FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

У цьому розділі в рамках непертурбативного підходу будуть отримані результати, що дозволять прояснити фізичний зміст введення контрчленів у лагранжіанах перенормовних теорій.

Полюсна апроксимація амплітудEdit

Для подальших викладок знадобляться результати, що апроксимують матричні елементи полюсними вкладами.

Отже, розглянемо у імпульсному представленні амплітуду

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} - ... - iq_{n}x_{n}}\langle | \hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat {A}_{n}(x_{n})\right)|\rangle \qquad (1) $,

де $ \ \hat {A}(x) $ - довільна операторозначна локальна функція полів та їх похідних. У частинному випадку, коли $ \ \hat {A}(x) $ відповідають полям, вираз $ \ (1) $ визначає суму всіх діаграм, що відповідають $ \ n $ зовнішнім лініям $ \ \hat {A}_{i}(x_{i}) $, причому по цім лініям текуть 4-імпульси $ \ q_{i} $, які не знаходяться на масовій поверхні (формально, такі вирази відповідають внутрішнім діаграмам).

Спростимо цей вираз, привівши його до якогось осмисленого результату. Серед $ \ n! $ можливих часових впорядкувань виразу $ \ (1) $ у виразі існують $ \ \frac{n!}{r!(n - r)!} $ таких, для яких всі перші $ \ r $ моментів $ \ x_{i}^{0} $ більше, ніж останні $ \ n - r $. Виділяючи вклад цієї частини доданків у $ \ (1) $, його можна записати як

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-i\prod_{i = 1}^{n}q_{i}x_{i}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0}) - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}))\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right) \hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle +... \qquad (2) $,

де три точки означають доданки з усіма можливими іншими способами часового впорядкування. Вставимо між двома часовими впорядкуваннями $ \ (2) $ повний базис $ \ \sum_{i, \sigma }|(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ...,(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}) \rangle \langle (\mathbf p_{1},...\sigma_{1}),...,(\mathbf p_{i}, \sigma_{i}) | $ і виділимо явний вклад від одночастинкових станів цієї суми (все інше піде у три крапки). Отримаємо (по імпульсам інтегруємо)

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) = \sum_{\sigma} \int d^{3}\mathbf p \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1}-...-iq_{n}x_{n}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}) \times $

$ \ \times \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)|(\mathbf p, \sigma )\rangle \langle (\mathbf p, \sigma )|\hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle + ... \qquad (3) $.

Зсунемо тепер змінні інтегрування: $ \ x_{i} \to x_{1} + y_{i}, i = 2, ..., r $ та $ \ x_{i} \to x_{r + 1} + y_{i}, i = r + 2, ..., n $.

Завдяки цьому $ \ (3) $ набуде вигляду

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) = -\frac{1}{2\pi i}\int d^{4}y_{2}...d^{4}y_{r}d^{4}y_{r+2}...d^{4}y_{n}e^{-iq_{2}y_{2}-...-iq_{r}y_{r} - iq_{r + 2}y_{r + 2} - ...-iq_{n}y_{n}}\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d \omega}{\omega + i\varepsilon }e^{-i\omega \left( min (0,y_{2},...y_{r}) - max(0, y_{r + 2},...,y_{n})\right)}\times $

$ \ \times \sum_{\sigma}\int d^{3}\mathbf p \langle | \hat {N}(\hat {A}_{1}(0)...\hat {A}_{r}(y_{r}) | (\mathbf p, \sigma) \rangle \langle (\mathbf p , \sigma)| \hat {N}(\hat {A}_{r+1}(0)...\hat {A}_{n}(y_{n}) | \rangle (2 \pi )^{8}\delta (\mathbf p - \mathbf q_{1} - ... - \mathbf q_{r})\delta \left(\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} + \omega -q_{1}^{0} - ... - q_{r}^{0}\right) \times $

$ \ \times \delta (\mathbf p + \mathbf q_{r + 1} - ... + \mathbf q_{n})\delta \left(\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} + \omega + q_{r + 1}^{0} + ... + q_{n}^{0}\right) \qquad (4) $.

Підинтегральний вираз $ \ (4) $ має полюс першого порядку 1. В силу цього можна покласти вираз в експоненті від інтегрального представлення функції Хевісайда рівним нулю. Тоді інтеграли по $ \ d^{3}\mathbf p , d\omega $ стають тривіальними (в силу дельта-функції), в результаті чого $ \ (4) $ перетворюється в

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) \to (2 \pi )^{7}i\frac{\delta (q_{1} + ... + q_{n})}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon }\sum_{\sigma}\left[ \int d^{4}y_{2}...d^{4}y_{r}e^{-i\sum_{i = 2}^{r}q_{i}y_{i}}\langle |\hat {N}\left(\prod_{i = 1}^{r}\hat {A}_{i}(y_{i})\right)| (-\mathbf q ,\sigma ) \rangle\right]\times $

$ \ \times \left[ \int d^{4}y_{r+2}...d^{4}y_{n}e^{-i\sum_{i =r+2}^{n}q_{i}y_{i}}\langle (-\mathbf q ,\sigma )|\hat {N}\left(\prod_{i = r+2}^{n}\hat {A}_{i}(y_{i})\right)|\rangle \right] + ... = $

$ \ = \frac{(2 \pi )^{7}i\delta (q_{1} + ... + q_{n})}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon } \sum_{\sigma}M_{0; -\mathbf q, \sigma}(q_{2},...,q_{r})M_{-\mathbf q , \sigma ; 0}(q_{r+2},...,q_{n}) + ... $,

де $ \ q = q_{1} + ... + q_{n}, y_{0} = y_{r + 1} = 0 $. Три крапки містять подібні доданки із полюсами в інших точках.

Окрім того, перепозначимо тепер $ \ \varepsilon \to 2\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}\varepsilon $ (що можна зробити в силу малості $ \ \varepsilon $): отримаємо

$ \ \frac{1}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon } \to -2\frac{\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon} $.

Отже, нарешті,

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) \to -\frac{2(2 \pi )^{7}i\delta (q_{1} + ... + q_{n})2\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon} \sum_{\sigma}M_{0; -\mathbf q, \sigma}(q_{2},...,q_{r})M_{-\mathbf q , \sigma ; 0}(q_{r+2},...,q_{n}) + ... \qquad (5) $.

Для деякої інтерпретації змісту $ \ (5) $ можна переписати цей вираз як

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) \to \int d^{4}k \left[(2 \pi)^{4}\delta (q_{1} + ... + q_{r} - k)(2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2(\mathbf k^{2} + m^{2})}M_{0;\mathbf k, \sigma}(q_{2},...,q_{r})\right] \times \left[ \frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{k^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right] \times $

$ \ \times \left[ (2 \pi)^{4}\delta (q_{r+1} + ... + q_{n} + k)(2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2(\mathbf k^{2} + m^{2})}M_{\mathbf k, \sigma ; 0}(q_{r + 2},...,q_{n})\right] $.

Це означає, що якби всі $ \ \hat {A}_{i}(x_{i}) $ були б полями, то наш вираз відповідав би вкладу від фейнманівської діаграми із єдиною внутрішньою лінією, що відповідає частинці масою $ \ m $ і що з'єднує перші $ \ r $ зовнішніх ліній із $ \ n - r $ останніми зовнішніми лініями. При цьому не обов'язково, щоб частинка відповідала полю, що входить в лагранжіан даної теорії (тоді полюсів - нескінченність); натомість вона може відповідати зв'язаним станам елементарних частинок, яким відповідають поля лагранжіану (як атом водню, позитроній тощо). Цей результат вже не міг би бути отриманим у рамках теорії збурень.

Редукційна формула. Перенормування мас та полівEdit

Використаємо тепер вираз $ \ (5) $ у частинному випадку - коли з усіх 4-імпульсів зовнішніх ліній лише один наближається до масової оболонки. Це відповідає $ \ r = 1 $ у виразі $ \ (5) $. Замість $ \ (1) $ тоді можна записати

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} - ... - iq_{n}x_{n}}\langle | \hat {N}\left( \hat {O}_{l}(x_{1})...\hat {A}_{n}(x_{n})\right)|\rangle + ... \qquad (6) $,

де $ \ \hat {O}_{l}(x) $ - оператор, що має такі ж трансформаційні властивості відносно перетворень групи Лоренца, як і поле $ \ \hat {\Psi}_{l}(x) $; всі інші оператори є довільними локальними гейзенбергівськими операторами. Нехай також існує одночастинковий стан $ \ |( \mathbf p , \sigma )\rangle $ такий, що елементи $ \ \hat {O}_{l}^{\dagger}| (\mathbf p , \sigma )\rangle , \hat {A}_{2}(x_{2})...\hat {A}_{n}(x_{n})| (\mathbf p , \sigma )\rangle $ не рівні нулю. Тоді згідно до виразу $ \ (5) $

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) \to \frac{-2i\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }(2 \pi )^{3}\sum_{\sigma} \langle | \hat {O}_{l}(0)|(\mathbf q_{1}, \sigma )\rangle \int d^{4}x_{2}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{2}x_{2} - ...}\langle (\mathbf q_{1}, \sigma ) |\hat {N}\left( \hat {A}_{2}(x_{2})...\right) | \rangle + ... \qquad (7) $.

В силу вказаної властивості оператора $ \ \hat {O}_{l}(x) $ справедливий вираз (порівняйте із загальним виразом для коваріантного поля)

$ \ \hat {O}_{l}(0)| (\mathbf q_{1} , \sigma )\rangle = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}}Nu^{\sigma}_{l}(\mathbf q_{1}) \qquad (8) $,

де $ \ N $ - деяка константа. Ввівши також формально величину $ \ M_{l} $ за формулою

$ \ \int d^{4}x_{2}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{2}x_{2} - ...}\langle (\mathbf q_{1}, \sigma ) |\hat {N}\left( \hat {A}_{2}(x_{2})...\right) | \rangle = \frac{1}{N}\frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}\sum_{l'}(u^{\sigma}_{l'})^{*}(\mathbf q_{1} )M_{l'}(q_{2},...) \qquad (9) $,

вираз $ \ (7) $ можна переписати як

$ \ G(q_{1},...,q_{n}) \to -\frac{2i\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2}-m^{2}-i\varepsilon}\sum_{\sigma , l'}u_{l}^{\sigma}(\mathbf q_{1})(u^{\sigma}_{l'})^{*}(\mathbf q_{1} )M_{l'}(q_{2},...) + ... \qquad (10) $.

Величина, що входить як множник при $ \ M_{l'} $, являється нічим іншим, як пропагатором у імпульсному просторі для вільного поля, що має такі ж властивості щодо перетворень за групою Лоренца, що й $ \ \hat {O}_{l}(x) $. Таким чином, $ \ M_{l'} $ у $ \ (10) $ можна інтерпретувати як суму всіх діаграм, зовнішні лінії яких (з імпульсами $ \ q_{1},...q_{n}) $) відповідають операторам $ \ \hat {O}_{l}, \hat {A}_{1}, ... $, причому всі пропагатори, що відповідають $ \ \hat {O}_{l} $, відкинуті. Тоді формула $ \ (9) $ відповідає звичайному виразу для визначення матричного елемента вивільнення частинки у вигляді суми фейнманівських діаграм: треба відкинути пропагатор частинки, замінивши його згорткою з множником $ \ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}u_{l}^{*} $ для зовнішньої лінії. Єдиною відмінністю є наявність множника $ \ N $.

Результат, сформульований вище, називається редукційною формулою. У частинному випадку, коли $ \ \hat {O}_{l} $ є одним з полів лагранжіану, ця формула каже, що для визначення матричних елементів за правилами Фейнмана треба спочатку перевизначити поля так, щоб із $ \ (7) $ зник множник $ \ N $.

Цей множник виникає також у тому випадку, якщо в $ \ (6) $ замість купи операторів $ \ \hat {A}_{2}... $ написати один оператор $ \ \hat {O}^{\dagger}_{l'} $, що є спряженим до $ \ \hat {O}_{l'} $. Тоді вираз $ \ (7) $ можна записати (з урахуванням $ \ (5), (7) $) як

$ \ G_{ll'}(q_{1}, q_{2}) \to \frac{-2i|N|^{2}\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }(2 \pi )^{3}\sum_{\sigma} u^{\sigma}_{l}(\mathbf q_{1})(u_{l'}^{\sigma})^{*}(\mathbf q_{1})(2 \pi )^{4}\delta (q_{1} + q_{2}) + ... $,

тобто, виникає пропагатор. Проте згідно із $ \ (10) $, множник $ \ |N|^{2} $ у ньому міститися не повинен; він зникає, якщо перенормувати поле $ \ \hat {\Psi}_{l} $.

Отже, перенормоване поле - це таке поле, пропагатор якого має таку ж поведінку в околі полюса, як і вільне поле, а перенормована маса визначається положенням полюса.

Представлення Челлена-Лемана. Наочна демонстрація фізичного змісту полюсівEdit

Множник $ \ N $, що введений у $ \ (8) $, визначає перенормування поля для випадків теорії із взаємодією. Оцінимо його для скалярного поля.

Для цього розглянемо вакуумне середнє

$ \ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \sum_{n}\langle | \hat {\Psi}(x) | n\rangle \langle n|\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle $.

В силу трансляційної інваріантності та того факту, що стани $ \ | n\rangle $ є власними для оператору 4-імпульсу $ \ \hat {P}_{\mu} $, можна записати

$ \ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \sum_{n}e^{-ip_{n}(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} $.

Цей вираз можна переписати (із введенням проміжного формального інтегрування $ \ \int d^{4}p \delta (p^{2} - p_{n}^{2}) $) як

$ \ \sum_{n}e^{ip_{n}(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \sum_{n}\int d^{4}p\delta (p - p_{n})e^{-ip(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p e^{-ip(x - y)}\rho (p^{2}) \qquad (11) $,

де введена скалярна функція спектральної густини $ \ \sum_{n}\delta (p - p_{n})|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \frac{1}{(2 \pi )^{3}} \theta (p_{0})\rho (p^{2}) $ (функція Хевісайда з'явилась в силу того, що стани фоківського базису мають фізичну енергію). Ввівши ще одне формальне інтегрування, $ \ (11) $ можна переписати як

$ \ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}pd(\mu^{2})e^{-ip(x - y)}\rho (\mu^{2})\delta (p^{2} - \mu^{2})\theta (p_{0}) = \int d(\mu^{2})\rho( \mu^{2})D_{m}(x - y, \mu^{2}) $,

де $ \ D_{m}(x - y) = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \delta (p^{2} - \mu^{2})e^{-ip(x - y)}\theta (p_{0}) $ - добре знайомий вираз із розділу про теорему Паулі, переписаний у явно лоренц-інваріантному вигляді.

Зовсім аналогічно можна показати, що $ \ \langle | \hat {\Psi}^{\dagger}(y) \hat {\Psi}(x) | \rangle = \int d(\mu^{2})\bar {\rho}( \mu^{2})D_{m}(x - y, \mu^{2}) $.

Як і для вільної теорії, повинен виконуватися принцип причинності, звідки для простороподібних інтервалів

$ \ \langle | [\hat {\Psi}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}(y)]|\rangle = 0 \Rightarrow \bar {\rho}( \mu^{2}) = \rho( \mu^{2}) $. Дійсно, функція $ \ D_{m}(x - y, \mu^{2}) $ (як відомо із тієї ж статті про теорему Паулі) є парною функцією при простороподібних інтервалах, тому комутатор визначається різницею $ \ \rho (\mu^{2}) - \bar {\rho}(\mu^{2}) $.

Знайдемо тепер вираз для "узагальненого" пропагатора у імпульсному представленні. Для цього введемо функцію

$ \ D'(p) = \int d^{4}xe^{ip(x - y)}\langle | \hat {T}\left( \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)\right)| \rangle $.

В силу вже відомих викладок цей вираз рівний

$ \ -iD'(p) = \int d(\mu^{2})\int d^{4}x \rho (\mu^{2})e^{ip(x - y)}D(x - y, \mu^{2}) $,

де $ \ D(x - y, \mu^{2}) = -\frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int d^{4}p\frac{e^{-ip(x - y)} }{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} $ - пропагатор скалярного поля. Врахувавши тепер, що оператор по координаті є прямим перетворенням Фур'є, а інтеграл у пропагаторі - оберненим, маємо

$ \ D'(p) = \int \frac{\rho (\mu^{2})d(\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} \qquad (12) $.

Врахувавши тепер, що для ще неперенормованого скалярного поля справедлива рівність

$ \ [\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf x , t), \frac{\partial}{\partial t}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y) \qquad (13) $,

а також те, що для функції $ \ D_{m}(x) $ справедлива рівність $ \ \left(\partial_{0}D_{m}(x - y)\right)_{x_{0} = y_{0}} = i\delta (\mathbf x - \mathbf y) $, маємо

$ \ [\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf x , t), \frac{\partial}{\partial t}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ) = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ) \int d (\mu^{2})\rho (\mu^{2}) \Rightarrow \int \limits_{0}^{\infty} d (\mu^{2})\rho (\mu^{2}) = 1 \qquad (14) $.

Тепер залишається зробити останній крок. В силу того, що пропагатори перенормованих полів повинні мати полюс при $ \ \mu = m $ з залишком $ \ Z = |N|^{2} $, функцію спектральної густини можна переписати як $ \ \rho (\mu^{2}) = \delta (\mu^{2} - m^{2})Z + \sigma (\mu^{2}) $.

Звідси з $ \ (14) $ маємо

$ \ 1 = Z + \int \limits_{m^{2}}^{\infty} \sigma (\mu^{2})d(\mu^{2}) \Rightarrow 0 \leqslant Z \leqslant 1 $.

Випадок $ \ Z = 0 $ відповідає ситуації, коли частинка є складовою, а не елементарною, тобто що її поле не міститься у лагранжіані.

Є ідея, що цей результат також можна отримати для полів довільного спіну (хоч така можливість "затуманена" тим, що для полів різних спінів канонічні імпульси виглядають по-різному, і тому складніше буде отримати щось на кшталт $ \ (13) $). Можна також зробити більш ясними слова попереднього підрозділу про те, що треба модифікувати повний пропагатор. Дійсно, виділивши у $ \ (12) $ одночастинковий вклад, можна отримати (врахувавши вищенаведений вигляд функції спектральної густини), що

$ \ D'(p) = \int \frac{\rho (\mu^{2})d(\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} = Z\frac{1}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} + \int \limits_{m^{2}}^{\infty} \frac{d(\mu^{2} )\sigma (\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} - i\varepsilon} $.

Ще один наочний спосіб демонстрації необхідності модифікації пропагатора (більш стандартний і пов'язаний із теорією збурень) виникне при переписуванні вакуумного середнього двох полів у представленні Гейзенберга через представлення взаємодії. Отже, повний пропагатор у теорії із взаємодією вже не являє собою "просту" пряму лінію на мові фейнманівських діаграм. Тепер усередині будуть різні петльові замкнуті діаграми. Про те, як їх враховувати, див. наступний розділ.