NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Перенормування заряду[]

Необхідність перенормовування зарядів обумовлена необхідністю перенормування полів. Для того, щоб дійти планомірного висновку про перенормування, треба розглянути (по більшій мірі - згадати, оскільки частинні випадки вже були розглянуті для спінів 0, 1/2; зв'язок зарядів частинок та античастинок розглянуто тут) властивості оператора заряду.

В усіх теоріях комплексних не-майоранівських полів існує глобальна фазова інваріантність (що просто доводиться виглядом відповідних польових рівнянь) . Відповідно до теореми Нетер, інваріантність лагранжіану (а він за необхідністю інваріантний, оскільки теорія інваріантна) відносно таких перетворень дає нетерівський струм

.

Звідси слідує інваріантність скалярної величини - заряду, якщо існує відповідний їй інтеграл:

,

де використаний гамільтонів формалізм для еволюції функції через лапки Пуассона.

В силу того, що відповідний оператор заряду є скаляром, його дія на одночастинковий стан дає його ж самого, домноженого на деяку константу:

.

Розглянемо тепер випадок, коли фазова інваріантність відповідає наявності електричного заряду. Пов'яжемо цю константу із величиною , що стоїть при електромагнітному полі при включенні взаємодії із ним (це робить калібрувальну інваріантність локальною; як приклад, див. тут). Спершу визначимо вираз для комутатора

,

де враховані "традиційні" перестановочні співвідношення для канонічних координат та імпульсів .

Цю ж рівність можна проінтегрувати по :

.

Беручи деяку функцію від полів та їх похідних , дія оператору заряду на поля-аргументи якої визначена, можна отримати

.

Взявши тепер матричний елемент від з урахуванням , можна отримати

.

Звідси слідує, що для ненульових елементів виконується рівність (фізичний заряд, який вимірюється, рівний заряду у лагранжіані) для будь-яких одночастинкових станів (у тому числі і тих, поля, що відповідають яким, не входять явно у лагранжіан). Це майже повністю фіксує заряд у теорії із взаємодією (тобто, різні діаграми по випромінюванню та поглинанню фотонів зарядженими частинками не вносять вклад у заряд).

Проте сам заряд , що входить у лагранжіан, визначений з точністю до масштабного фактору. А оскільки фізичні заряда визначають відгук поля частинок на перенормоване поле , а перенормоване поле пов'язане із неперенормованим через (індекс - історична традиція), то умова того, що перенормоване поле входить у лагранжіан через подовження похідної як , дає визначення фізичного заряду через "голий":

.

Коефіцієнт однаковий для усіх частинок, що для сильновзаємодіючого протона, що для позитрона. Це означає, що якимось чином усі поправки до заряду, що виникають через перенормування полів частинок (відповідних мас і пропагаторів), повинні "скорочуватись" пи вкладі у заряд (еквівалентно - скорочуються поправки до пропагаторів та електромагнітних вершин взаємодії заряджених частинок). Кількісно це можна показати через тотожності Уорда-Такахаші, що розглянуті нижче.

Тотожності Уорда[]

Розглянемо вираз

,

визначивши через нього електромагнітну діраківську вершину .

Тут - діраківське поле, вираз ,

,

визначає точний діраківський пропагатор (тобто суму всіх діаграм із однією in-лінією і однією out-лінією ферміона спіну ), а сам вираз відповідає сумі діаграм, що відповідають точному діраківському пропагатору; при цьому також є зовнішня фотонна лінія, але коефіцієнтна функція для неї опущена.

Якщо взаємодія відсутня, то функції набувають вигляду

.

Визначимо співвідношення між у теорії із взаємодією. Для цього використаємо тотожність

,

де дельта-функції виникають внаслідок наявності функцій Хевісайда у часовому впорядкуванні. Враховуючи закон збереження струму, комутаційні співвідношення із минулого розділу, (для спряженого спінора комутаційне співвідношення буде, вочевидь, відрізнятися знаком), можна отримати

.

Взявши Фур'є-перетворення від даного співвідношення і використавши означення функцій із , можна отримати

,

або ж

.

Вираз називається тотожністю Уорда-Такахаші. Нехай тепер . Тоді з можна отримати тотожність Уорда:

.

Як відомо із попереднього розділу, , тому з тотожності Уорда маємо

.

Якщо діраківське поле - перенормоване, то на масовій оболонці (спінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака, а похідна від поправки до пропагатора на масовій оболонці рівна нулю)

.

Тобто, перенормування діраківського поля забезпечує скорочення поправок до вершинної функції на масовій оболонці ферміонів, що взаємодіють з ЕМ полем при нульовій передачі імпульсу, що відповідає процедурі вимірювання електричного заряду.

Калібрувальна інваріантність на мові фейнманівських діаграм[]

Розглянемо теорії типу спінорної електродинаміки. Для них матричним елементом із випромінюванням та поглинанням фотонів, що мають 4-імпульси є вираз

.

Тут пропагаторні функції та поляризаційні вектори для фотонів опущені.

Виконується рівність

для будь-якого індексу.

Дійсно, після інтегрування лівої частини по частинам (амплітуда дається інтегралом ) можна отримати, що

.

Похідна у інтегралі рівна нулю. Дійсно, для випадку двох струмів

,

де враховано, що заряд, що переноситься струмом , рівний нулю, оскільки наша теорія - типу спінорної електродинаміки.

Отже, рівність доведена. Тепер можна перейти до наслідків із неї. Один із наслідків - інваріантність (вже доповненої поляризаційними векторами і пропагаторами фотонів) відносно заміни поляризаційних векторів на і пропагаторів на . Тут - довільні величини. Для доведення випишемо явно матричний член із пропагаторами і поляризаційними векторами:

.

Тому інваріантність відносно вищенаведених перетворень є очевидною. Варто зазначити, що ця інваріантність виконується не для окремих діаграм, а лише для сум діаграм для даного порядку. Окрім того, варто відмітити цікавий факт: справедливість отриманих у даному підрозділі результатів не залежить від того, якою є маса у фотона, оскільки струм зберігається у будь-якому разі: при нульовій масі він зберігається внаслідок локальної калібрувальної симетрії, а при ненульовій - внаслідок глобальної калібрувальної симетрії.

Застосування цього результату є дуже широким. В частинному випадку воно дозволяє знайти вигляд для точного фотонного пропагатора. Він має вигляд

,

де пропорційний із двома струмами, а - вільний пропагатор, що в -незалежному калібруванні має вигляд

.

Оскільки виконується рівність , то

.

З іншого боку, точний фотонний пропагатор (по аналогії із точними пропагаторами для скалярних і спінорних частинок) можна подати як

,

або ж

.

Звідси для задовільнення повинно бути . Звідси і з умови лоренц-коваріантності повинно бути

.

Звідси повний фотонний пропагатор має вигляд

.

Оскільки далі містить вклади лише від однофотонно незвідних діаграм, можна очікувати, що вона не має полюса при . Відсутність полюса при доданку із в каже про те, що у також немає такого полюса. Звідси слідує, що полюс у точному пропагаторі залишається в , що означає, що фотон не набуває маси внаслідок радіаційних поправок.

Нарешті, визначимо константу перенормування ЕМ поля . Для перенормованого поля радіаційні поправки не змінюють калібрувально-інваріантну частину лишку в , тому . Лагранжіан перенормованої електродинаміки має вигляд

.

Переписавши його як

,

маємо загальний вигляд для .

Умова дає .

Власна енергія фотона[]

Користуючись виразом вище, можна знайти константу перенормування фотонного поля та, відповідно, константу перенормування заряду, із використанням однопетльових діаграм. Без тотожності Уорда довелося би розраховувати константи перенормування вершинної функції і константу перенормування ферміонів (що доведеться робити у КХД), оскільки

,

де - відома із попередньої статті константа перенормування ферміонних полів, - константа перенормування вершинної функції. Проте, як було пояснено у підрозділі вище, в силу тотожності Уорда , і .

Отже, власна енергія фотона має вигляд

.

Як і власну енергію електрона, розрахуємо власну енергію фотона методом розмірної регуляризації. Представивши знаменник як

,

зробивши зсув , відкинувши лінійні по доданки у чисельнику, перейшовши до розмірної регуляризації і використавши тотожність ,

можна отримати

.

Для обчислення інтегралів по можна використати вирази

тут ().

Із ними

.

Для виділення розбіжної частини треба замінити на : тоді

.

Отже, тепер

,

і

.

У подальшому буде показано, що усю залежність від можна "заховати" у , де . Для цього треба знайти бета-функцію (вираз )

,

.

Аналогічно, ввівши константу , маємо

.

Підставивши це у ренормгрупове рівняння на "біжучу" константу зв'язку

.

Це означає, що при рості енергії константа зв'язку збільшується.

Тотожності Уорда та континуальний інтеграл[]

Розглянемо континуальний інтеграл у деякій теорії:

.

Нехай здійснюється деяке інфінітезимальне перетворення, що задається функцією : . Така заміна не змінює континуальний інтеграл, оскільки він являється трансляційно-інваріантним. Відповідно,

.

Спростимо , враховуючи формулу :

,

.

Відповідно, набуде вигляду

.

Розглянемо конкретні застосування ідеї виразу на прикладі спінорної квантової електродинаміки. Вона , де

,

а забезпечує можливість застосування континуального інтегрування для КЕД і не порушує калібрувальну інваріантність усієї S-матриці.

Для цього використаємо функціонал

і розглянемо його інваріантність відносно перетворень

.

Перетворення міри континуального інтегралу у першому порядку по дорівнює одиниці,

,

і тоді, за ідеєю , маємо

.

Величина дорівнює (використаний той факт, що під знаком інтегралу похідні можна "перекидати")

,

і тому

,

або, переписавши через варіаційні похідні,

.

Звідси маємо тотожності Уорда для КЕД:

.

також можна переписати у термінах генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграм.

Враховуючи, що функціонал пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як . Далі, в силу лінійності по полям виразу його можна переписати як

.

Генеруючий функціонал пов'язаний із генеруючим функціоналом для сильнозв'язних діаграм як

,

окрім того, маємо наступні вирази для струмів і полів через варіаційні похідні по сильнозв'язному та зв'язному функціоналах відповідно (нагадаю, це слідує із їх введення):

,

.

Отже, тотожність Уорда перепишеться як

.

Цей вираз є зручним у отриманні окремих тотожностей Уорда, що буде продемонстровано нижче.

Тотожності Уорда-Такахаші і поляризація вакууму[]

Проваріюємо по . Отримаємо

,

або ж, у компактному вигляді,

.

Отже, отримана тотожність Уорда-Такахаші.

Далі, проваріюємо по , поклавши всі поля рівними нулю: отримаємо

.

У імпульсному представленні отримаємо

(тут - повний пропагатор). Ця рівність доводить, що продольні вклади від радіаційних поправок для повного пропагатора дорівнюють нулю. Дійсно, розділимо на поперечну та продольну частини:

.

Підставимо це у : отримаємо , звідки

.

Отже, непертурбативним чином доведено, що пропагатор дійсно має поперечну структуру для усієї теорії, оскільки вклад від , як показано у відповідному розділі, не впливає на інваріантність усієї теорії.

Advertisement