FANDOM


Повернутися до розділу "Нейтрино".

Майоранівська маса. Відмінність її від діраківськоїEdit

Отже, виведене рівняння Майорани і відповідний лагранжіан мають вигляд

\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 , \quad L = \bar {\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi , \quad \Psi = \begin{pmatrix} \psi \\ -i \sigma_{2} \psi^{*} \end{pmatrix}.

Лагранжіан і рівняння не є інваріантними відносно глобальної \ U(1)-симетрії, причому винен у цьому масовий член. На відміну від діраківського спінору, у якого компоненти є формально незалежними, тому можна задати єдине глобальне перетворення \ \Psi \to e^{i\alpha} \Psi , \bar {\Psi} \to e^{-i\alpha} \bar {\Psi}, для майоранівського ферміона так сказати вже не можна. Дійсно, якщо одна компонента перетворюється по закону \ \psi \to e^{i \alpha}\psi, то друга, яка є комплексно спряженою, перетворюється як \ \psi^{*} \to e^{-i\alpha }\psi^{*} . Проте рівняння було б інваріантним відносно цього перетворення, якби не масовий член. Дійсно, спряжений біспінор має вигляд

\ \bar {\Psi} = \begin{pmatrix} (-i \sigma_{2} \psi^{*})^{+} & \psi^{+} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  \psi^{T}i \sigma_{2} & \psi^{+} \end{pmatrix},

кінетичний член у спінорному представленні,

\ \gamma_{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu}\\ \tilde {\sigma}_{\mu} & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_{\mu} = (\hat {\mathbf E} , \sigma ), \quad \tilde {\sigma }_{\mu} = (\hat {\mathbf E} , -\sigma ),

рівен

\ L_{k} = \begin{pmatrix}  \psi^{T}i \sigma_{2} & \psi^{+} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu}\\ \tilde {\sigma}_{\mu} & 0 \end{pmatrix}\partial^{\mu}\begin{pmatrix} \psi \\ -i \sigma_{2} \psi^{*} \end{pmatrix} = \psi^{+}\tilde {\sigma}_{\mu}\partial^{\mu}\psi + \psi^{T}\sigma_{2}\sigma_{\mu}\partial^{\mu}\sigma_{2}\psi^{*}


(варто зазначити, що другий доданок рівен першому).

Звідси очевидно, що він є інваріантним відносно глобальних перетворень \ \psi \to e^{i\alpha } \psi. Унітарні перетворення переходу до різних базисів, звісно, не змінюють цієї інваріантності.

Тепер треба розглянути масовий член: скалярний добуток спінорів у ньому дасть

\ -\frac{1}{m}L_{M} = \bar {\Psi}\Psi = \begin{pmatrix}  \psi^{T}i \sigma_{2} & \psi^{+} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi \\ -i \sigma_{2} \psi^{*} \end{pmatrix} = \psi^{T}i \sigma_{2}\psi - \psi^{+}i\sigma_{2}\psi^{*},

а отже, масовий член не буде інваріантним відносно перетворення.

Це означає, що майоранівська маса суттєво відрізняється від діраківської, тому їх треба розглядати окремо.

Нехай тепер є дві різні майоранівські частинки \ \psi_{L}, \psi_{R}, маси яких - \ m_{L}, m_{R}. Функції \ \psi_{L}, \psi_{R} задовольняють двокомпонентним рівнянням Майорани \ (3), (4). Тоді відповідні чотирикомпонентні спінори матимуть вигляд

\ \Psi_{L} = \begin{pmatrix} i\sigma_{2}\psi^{*}_{L}\\ \psi_{L} \end{pmatrix}, \quad \Psi_{R} = \begin{pmatrix} \psi_{R} \\ -i\sigma_{2}\psi^{*}_{R} \end{pmatrix} \Rightarrow \bar {\Psi}_{L} = \begin{pmatrix} \psi_{L}^{+} & -\psi_{L}^{T}i\sigma_{2} \end{pmatrix}, \quad \bar {\Psi}_{R} = \begin{pmatrix}  \psi_{R}^{T}i \sigma_{2} & \psi_{R}^{+} \end{pmatrix}.

Тому досить природньо, що лагранжіан суми цих двох полів буде містити, окрім суто майоранівських масових членів, також і діраківський масовий член:

\ L = \bar {\Psi}_{L}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} + \bar {\Psi}_{R}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{R} - \bar {\Psi}_{L}m_{L}\Psi_{L} - \bar {\Psi}_{R}m_{R}\Psi_{R} - \psi_{L}^{+}m_{D}\psi_{R} - \psi_{R}^{+}m_{D}\psi_{L} .

Два останні члени виникають через звичайну "діраківську" згортку

\ \begin{pmatrix} \Psi_{R}^{+} & \Psi_{L}^{+}\end{pmatrix}m_{D}\begin{pmatrix} \Psi_{L} \\ \Psi_{R}\end{pmatrix}.

Масову частину лагранжіану можна згорнути, якщо врахувати тотожності

\ \bar{\Psi}_{L}\Psi_{R} = \begin{pmatrix} \psi_{L}^{+} & -\psi_{L}^{T}i\sigma_{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_{R} \\ i\sigma_{2}\psi^{*}_{L} \end{pmatrix} = \psi_{L}^{+}\psi_{R} - \psi_{L}^{T}\psi_{R}^{*} = |\psi_{L}^{T}\psi_{R}^{*} = -\psi_{R}^{+}\psi_{L}| = \psi_{L}^{+}\psi_{R} + \psi_{R}^{+}\psi_{L}

\ \bar{\Psi}_{R}\Psi_{L} = \psi_{L}^{+}\psi_{R} + \psi_{R}^{+}\psi_{L} .

Тоді

\ L = \bar {\Psi}_{L}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} + \bar {\Psi}_{R}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{R} - \bar {\Psi}_{L}m_{L}\Psi_{L} - \bar {\Psi}_{R}m_{R}\Psi_{R} - \frac{1}{2}\bar {\Psi}_{L}m_{D}\Psi_{R} - \frac{1}{2}\bar{\Psi}_{R}m_{D}\Psi_{L},

або, якщо перепозначити \ \frac{m_{D}}{2} \to m_{D},

\ L = \begin{pmatrix} \bar {\Psi}_{L} & \bar {\Psi}_{R} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} & 0 \\ 0 & i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Psi_{L} \\ \Psi_{R} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \bar {\Psi}_{L} & \bar {\Psi}_{R} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_{L} & m_{D} \\ m_{D} & m_{R} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Psi_{L} \\ \Psi_{R} \end{pmatrix}.

Таким чином, видно, що для майоранівської частинки діраківська маса відповідає взаємодії з іншою майоранівською частинкою, а майоранівська маса відповідає звичайній масовій частині лагранжіану, що задовольняє дисперсійному співвідношенню для вільної частинки. За допомогою деякого унітарного перетворення полів матрицю мас у лагранжіані можна діагоналізувати, і у такому базисі взаємодія буде відсутня, хоч правохіральні та лівохіральні частинки будуть перемішані.

Нейтринні осциляціїEdit

Дослід показав, що є процеси розпаду частинок, у ході яких з'являються три типи нейтрино. Кожен тип асоційований з електроном, мюоном або тау-мезоном. Відповідно, є мюонні, електронні та таонні нейтрино. Кожному з типів нейтрино приписувався окремий лептонний заряд - мюонний, електронний та таонний. Вважалося, що для кожного з цих зарядів виконуються свої закони збереження. Проте було виявлено (насамперед, при детекції сонячних електронних нейтрино, що виникають, в основному, через бета-плюс розпад протону при утворенні Дейтерію у ядрі), що серед цих нейтрино існує деяка доля нейтрино інших типів. Тому досить природньою є думка, що нейтрино можуть перетворюватися один в одний.

Така теорія відповідає випадку, коли є взаємодія, причому базиси, де матриця мас діагональна, і де діагональна взаємодія нейтрино із відповідними зарядженими лептонами (див. розділ Стандартна модель), не співпадають. Коли кажуть про нейтрино із заданим (лептонним) зарядом, то матриця зарядів є діагоналізованою, а матриця мас - ні. Зарядом нейтрино характеризується реакція розпаду; проте у такому базисі стан не має визначеної маси. А щоб розглядати вільне розповсюдження нейтрино після його появи у результаті розпаду, треба розв'язувати рівняння руху типу шредінгерівського. Тому треба переходити від кольорового базису до масового. Часова еволюція масового стану змінює початковий стан, і тому функція вже буде відповідати нейтрино не одного кольору, а суперпозиції кольорів.

Таку задачу можна розглянути. Спочатку треба знайти матрицю, яка переводить кольоровий базис у масивний. Нехай у кольоровому базисі, \ \hat {Q} = diag (Q_{1} , Q_{2}), матриця мас має вигляд

\ \hat {M} = \begin{pmatrix} m_{L} & m_{D} \\ m_{D} & m_{R} \end{pmatrix}.

Її можна діагоналізувати за допомогою унітарного перетворення \ \Psi_{m} = \hat {U}\Psi_{f}, запараметризувавши матрицю перетворення як

\ \hat {U} = \begin{pmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\ sin(\theta ) & cos(\theta ) \end{pmatrix}.

Тоді "массовий" член лагранжіану може бути перетворений як

\ \bar {\Psi}_{f}\hat {m} \Psi_{f} = \bar {\Psi }_{m} \hat {U}^{+} \hat {m} \hat {U} \Psi_{m} = \bar {\Psi }_{m} \hat {M} \Psi_{m},

де

\ \hat {M} = \begin{pmatrix} m_{L}c^{2} + m_{R}s^{2} + 2m_{D}cs & m_{D}(c^2 - s^2) - sc(m_{L} - m_{R}) \\ m_{D}(c^2 - s^2) - sc(m_{L} - m_{R}) & m_{R}c^{2} + m_{L}s^{2} - 2m_{D}cs \end{pmatrix}, \quad c = cos(\theta ) , \quad s = sin(\theta ).

Недіагональні елементи зануляються, коли

\ ctg(2 \theta ) = \frac{1}{2}\frac{m_{L} - m_{R}}{m_{D}}.

Отже, нехай відбувся деякий процес, у ході якого в точці \ x = 0, t = 0 було утворено нейтрино нейтрино одного даного сорту \ \alpha. Його можна розкласти по масовому базису:

\ |\Psi_{\alpha}\rangle = \sum_{m = 1}^{2} u_{\alpha m}|m\rangle , \quad \hat {u}^{+}\hat {u} = 1.

Масові стани є власними функціями гамільтоніану. Тоді для довільного моменту часу одразу можна записати, що

\ |\Psi (x, t)\rangle = \sum_{m = 1}^{2}u_{\alpha m} | m\rangle e^{ip_{m}x - iE_{m}t}.

Нехай розглядається координата \ x = L. Це означає, що для двох хвиль, які відповідають частинкам з масами \ m_{1,2} відповідний час \ t буде рівен \ t = \frac{x}{v_{gr.}} = \frac{L(E_{1} + E_{2})}{p_{1} + p_{2}}.

Нейтрино сорту \ \beta:

\ |\Psi_{\beta}\rangle = \sum_{m = 1}^{2} u_{\beta m}|m\rangle.

Тоді ймовірність знайти нейтрино сорту \ \beta на відстані \ x = L буде рівна

\ W_{\alpha \to \beta}(L, m, p) = |\langle \Psi_{\beta} | \Psi (x, t)\rangle |^{2} = \sum_{m, m' = 1}^{2}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}e^{iL (p_{x} - p_{x'}) - i\frac{L(E_{1} + E_{2})}{p_{1} + p_{2}} (E_{m} - E_{m'})} \qquad (1).

Нехай імпульси, що відповідають двом масовим станам, однакові. Таке припущення може бути використане, якщо відшукати таку систему відліку, у якій імпульси однакові. Тоді, прийнявши також, що \ m_{1,2} << |p|, для такої системи відліку можна зробити перетворення:

\ E_{m} \approx p + \frac{M_{m}}{2p^2}, \quad t (x = L) \approx L + \frac{M_{1}^2 + M_{2}^{2} }{2p^{2}} \approx L, \quad E_{m} - E_{m'} \approx \frac{M_{m}^{2} - M_{m'}^{2}}{2p} = \frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}.

В результаті \ (1) набуде вигляду

\ W_{\alpha \to \beta}(L, M) = |\langle \Psi_{\beta} | \Psi (x, t)\rangle |^{2} = \sum_{m, m' = 1}^{2}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}e^{-iL\frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}} = \sum_{m = 1}^{2}|u_{\alpha m}|^{2}|u_{\beta m}|^{2} + \sum_{m \neq m'}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}cos\left( L\frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}\right) \qquad (2).

Нарешті, враховуючи явний вигляд матриці \ \hat {u}, можна отримати з \ (2)

\ W_{\alpha \to \beta}(L, M) = \frac{1}{2}sin^{2}(2 \theta )\left[1 - cos\left( L\frac{\Delta (M^{2})}{2p}\right) \right].

Видно, що взаємодія включається періодично.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.