FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

У цьому розділі в рамках непертурбативного підходу будуть отримані результати, що дозволять прояснити фізичний зміст введення контрчленів у лагранжіанах перенормовних теорій.

Полюсна апроксимація амплітудEdit

Для подальших викладок знадобляться результати, що апроксимують матричні елементи полюсними вкладами.

Отже, розглянемо у імпульсному представленні амплітуду

\ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} - ... - iq_{n}x_{n}}\langle | \hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat {A}_{n}(x_{n})\right)|\rangle \qquad (1),

де \ \hat {A}(x) - довільна операторозначна локальна функція полів та їх похідних. У частинному випадку, коли \ \hat {A}(x) відповідають полям, вираз \ (1) визначає суму всіх діаграм, що відповідають \ n зовнішнім лініям \ \hat {A}_{i}(x_{i}), причому по цім лініям текуть 4-імпульси \ q_{i}, які не знаходяться на масовій поверхні (формально, такі вирази відповідають внутрішнім діаграмам).

Спростимо цей вираз, привівши його до якогось осмисленого результату. Серед \ n! можливих часових впорядкувань виразу \ (1) у виразі існують \ \frac{n!}{r!(n - r)!} таких, для яких всі перші \ r моментів \ x_{i}^{0} більше, ніж останні \ n - r. Виділяючи вклад цієї частини доданків у \ (1), його можна записати як

\ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-i\prod_{i = 1}^{n}q_{i}x_{i}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0}) - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}))\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right) \hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle +... \qquad (2),

де три точки означають доданки з усіма можливими іншими способами часового впорядкування. Вставимо між двома часовими впорядкуваннями \ (2) повний базис \ \sum_{i, \sigma }|(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ...,(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}) \rangle \langle (\mathbf p_{1},...\sigma_{1}),...,(\mathbf p_{i}, \sigma_{i}) | і виділимо явний вклад від одночастинкових станів цієї суми (все інше піде у три крапки). Отримаємо (по імпульсам інтегруємо)

\ G(q_{1},...,q_{n}) = \sum_{\sigma} \int d^{3}\mathbf p \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1}-...-iq_{n}x_{n}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}) \times

\ \times \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)|(\mathbf p, \sigma )\rangle \langle (\mathbf p, \sigma )|\hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle + ... \qquad (3).

Зсунемо тепер змінні інтегрування: \ x_{i} \to x_{1} + y_{i}, i = 2, ..., r та \ x_{i} \to x_{r + 1} + y_{i}, i = r + 2, ..., n.

Завдяки цьому \ (3) набуде вигляду

\ G(q_{1},...,q_{n}) = -\frac{1}{2\pi i}\int d^{4}y_{2}...d^{4}y_{r}d^{4}y_{r+2}...d^{4}y_{n}e^{-iq_{2}y_{2}-...-iq_{r}y_{r} - iq_{r + 2}y_{r + 2} - ...-iq_{n}y_{n}}\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d \omega}{\omega + i\varepsilon }e^{-i\omega \left( min (0,y_{2},...y_{r}) - max(0, y_{r + 2},...,y_{n})\right)}\times

\ \times \sum_{\sigma}\int d^{3}\mathbf p \langle | \hat {N}(\hat {A}_{1}(0)...\hat {A}_{r}(y_{r}) | (\mathbf p, \sigma) \rangle \langle (\mathbf p , \sigma)| \hat {N}(\hat {A}_{r+1}(0)...\hat {A}_{n}(y_{n}) | \rangle (2 \pi )^{8}\delta (\mathbf p - \mathbf q_{1} - ... - \mathbf q_{r})\delta \left(\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} + \omega -q_{1}^{0} - ... - q_{r}^{0}\right) \times

\ \times \delta (\mathbf p + \mathbf q_{r + 1} - ... + \mathbf q_{n})\delta \left(\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} + \omega + q_{r + 1}^{0} + ... + q_{n}^{0}\right) \qquad (4).

Підинтегральний вираз \ (4) має полюс першого порядку 1. В силу цього можна покласти вираз в експоненті від інтегрального представлення функції Хевісайда рівним нулю. Тоді інтеграли по \ d^{3}\mathbf p , d\omega стають тривіальними (в силу дельта-функції), в результаті чого \ (4) перетворюється в

\ G(q_{1},...,q_{n}) \to (2 \pi )^{7}i\frac{\delta (q_{1} + ... + q_{n})}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon }\sum_{\sigma}\left[ \int d^{4}y_{2}...d^{4}y_{r}e^{-i\sum_{i = 2}^{r}q_{i}y_{i}}\langle |\hat {N}\left(\prod_{i = 1}^{r}\hat {A}_{i}(y_{i})\right)| (-\mathbf q ,\sigma ) \rangle\right]\times

\ \times \left[ \int d^{4}y_{r+2}...d^{4}y_{n}e^{-i\sum_{i =r+2}^{n}q_{i}y_{i}}\langle (-\mathbf q ,\sigma )|\hat {N}\left(\prod_{i = r+2}^{n}\hat {A}_{i}(y_{i})\right)|\rangle \right] + ... =

\ = \frac{(2 \pi )^{7}i\delta (q_{1} + ... + q_{n})}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon } \sum_{\sigma}M_{0; -\mathbf q, \sigma}(q_{2},...,q_{r})M_{-\mathbf q , \sigma ; 0}(q_{r+2},...,q_{n}) + ... ,

де \ q = q_{1} + ... + q_{n}, y_{0} = y_{r + 1} = 0. Три крапки містять подібні доданки із полюсами в інших точках.

Окрім того, перепозначимо тепер \ \varepsilon \to 2\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}\varepsilon (що можна зробити в силу малості \ \varepsilon ): отримаємо

\ \frac{1}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon } \to -2\frac{\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}.

Отже, нарешті,

\ G(q_{1},...,q_{n}) \to -\frac{2(2 \pi )^{7}i\delta (q_{1} + ... + q_{n})2\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon} \sum_{\sigma}M_{0; -\mathbf q, \sigma}(q_{2},...,q_{r})M_{-\mathbf q , \sigma ; 0}(q_{r+2},...,q_{n}) + ... \qquad (5).

Для деякої інтерпретації змісту \ (5) можна переписати цей вираз як

\ G(q_{1},...,q_{n}) \to \int d^{4}k  \left[(2 \pi)^{4}\delta (q_{1} + ... + q_{r} - k)(2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2(\mathbf k^{2} + m^{2})}M_{0;\mathbf k, \sigma}(q_{2},...,q_{r})\right] \times \left[ \frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{k^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right] \times

\ \times \left[ (2 \pi)^{4}\delta (q_{r+1} + ... + q_{n} + k)(2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2(\mathbf k^{2} + m^{2})}M_{\mathbf k, \sigma ; 0}(q_{r + 2},...,q_{n})\right].

Це означає, що якби всі \ \hat {A}_{i}(x_{i}) були б полями, то наш вираз відповідав би вкладу від фейнманівської діаграми із єдиною внутрішньою лінією, що відповідає частинці масою \ m і що з'єднує перші \ r зовнішніх ліній із \ n - r останніми зовнішніми лініями. При цьому не обов'язково, щоб частинка відповідала полю, що входить в лагранжіан даної теорії (тоді полюсів - нескінченність); натомість вона може відповідати зв'язаним станам елементарних частинок, яким відповідають поля лагранжіану (як атом водню, позитроній тощо). Цей результат вже не міг би бути отриманим у рамках теорії збурень.

Редукційна формула. Перенормування мас та полівEdit

Використаємо тепер вираз \ (5) у частинному випадку - коли з усіх 4-імпульсів зовнішніх ліній лише один наближається до масової оболонки. Це відповідає \ r = 1 у виразі \ (5). Замість \ (1) тоді можна записати

\ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} - ... - iq_{n}x_{n}}\langle | \hat {N}\left( \hat {O}_{l}(x_{1})...\hat {A}_{n}(x_{n})\right)|\rangle + ... \qquad (6),

де \ \hat {O}_{l}(x) - оператор, що має такі ж трансформаційні властивості відносно перетворень групи Лоренца, як і поле \ \hat {\Psi}_{l}(x) ; всі інші оператори є довільними локальними гейзенбергівськими операторами. Нехай також існує одночастинковий стан \ |( \mathbf p , \sigma )\rangle такий, що елементи \ \hat {O}_{l}^{\dagger}| (\mathbf p , \sigma )\rangle , \hat {A}_{2}(x_{2})...\hat {A}_{n}(x_{n})| (\mathbf p , \sigma )\rangle не рівні нулю. Тоді згідно до виразу \ (5)

\ G(q_{1},...,q_{n}) \to \frac{-2i\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }(2 \pi )^{3}\sum_{\sigma} \langle | \hat {O}_{l}(0)|(\mathbf q_{1}, \sigma )\rangle \int d^{4}x_{2}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{2}x_{2} - ...}\langle (\mathbf q_{1}, \sigma ) |\hat {N}\left( \hat {A}_{2}(x_{2})...\right) | \rangle + ... \qquad (7).

В силу вказаної властивості оператора \ \hat {O}_{l}(x) справедливий вираз (порівняйте із загальним виразом для коваріантного поля)

\ \hat {O}_{l}(0)| (\mathbf q_{1} , \sigma )\rangle = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}}Nu^{\sigma}_{l}(\mathbf q_{1}) \qquad (8),

де \ N - деяка константа. Ввівши також формально величину \ M_{l} за формулою

\ \int d^{4}x_{2}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{2}x_{2} - ...}\langle (\mathbf q_{1}, \sigma ) |\hat {N}\left( \hat {A}_{2}(x_{2})...\right) | \rangle = \frac{1}{N}\frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}\sum_{l'}(u^{\sigma}_{l'})^{*}(\mathbf q_{1} )M_{l'}(q_{2},...) \qquad (9),

вираз \ (7) можна переписати як

\ G(q_{1},...,q_{n}) \to -\frac{2i\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2}-m^{2}-i\varepsilon}\sum_{\sigma , l'}u_{l}^{\sigma}(\mathbf q_{1})(u^{\sigma}_{l'})^{*}(\mathbf q_{1} )M_{l'}(q_{2},...) + ... \qquad (10).

Величина, що входить як множник при \ M_{l'}, являється нічим іншим, як пропагатором у імпульсному просторі для вільного поля, що має такі ж властивості щодо перетворень за групою Лоренца, що й \ \hat {O}_{l}(x). Таким чином, \ M_{l'} у \ (10) можна інтерпретувати як суму всіх діаграм, зовнішні лінії яких (з імпульсами \ q_{1},...q_{n})) відповідають операторам \ \hat {O}_{l}, \hat {A}_{1}, ..., причому всі пропагатори, що відповідають \ \hat {O}_{l}, відкинуті. Тоді формула \ (9) відповідає звичайному виразу для визначення матричного елемента вивільнення частинки у вигляді суми фейнманівських діаграм: треба відкинути пропагатор частинки, замінивши його згорткою з множником \ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}u_{l}^{*} для зовнішньої лінії. Єдиною відмінністю є наявність множника \ N.

Результат, сформульований вище, називається редукційною формулою. У частинному випадку, коли \ \hat {O}_{l} є одним з полів лагранжіану, ця формула каже, що для визначення матричних елементів за правилами Фейнмана треба спочатку перевизначити поля так, щоб із \ (7) зник множник \ N.

Цей множник виникає також у тому випадку, якщо в \ (6) замість купи операторів \ \hat {A}_{2}... написати один оператор \ \hat {O}^{\dagger}_{l'}, що є спряженим до \ \hat {O}_{l'}. Тоді вираз \ (7) можна записати (з урахуванням \ (5), (7)) як

\ G_{ll'}(q_{1}, q_{2}) \to \frac{-2i|N|^{2}\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }(2 \pi )^{3}\sum_{\sigma} u^{\sigma}_{l}(\mathbf q_{1})(u_{l'}^{\sigma})^{*}(\mathbf q_{1})(2 \pi )^{4}\delta (q_{1} + q_{2}) + ...,

тобто, виникає пропагатор. Проте згідно із \ (10), множник \ |N|^{2} у ньому міститися не повинен; він зникає, якщо перенормувати поле \ \hat {\Psi}_{l}.

Отже, перенормоване поле - це таке поле, пропагатор якого має таку ж поведінку в околі полюса, як і вільне поле, а перенормована маса визначається положенням полюса.

Представлення Челлена-Лемана. Наочна демонстрація фізичного змісту полюсівEdit

Множник \ N, що введений у \ (8), визначає перенормування поля для випадків теорії із взаємодією. Оцінимо його для скалярного поля.

Для цього розглянемо вакуумне середнє

\ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \sum_{n}\langle | \hat {\Psi}(x) | n\rangle \langle n|\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle.

В силу трансляційної інваріантності та того факту, що стани \ | n\rangle є власними для оператору 4-імпульсу \ \hat {P}_{\mu}, можна записати

\ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \sum_{n}e^{-ip_{n}(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} .

Цей вираз можна переписати (із введенням проміжного формального інтегрування \ \int d^{4}p \delta (p^{2} - p_{n}^{2})) як

\ \sum_{n}e^{ip_{n}(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \sum_{n}\int d^{4}p\delta (p - p_{n})e^{-ip(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p e^{-ip(x - y)}\rho (p^{2}) \qquad (11),

де введена скалярна функція спектральної густини \ \sum_{n}\delta (p - p_{n})|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \frac{1}{(2 \pi )^{3}} \theta (p_{0})\rho (p^{2}) (функція Хевісайда з'явилась в силу того, що стани фоківського базису мають фізичну енергію). Ввівши ще одне формальне інтегрування, \ (11) можна переписати як

\ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}pd(\mu^{2})e^{-ip(x - y)}\rho (\mu^{2})\delta (p^{2} - \mu^{2})\theta (p_{0}) = \int d(\mu^{2})\rho( \mu^{2})D_{m}(x - y, \mu^{2}),

де \ D_{m}(x - y) = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \delta (p^{2} - \mu^{2})e^{-ip(x - y)}\theta (p_{0}) - добре знайомий вираз із розділу про теорему Паулі, переписаний у явно лоренц-інваріантному вигляді.

Зовсім аналогічно можна показати, що \ \langle | \hat {\Psi}^{\dagger}(y) \hat {\Psi}(x) | \rangle = \int d(\mu^{2})\bar {\rho}( \mu^{2})D_{m}(x - y, \mu^{2}).

Як і для вільної теорії, повинен виконуватися принцип причинності, звідки для простороподібних інтервалів

\ \langle | [\hat {\Psi}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}(y)]|\rangle = 0 \Rightarrow \bar {\rho}( \mu^{2}) = \rho( \mu^{2}). Дійсно, функція \ D_{m}(x - y, \mu^{2}) (як відомо із тієї ж статті про теорему Паулі) є парною функцією при простороподібних інтервалах, тому комутатор визначається різницею \ \rho (\mu^{2}) - \bar {\rho}(\mu^{2}).

Знайдемо тепер вираз для "узагальненого" пропагатора у імпульсному представленні. Для цього введемо функцію

\ D'(p) = \int d^{4}xe^{ip(x - y)}\langle | \hat {T}\left( \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)\right)| \rangle.

В силу вже відомих викладок цей вираз рівний

\ -iD'(p) = \int d(\mu^{2})\int d^{4}x \rho (\mu^{2})e^{ip(x - y)}D(x - y, \mu^{2}),

де \ D(x - y, \mu^{2}) = -\frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int d^{4}p\frac{e^{-ip(x - y)} }{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} - пропагатор скалярного поля. Врахувавши тепер, що оператор по координаті є прямим перетворенням Фур'є, а інтеграл у пропагаторі - оберненим, маємо

\ D'(p) = \int \frac{\rho (\mu^{2})d(\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} \qquad (12).

Врахувавши тепер, що для ще неперенормованого скалярного поля справедлива рівність

\ [\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf x , t), \frac{\partial}{\partial t}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y) \qquad (13),

а також те, що для функції \ D_{m}(x) справедлива рівність \ \left(\partial_{0}D_{m}(x - y)\right)_{x_{0} = y_{0}} = i\delta (\mathbf x - \mathbf y), маємо

\ [\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf x , t), \frac{\partial}{\partial t}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ) = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ) \int d (\mu^{2})\rho (\mu^{2}) \Rightarrow \int \limits_{0}^{\infty} d (\mu^{2})\rho (\mu^{2}) = 1 \qquad (14).

Тепер залишається зробити останній крок. В силу того, що пропагатори перенормованих полів повинні мати полюс при \ \mu = m з залишком \ Z = |N|^{2}, функцію спектральної густини можна переписати як \ \rho (\mu^{2}) = \delta (\mu^{2} - m^{2})Z + \sigma (\mu^{2}).

Звідси з \ (14) маємо

\ 1 = Z + \int \limits_{m^{2}}^{\infty} \sigma (\mu^{2})d(\mu^{2}) \Rightarrow 0 \leqslant Z \leqslant 1.

Випадок \ Z = 0 відповідає ситуації, коли частинка є складовою, а не елементарною, тобто що її поле не міститься у лагранжіані.

Є ідея, що цей результат також можна отримати для полів довільного спіну (хоч така можливість "затуманена" тим, що для полів різних спінів канонічні імпульси виглядають по-різному, і тому складніше буде отримати щось на кшталт \ (13)). Можна також зробити більш ясними слова попереднього підрозділу про те, що треба модифікувати повний пропагатор. Дійсно, виділивши у \ (12) одночастинковий вклад, можна отримати (врахувавши вищенаведений вигляд функції спектральної густини), що

\  D'(p) = \int \frac{\rho (\mu^{2})d(\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} = Z\frac{1}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} + \int \limits_{m^{2}}^{\infty} \frac{d(\mu^{2} )\sigma (\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} - i\varepsilon}.

Ще один наочний спосіб демонстрації необхідності модифікації пропагатора (більш стандартний і пов'язаний із теорією збурень) виникне при переписуванні вакуумного середнього двох полів у представленні Гейзенберга через представлення взаємодії. Отже, повний пропагатор у теорії із взаємодією вже не являє собою "просту" пряму лінію на мові фейнманівських діаграм. Тепер усередині будуть різні петльові замкнуті діаграми. Про те, як їх враховувати, див. наступний розділ.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.