Необхідність перенормовування зарядів обумовлена необхідністю перенормування полів. Для того, щоб дійти планомірного висновку про перенормування, треба розглянути (по більшій мірі - згадати, оскільки частинні випадки вже були розглянуті для спінів 0, 1/2; зв'язок зарядів частинок та античастинок розглянуто тут) властивості оператора заряду.
В усіх теоріях комплексних не-майоранівських полів існує глобальна фазова інваріантність (що просто доводиться виглядом відповідних польових рівнянь) . Відповідно до теореми Нетер, інваріантність лагранжіану (а він за необхідністю інваріантний, оскільки теорія інваріантна) відносно таких перетворень дає нетерівський струм
.
Звідси слідує інваріантність скалярної величини - заряду, якщо існує відповідний їй інтеграл:
В силу того, що відповідний оператор заряду є скаляром, його дія на одночастинковий стан дає його ж самого, домноженого на деяку константу:
.
Розглянемо тепер випадок, коли фазова інваріантність відповідає наявності електричного заряду. Пов'яжемо цю константу із величиною , що стоїть при електромагнітному полі при включенні взаємодії із ним (це робить калібрувальну інваріантність локальною; як приклад, див. тут). Спершу визначимо вираз для комутатора
Беручи деяку функцію від полів та їх похідних , дія оператору заряду на поля-аргументи якої визначена, можна отримати
.
Взявши тепер матричний елемент від з урахуванням , можна отримати
.
Звідси слідує, що для ненульових елементів виконується рівність (фізичний заряд, який вимірюється, рівний заряду у лагранжіані) для будь-яких одночастинкових станів (у тому числі і тих, поля, що відповідають яким, не входять явно у лагранжіан). Це майже повністю фіксує заряд у теорії із взаємодією (тобто, різні діаграми по випромінюванню та поглинанню фотонів зарядженими частинками не вносять вклад у заряд).
Проте сам заряд , що входить у лагранжіан, визначений з точністю до масштабного фактору. А оскільки фізичні заряда визначають відгук поля частинок на перенормоване поле , а перенормоване поле пов'язане із неперенормованим через (індекс - історична традиція), то умова того, що перенормоване поле входить у лагранжіан через подовження похідної як , дає визначення фізичного заряду через "голий":
.
Коефіцієнт однаковий для усіх частинок, що для сильновзаємодіючого протона, що для позитрона. Це означає, що якимось чином усі поправки до заряду, що виникають через перенормування полів частинок (відповідних мас і пропагаторів), повинні "скорочуватись" пи вкладі у заряд (еквівалентно - скорочуються поправки до пропагаторів та електромагнітних вершин взаємодії заряджених частинок). Кількісно це можна показати через тотожності Уорда-Такахаші, що розглянуті нижче.
Тотожності Уорда[]
Розглянемо вираз
,
визначивши через нього електромагнітну діраківську вершину .
Тут - діраківське поле, вираз ,
,
визначає точний діраківський пропагатор (тобто суму всіх діаграм із однією in-лінією і однією out-лінією ферміона спіну ), а сам вираз відповідає сумі діаграм, що відповідають точному діраківському пропагатору; при цьому також є зовнішня фотонна лінія, але коефіцієнтна функція для неї опущена.
Якщо взаємодія відсутня, то функції набувають вигляду
.
Визначимо співвідношення між у теорії із взаємодією. Для цього використаємо тотожність
,
де дельта-функції виникають внаслідок наявності функцій Хевісайда у часовому впорядкуванні. Враховуючи закон збереження струму, комутаційні співвідношення із минулого розділу, (для спряженого спінора комутаційне співвідношення буде, вочевидь, відрізнятися знаком), можна отримати
.
Взявши Фур'є-перетворення від даного співвідношення і використавши означення функцій із , можна отримати
,
або ж
.
Вираз називається тотожністю Уорда-Такахаші. Нехай тепер . Тоді з можна отримати тотожність Уорда:
.
Як відомо із попереднього розділу, , тому з тотожності Уорда маємо
.
Якщо діраківське поле - перенормоване, то на масовій оболонці (спінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака, а похідна від поправки до пропагатора на масовій оболонці рівна нулю)
.
Тобто, перенормування діраківського поля забезпечує скорочення поправок до вершинної функції на масовій оболонці ферміонів, що взаємодіють з ЕМ полем при нульовій передачі імпульсу, що відповідає процедурі вимірювання електричного заряду.
Калібрувальна інваріантність на мові фейнманівських діаграм[]
Розглянемо теорії типу спінорної електродинаміки. Для них матричним елементом із випромінюванням та поглинанням фотонів, що мають 4-імпульси є вираз
.
Тут пропагаторні функції та поляризаційні вектори для фотонів опущені.
Виконується рівність
для будь-якого індексу.
Дійсно, після інтегрування лівої частини по частинам (амплітуда дається інтегралом ) можна отримати, що
.
Похідна у інтегралі рівна нулю. Дійсно, для випадку двох струмів
,
де враховано, що заряд, що переноситься струмом , рівний нулю, оскільки наша теорія - типу спінорної електродинаміки.
Отже, рівність доведена. Тепер можна перейти до наслідків із неї. Один із наслідків - інваріантність (вже доповненої поляризаційними векторами і пропагаторами фотонів) відносно заміни поляризаційних векторів на і пропагаторів на . Тут - довільні величини. Для доведення випишемо явно матричний член із пропагаторами і поляризаційними векторами:
.
Тому інваріантність відносно вищенаведених перетворень є очевидною. Варто зазначити, що ця інваріантність виконується не для окремих діаграм, а лише для сум діаграм для даного порядку. Окрім того, варто відмітити цікавий факт: справедливість отриманих у даному підрозділі результатів не залежить від того, якою є маса у фотона, оскільки струм зберігається у будь-якому разі: при нульовій масі він зберігається внаслідок локальної калібрувальної симетрії, а при ненульовій - внаслідок глобальної калібрувальної симетрії.
Застосування цього результату є дуже широким. В частинному випадку воно дозволяє знайти вигляд для точного фотонного пропагатора. Він має вигляд
,
де пропорційний із двома струмами, а - вільний пропагатор, що в -незалежному калібруванні має вигляд
.
Оскільки виконується рівність , то
.
З іншого боку, точний фотонний пропагатор (по аналогії із точними пропагаторами для скалярних і спінорних частинок) можна подати як
,
або ж
.
Звідси для задовільнення повинно бути . Звідси і з умови лоренц-коваріантності повинно бути
.
Звідси повний фотонний пропагатор має вигляд
.
Оскільки далі містить вклади лише від однофотонно незвідних діаграм, можна очікувати, що вона не має полюса при . Відсутність полюса при доданку із в каже про те, що у також немає такого полюса. Звідси слідує, що полюс у точному пропагаторі залишається в , що означає, що фотон не набуває маси внаслідок радіаційних поправок.
Нарешті, визначимо константу перенормування ЕМ поля . Для перенормованого поля радіаційні поправки не змінюють калібрувально-інваріантну частину лишку в , тому . Лагранжіан перенормованої електродинаміки має вигляд
.
Переписавши його як
,
маємо загальний вигляд для .
Умова дає .
Власна енергія фотона[]
Користуючись виразом вище, можна знайти константу перенормування фотонного поля та, відповідно, константу перенормування заряду, із використанням однопетльових діаграм. Без тотожності Уорда довелося би розраховувати константи перенормування вершинної функції і константу перенормування ферміонів (що доведеться робити у КХД), оскільки
,
де - відома із попередньої статті константа перенормування ферміонних полів, - константа перенормування вершинної функції. Проте, як було пояснено у підрозділі вище, в силу тотожності Уорда , і .
Отже, власна енергія фотона має вигляд
.
Як і власну енергію електрона, розрахуємо власну енергію фотона методом розмірної регуляризації. Представивши знаменник як
,
зробивши зсув , відкинувши лінійні по доданки у чисельнику, перейшовши до розмірної регуляризації і використавши тотожність ,
можна отримати
.
Для обчислення інтегралів по можна використати вирази
тут ().
Із ними
.
Для виділення розбіжної частини треба замінити на : тоді
.
Отже, тепер
,
і
.
У подальшому буде показано, що усю залежність від можна "заховати" у , де . Для цього треба знайти бета-функцію (вираз)
,
.
Аналогічно, ввівши константу , маємо
.
Підставивши це у ренормгрупове рівняння на "біжучу" константу зв'язку
.
Це означає, що при рості енергії константа зв'язку збільшується.
Нехай здійснюється деяке інфінітезимальне перетворення, що задається функцією : . Така заміна не змінює континуальний інтеграл, оскільки він являється трансляційно-інваріантним. Відповідно,
.
Спростимо , враховуючи формулу :
,
.
Відповідно, набуде вигляду
.
Розглянемо конкретні застосування ідеї виразу на прикладі спінорної квантової електродинаміки. Вона , де
,
а забезпечує можливість застосування континуального інтегрування для КЕД і не порушує калібрувальну інваріантність усієї S-матриці.
Для цього використаємо функціонал
і розглянемо його інваріантність відносно перетворень
.
Перетворення міри континуального інтегралу у першому порядку по дорівнює одиниці,
,
і тоді, за ідеєю , маємо
.
Величина дорівнює (використаний той факт, що під знаком інтегралу похідні можна "перекидати")
Враховуючи, що функціонал пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як . Далі, в силу лінійності по полям виразу його можна переписати як
.
Генеруючий функціонал пов'язаний із генеруючим функціоналом для сильнозв'язних діаграм як
,
окрім того, маємо наступні вирази для струмів і полів через варіаційні похідні по сильнозв'язному та зв'язному функціоналах відповідно (нагадаю, це слідує із їх введення):
,
.
Отже, тотожність Уорда перепишеться як
.
Цей вираз є зручним у отриманні окремих тотожностей Уорда, що буде продемонстровано нижче.
Тотожності Уорда-Такахаші і поляризація вакууму[]
Проваріюємо по . Отримаємо
,
або ж, у компактному вигляді,
.
Отже, отримана тотожність Уорда-Такахаші.
Далі, проваріюємо по , поклавши всі поля рівними нулю: отримаємо
.
У імпульсному представленні отримаємо
(тут - повний пропагатор). Ця рівність доводить, що продольні вклади від радіаційних поправок для повного пропагатора дорівнюють нулю. Дійсно, розділимо на поперечну та продольну частини:
.
Підставимо це у : отримаємо , звідки
.
Отже, непертурбативним чином доведено, що пропагатор дійсно має поперечну структуру для усієї теорії, оскільки вклад від , як показано у відповідному розділі, не впливає на інваріантність усієї теорії.