тим же лишком, що й і вільний пропагатор, має вигляд

$ \ \Eta^{*}(m) = 0, \quad \left(\frac{\partial \Eta^{*}(\gamma^{\mu}k_{\mu})}{\partial (\gamma^{\mu}k_{\mu})}\right)_{\gamma^{\mu}k_{\mu} = m} = 0 \qquad (8) $.

Звідси з $ \ (6) $ маємо

$ \ Z_{2}\delta m = -\Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu} k_{\mu}), \quad Z_{2} = 1 - \left(\frac{\partial \Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu}k_{\mu})}{\partial (\gamma^{\mu}k_{\mu})}\right)_{\gamma^{\mu}k_{\mu} = m} $.

Як і для безмасових частинок, $ \ (8) $ каже про те, що зовнішні лінії не містять радіаційних поправок, що перевіряється побудовою виразу, аналогічного до $ \ (7) $, для зовнішніх ліній.

Однопетльова поправка для ферміонного пропагатора у КЕДEdit

Розглянемо обчислення констант перенормування для однопетльової поправки у вираз для ферміонного пропагатора у КЕД у загальному калібруванні $ \ \eta \neq 1 $ методом розмірної регуляризації. Нагадаю, що загальне калібрування у КЕД означає, що голий фотонний пропагатор (у імпульсному представленні) має вигляд

$ \ D_{\mu \nu}(p) = -\frac{g_{\mu \nu} - (1 - \eta )\frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}}{k^{2} + i\varepsilon } = -\frac{g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}}{k^{2} + i\varepsilon } $.

Тоді однопетльова поправка до пропагатора дається виразом

$ \ \Sigma_{1loop}(p) = -q_{e}^{2}\int d^{4}k \gamma^{\mu}\frac{(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + m }{(p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon }\gamma^{\nu}\frac{\left(g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}} \right)}{k^{2} + i\varepsilon } \qquad (9) $.

У більшості випадків є два типи розбіжностей: ультрафіолетова та інфрачервона. Обидві можуть бути регуляризовані шляхом розмірної регуляризації (перший випадок відповідає зсуву розмірності на від'ємну величину, другий - на додатню). Перепишемо $ \ (9) $, переходячи від розмірності 4 до розмірності $ \ d $ і використовуючи вирази для гамма-матриць при такому переході: отримаємо

$ \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2} \left[\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{k\!\!\!/ (2 (p \cdot k) - k^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} \right] $.

Добуток $ \ (p \cdot k) $ доцільно записати як

$ \ 2(p \cdot k) = p^{2} +k^{2} - D_{1} - m^{2}, \quad D_{1} = (p - k)^{2} - m^{2} $.

Тоді, остаточно,

$ \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\left[ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\left( \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}\right) \right] = $

$ \ = -q_{e}^{2}M^{4 - d}\left[ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{i(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} \right] \qquad (10) $,

де доданок $ \ \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}} $ зник через явну антисиметричність функції. Видно, що на масовій поверхні, коли $ \ p\!\!\!/ - m = p^{2} - m^{2} = 0 $, внеску до перенормування маси калібрувально-неінваріантної частини не буде. Втім, внесок у перенормування поля від калібрувально-неінваріантної частини буде ненульовим.

Для обчислення інтегралів виразу $ \ (10) $ зручно ввести фейнманівські параметри (вираз $ (2) $ тут):

$ \ \frac{1}{(k^{2} + i\varepsilon )^{n}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} = 2\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{(k^{2}x + (1 - x)((p - k)^{2} - m^{2}) + i\varepsilon)^{n + 1}} = 2\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{((k - p(1 - x))^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{n + 1}} $.

Для остаточного завершення попередньої роботи треба тепер зробити зсув (який ніяк не змінить міру інтегрування) $ \ k \to k + p(1 - x) $. Тоді $ \ (10) $ набуде вигляду (лінійні по $ \ k $ доданки занулені одразу після зсуву)

$ \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\left[ (2 - d)p\!\!\!/ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}} + dm\frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}}\right] + $

$ \ +M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon \left[ (p^{2} - m^{2})\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{3}} - (p\!\!\!/ - m)\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}}\right] (11) $.

Проінтегруємо по $ \ k $ з використанням табличного інтегралу

$ \ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{(k^{2} - \Delta + i\varepsilon )^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{\Gamma \left( n - \frac{d}{2}\right)}{\Gamma (n)}\frac{1}{\Delta^{n - \frac{d}{2}} } $.

Якщо $ \ \Delta $ являється від'ємним, то такі інтеграли набувають уявну частину. Оскільки $ \ \Delta $ являється функцією імпульсу і маси, то при деяких співвідношеннях між ними власна енергія буде мати стрибок. Для правильної роботи із такими розривами треба робити модифікацію $ \ \Delta \to \Delta - i\varepsilon $ (вже після інтегрування). Отже, $ \ (11) $ тепер набуде вигляду

$ \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left[ (2 - d)p\!\!\!/\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} + dm\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\right] + $

$ \ +M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon \left[ (p^{2} - m^{2})\frac{\Gamma \left( 3 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2} }} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{3 - \frac{d}{2}}} - (p\!\!\!/ - m)\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\right] $.

Врахуємо тепер, що

$ \ \frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left(\frac{1}{\Delta }\right)^{2 - \frac{d}{2}} = \frac{1}{(4 \pi )^{2}}\left(\frac{2}{\delta} - \gamma - ln (\Delta ) + ln(4 \pi ) + O(\delta ) \right), \quad \delta = 4 - d, \quad \gamma = 0.57 $,

занісши перед цим параметр $ \ M^{4 - d} $ у $ \ m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x), \Delta = \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 -x) $.

У результаті отримаємо інтеграли виду

$ \ \int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{m^{2} - p^{2}x} = -\frac{m^{2}}{p^{4}}ln\left( 1 - \frac{p^{2}}{m^{2}}\right) - \frac{1}{p^{2}} $,

$ \ \int \limits_{0}^{1}xdxln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 - x)\right) = -\frac{3}{4} -\frac{2m^{2} + p^{2}}{4p^{2}} - 2\frac{1}{M^{4}}(m^{4} - p^{4})ln\left( \frac{m^{2} - p^{2}}{M^{2}}\right) + 2m^{4}ln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}\right) $,

$ \ \int \limits_{0}^{1}dxln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 - x)\right) = -2 + \left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right)ln\left( \frac{m^{2} - p^{2}}{M^{2}}\right) + \frac{m^{2}}{p^{2}}ln \left( \frac{m^{2}}{M^{2}}\right) $,

кожен з яких є кінечним на масовій поверхні або внаслідок власної структури, або внаслідок того, що перед ними стоять множники $ \ 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}} $, внаслідок тотожності $ \ \lim_{p^{2} \to m^{2}} \left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right)ln\left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right) = 0 $.

Тепер можна використати результати попереднього підрозділу:

$ \ Z_{2} = 1 - \left(\frac{\partial \Sigma_{1loop}(p)}{\partial p\!\!\!/}\right)_{p^{2} = m^{2}}, \quad \delta m = -\left( \Sigma_{1loop}(p)\right)_{p^{2} = m^{2}} $.$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $