FANDOM


Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Спеціальна теорія відносності може бути виведена як результат постулатів, які є досить загальними та враховують локальні властивості нашого простору-часу. Основними формулами СТВ є перетворення часу та компонент радіус-вектора при переході від однієї ІСВ до іншої. Стартуючи з них, можна отримати всю кінематику СТВ. У цьому розділі ці перетворення будуть виведені.

Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ $ \ K, K' $ із відносною швидкістю $ u = const $ для одновимірного випадку задаються як

$ \ x' = f(x, u, t), \quad t' = g(x, u, t) \qquad (.0) $.

Враховуючи те, що простір-час однорідний [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції $ \ (0) $ будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:

$ \ x' = Ax + Bt + const_{1}, \quad t' = Cx + Dt + const_{2} \qquad (.0.1) $.

При нульовому значенні $ \ t, t' $ виконується наступна умова:

$ \ t = t' = 0 \Rightarrow x = x' = 0 $,

тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ співпадають. Це означає рівність нулю констант у $ \ (.0.1) $, причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):

$ \ x' = Ax + Bt, \quad t' = Cx + Dt \qquad (.1) $.

Тоді система $ \ K $ буде рухатися відносно точки $ \ x' = 0 $ зі зміною координати у $ \ x = ut $, а точка $ \ x' $ буде рухатися відносно системи $ \ x = 0 $ зі зміною координати у $ \ x' = -ut' $. Якщо підставити дані значення у $ \ (.1) $, можна знайти величини $ \ A, B, C, D $:

$ \begin{cases} 0 = Aut + Bt \Rightarrow B = -Au \qquad (.2) \\ t' = Cx + Dt \\ \end{cases} $,

$ \begin{cases} -ut' = Bt \Rightarrow B = -\frac{ut'}{t} = -uD \qquad (.3) \\ t' = Dt \Rightarrow \frac{t'}{t} = D \\ \end{cases} $.

З $ \ (.2), (.3) $ можна дійти висновку, що $ \ A = D $. Можна ввести функції відносних швидкостей:

$ \ \gamma (u) = A, \quad \sigma (u) = - \frac{C}{D} $.

Тоді $ \ (.1) $ прийме вигляд:

$ \begin{cases} x' = \gamma (u)[x - ut] \\ t' = \gamma (u)[t - \sigma (u)x] \\ \end{cases} \qquad (.4) $.

Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.

Нехай інерціальні системи відліку рівноправні [2]. Це означає, що перехід від $ \ K $ до $ \ K' $ у $ \ (4) $ буде таким же, як і від $ \ K' $ до $ \ K $, і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості $ \ u \to -u $.

Спершу можна розглянути три ІСВ $ \ K_{1}, K_{2}, K_{3} $, причому $ \ u_{K_2, K_1} = u_{1}, u_{K_3, K_2} = u_{2} $. Послідовні перетворення від першої до другої та від другої до третьої ІСВ еквівалентні перетворенню від першої до третьої ІСВ, при цьому їх відносна швидкість буде дорівнювати деякій величині $ \ u_{3} $. Тоді вираз $ \ (.4) $ для перетворень між ІСВ прийме вигляд:

$ \begin{cases} x_{2} = \gamma_{1}[x_{1} - u_{1}t_{1}] \\ t_{2} = \gamma_{1}[t_{1} - \sigma_{1}x_{1}] \\ \end{cases} $,

$ \begin{cases} x_{3} = \gamma_{2}[x_{2} - u_{2}t_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1}) - u_{2}\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1}x_{1})\right] = \gamma_{1}\gamma_{2}\left[x_{1}(1 + u_{2} \sigma_{1}) - t_{1}(u_{1} + u_{2})\right] = \gamma_{3}[x_{1} - u_{3}t_{1}] \\ t_{3} = \gamma_{2}[t_{2} - \sigma_{2}x_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1} x_{1}) - \sigma_{2}\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1})\right] = \gamma_{2} \gamma_{1}\left[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1}) + x_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})\right] = \gamma_{3} [t_{1} - \sigma_{3}x_{1}]\\ \end{cases} \qquad (.5) $.

Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні $ \ (5) $ $ \ \gamma_{3} $ до $ \ \gamma_{2} \gamma_{1}[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1})] $ та у першому рівнянні $ \ \gamma_{3} $ до $ \ \gamma_{1}\gamma_{2}[(1 + u_{2} \sigma_{1})] $, то можна отримати, що

$ \ 1 + \sigma_{2} u_{1} = 1 + u_{2} \sigma_{1} \Rightarrow \frac{\sigma_{1}}{u_{1}} = \frac{\sigma_{2}}{u_{2}} = \alpha = const $.

Відповідно до принципа рівноправності ІСВ, при оберненому переході перетворення $ \ (4) $ не зміняться, за винятком зміни знаку відносної швидкості. Тоді можна записати, що

$ \ x = \gamma (-u) [x' + ut'] = \gamma(-u)[\gamma (u)(x - ut) + \gamma (u)(t - \sigma (u)x)u] = \gamma (-u) \gamma (u)x(1 - u \sigma(u)) = $

$ \ = \gamma (-u)\gamma (u)x(1 - \alpha u^{2}) \Rightarrow \gamma (-u)\gamma (u) = \frac{1}{1 - \alpha u^{2}} \qquad (.6) $.

Накінець, якщо ввести принцип ізотропії простору в ІСВ [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат $ \ ( x \to -x \Rightarrow x' \to -x', u \to -u ) $ перетворення $ \ (.4) $ не змінять вигляду. Тоді

$ \ -x' = \gamma (-u)(-x + ut) \Rightarrow x' = \gamma (-u)(x - ut) $,

з чого видно, що цей вираз перейде у $ \ (.4) $ тільки за умови, що $ \ \gamma (u) $ є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність $ \ \gamma (-u) = \gamma (u) $. Тому, застосовуючи $ \ (.6) $, можна буде отримати:

$ \ \gamma (u) = \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha u^{2}}} $.

Очевидно, що $ \ \alpha $ буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній (дешо детальніше про це - у розділі "Енергія та імпульс у СТВ"), а отже,

$ \ \gamma (u) = \sqrt{ \frac{1}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} } $,

Тоді $ \ (.4) $ приймуть вигляд

$ \ x' = \frac{x - ut}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.7) $,

тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.