FANDOM


Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Спеціальна теорія відносності може бути виведена як результат постулатів, які є досить загальними та враховують локальні властивості нашого простору-часу. Основними формулами СТВ є перетворення часу та компонент радіус-вектора при переході від однієї ІСВ до іншої. Стартуючи з них, можна отримати всю кінематику СТВ. У цьому розділі ці перетворення будуть виведені.

Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ \ K, K' із відносною швидкістю  u = const для одновимірного випадку задаються як

\ x' = f(x, u, t), \quad t' = g(x, u, t) \qquad (.0).

Враховуючи те, що простір-час однорідний [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції \ (0) будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:

\ x' = Ax + Bt + const_{1}, \quad t' = Cx + Dt + const_{2} \qquad (.0.1).

При нульовому значенні \ t, t' виконується наступна умова:

\ t = t' = 0 \Rightarrow x = x' = 0,

тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ співпадають. Це означає рівність нулю констант у \ (.0.1), причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):

\ x' = Ax + Bt, \quad t' = Cx + Dt \qquad (.1).

Тоді система \ K буде рухатися відносно точки \ x' = 0 зі зміною координати у \ x = ut, а точка \ x' буде рухатися відносно системи \ x = 0 зі зміною координати у \ x' = -ut'. Якщо підставити дані значення у \ (.1), можна знайти величини \ A, B, C, D:


\begin{cases}
    0 =  Aut + Bt \Rightarrow B = -Au \qquad (.2) \\
    t' = Cx + Dt \\
\end{cases}
,


\begin{cases}
    -ut' = Bt \Rightarrow B = -\frac{ut'}{t} = -uD \qquad (.3) \\
    t' = Dt \Rightarrow \frac{t'}{t} = D \\
\end{cases}
.

З \ (.2), (.3) можна дійти висновку, що \ A = D. Можна ввести функції відносних швидкостей:

\ \gamma (u) = A, \quad \sigma (u) = - \frac{C}{D}.

Тоді \ (.1) прийме вигляд:


\begin{cases}
    x' = \gamma (u)[x - ut] \\
    t' = \gamma (u)[t - \sigma (u)x] \\
\end{cases}
\qquad (.4).

Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.

Нехай інерціальні системи відліку рівноправні [2]. Це означає, що перехід від \ K до \ K' у \ (4) буде таким же, як і від \ K' до \ K, і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості \ u \to -u.

Спершу можна розглянути три ІСВ \ K_{1}, K_{2}, K_{3}, причому \ u_{K_2, K_1} = u_{1}, u_{K_3, K_2} = u_{2}. Послідовні перетворення від першої до другої та від другої до третьої ІСВ еквівалентні перетворенню від першої до третьої ІСВ, при цьому їх відносна швидкість буде дорівнювати деякій величині \ u_{3}. Тоді вираз \ (.4) для перетворень між ІСВ прийме вигляд:


\begin{cases}
    x_{2} = \gamma_{1}[x_{1} - u_{1}t_{1}] \\
    t_{2} = \gamma_{1}[t_{1} - \sigma_{1}x_{1}] \\
 \end{cases}
,


\begin{cases}
    x_{3} = \gamma_{2}[x_{2} - u_{2}t_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1}) - u_{2}\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1}x_{1})\right] = \gamma_{1}\gamma_{2}\left[x_{1}(1 + u_{2} \sigma_{1}) - t_{1}(u_{1} + u_{2})\right] = \gamma_{3}[x_{1} - u_{3}t_{1}] \\
    t_{3} = \gamma_{2}[t_{2} - \sigma_{2}x_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1} x_{1}) - \sigma_{2}\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1})\right] = \gamma_{2} \gamma_{1}\left[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1}) + x_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})\right] =  \gamma_{3} [t_{1} - \sigma_{3}x_{1}]\\
 \end{cases}
\qquad (.5).

Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні \ (5) \ \gamma_{3} до \ \gamma_{2} \gamma_{1}[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1})] та у першому рівнянні \ \gamma_{3} до \ \gamma_{1}\gamma_{2}[(1 + u_{2} \sigma_{1})], то можна отримати, що

\ 1 + \sigma_{2} u_{1} = 1 + u_{2} \sigma_{1} \Rightarrow \frac{\sigma_{1}}{u_{1}} = \frac{\sigma_{2}}{u_{2}} = \alpha = const.

Відповідно до принципа рівноправності ІСВ, при оберненому переході перетворення \ (4) не зміняться, за винятком зміни знаку відносної швидкості. Тоді можна записати, що

\ x = \gamma (-u) [x' + ut'] = \gamma(-u)[\gamma (u)(x - ut) + \gamma (u)(t - \sigma (u)x)u] = \gamma (-u) \gamma (u)x(1 - u \sigma(u)) =

\ = \gamma (-u)\gamma (u)x(1 - \alpha u^{2}) \Rightarrow \gamma (-u)\gamma (u) = \frac{1}{1 - \alpha u^{2}}  \qquad (.6).

Накінець, якщо ввести принцип ізотропії простору в ІСВ [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат \ ( x \to -x \Rightarrow x' \to -x', u \to -u ) перетворення \ (.4) не змінять вигляду. Тоді

\ -x' = \gamma (-u)(-x + ut) \Rightarrow x' = \gamma (-u)(x - ut),

з чого видно, що цей вираз перейде у \ (.4) тільки за умови, що \ \gamma (u) є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність \ \gamma (-u) = \gamma (u). Тому, застосовуючи \ (.6), можна буде отримати:

\ \gamma (u) = \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha u^{2}}}.

Очевидно, що \ \alpha буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній (дешо детальніше про це - у розділі "Енергія та імпульс у СТВ"), а отже,

\ \gamma (u) = \sqrt{ \frac{1}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} },

Тоді \ (.4) приймуть вигляд

\ x' =  \frac{x - ut}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.7),

тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.