FANDOM


Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Тепер можна перейти до зв'язку незвідних представлень групи Пуанкаре та стану частинки у квантовій теорії поля. Для цього треба використати факт, що у квантовій механіці 4-імпульс частинки відповідає оператору \ \hat{P}^{\mu}, а вектор моменту імпульсу - одному із 3-операторів, з яких побудований тензор групи Лоренца.

Відповідно до цього,

\ \hat {P}_{\alpha}\hat {P}^{\alpha}\psi = m^{2}\psi,

де \ m^{2} - квадрат маси частинки.

Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (при використанні відповідності операторів відповідним спостережуваним величинам маємо \ \hat {P}_{\mu}\psi_{\mathbf p = 0} = (m, 0, 0, 0)\psi_{\mathbf p = 0}), при дії на функцію стану дає

\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p = 0} = \left(\hat {S}_{\alpha \beta}\hat {P}^{\beta}\hat {S}^{\alpha \gamma}\hat {P}_{\gamma} - \frac{1}{2}\hat {P}_{\delta}\hat {P}^{\delta}\hat {S}_{\rho \varepsilon}\hat {S}^{\rho \varepsilon}\right)\psi_{\mathbf p = 0} = \left(\hat {S}_{\alpha 0}\hat {P}^{0}\hat {S}^{\alpha 0}\hat {P}_{0} - \frac{1}{2}\hat {P}_{0}\hat {P}^{0}\hat {S}_{\rho \varepsilon}\hat {S}^{\rho \varepsilon}\right) \psi_{\mathbf p = 0} = \left|[\hat {P}^{0}, \hat {S}^{\alpha 0}] = i(g^{0\alpha }\hat {P}^{0} - \hat {P}^{\alpha})\right| =

\ = i\hat {S}_{\alpha 0}(g^{0\alpha }m - m) + m^{2}\left( - \hat {\mathbf K}^{2} - \frac{1}{2}2 \left( \hat {\mathbf S}^{2} - \hat {\mathbf K}^{2}\right)\right) \psi_{\mathbf p = 0} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{\mathbf p  = 0} \qquad (1),

де \ s - спінове квантове число. Тут був використаний факт того, що \ \hat {S}^{\alpha \beta} = (\hat {\mathbf K}, \hat {\mathbf S}), тому, згідно із властивостями антисиметричних тензорів,

\ \hat {S}_{\alpha 0}\hat {S}^{\alpha 0} = -\hat {\mathbf K}^{2}, \quad \hat {S}_{\alpha \beta}\hat {S}^{\alpha \beta} = 2(\hat {\mathbf S}^{2} - \hat {\mathbf K}^{2}).

В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто \ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p } = -m^{2}s(s + 1)\psi_{\mathbf p }.

Згадаємо тепер, що незвідні представлення групи Лоренца характеризувались прямим добутком двох представлень групи \ SL(2, C), які (недбало кажучи) пов'язані комплексним спряженням:

\ \Psi_{\alpha \beta}{'} = S_{\alpha \mu}^{j_{1}}S_{\beta \nu}^{j_{2}}\Psi_{\mu \nu},

де числа \ j_{1}, j_{2} є максимальними власними числами операторів \ \hat{A}_{3}, \hat{B}_{3} вказаних груп, які, у свою чергу, пов'язані із генераторами бустів і 3-поворотів \ \hat{K}_{i}, \hat{S}_{i} незвідного представлення групи Лоренца як \ \hat{A}_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{S}_{i} + i\hat{K}_{i}), \quad \hat{B}_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{S}_{i} - i\hat{K}_{i}). Якщо підставити наведений зв'язок у \ (1), можна отримати

\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p = 0} = -m^{2}\hat{\mathbf S}^{2}\psi_{\mathbf p = 0} = -m^{2}(\hat{\mathbf A} + \hat{\mathbf B})^{2}\psi_{\mathbf p = 0} = \left|[\hat{A}_{i} , \hat{B}_{j}] = 0\right| = -m^{2}\left(\hat{\mathbf A}^{2} + \hat{\mathbf B}^{2} + 2 (\hat{\mathbf A} \cdot \hat{\mathbf B}) \right)\psi_{\mathbf p = 0} =

\ =-m^{2}\left( j_{1}(j_{1} + 1) + j_{2}(j_{2} + 1) + 2(\hat{A}_{3}\hat{B}_{3} +\hat{A}_{1}\hat{B}_{1} +  \hat{A}_{2}\hat{B}_{2})\right) \psi_{\mathbf p = 0} = \left|\hat{A}_{1}\hat{B}_{1} + \hat{A}_{2}\hat{B}_{2} = \hat{A}_{+}\hat{B}_{1} - i\hat{A}_{2}\hat{B}_{+}, \hat{A}_{+}\psi = \hat{B}_{+}\psi = 0, \hat{A}_{3}\hat{B}_{3}\psi = j_{1}j_{2}\psi\right| =

\ = -m^{2}(j_{1} + j_{2})(j_{1} + j_{2} + 1)\psi_{\mathbf p = 0}.

Ця взагалі-то формальна викладка наочно демонструє зроблене раніше твердження, що математична природа об'єкту \ \psi визначає фізично спостережувану величину - спін.

Таким чином, вільна частинка із точки зору Пуанкаре-симетрії (а інші симетрії для вільної частинки у просторі-часі Мінковського не мають сенсу) характеризується спіном і масою.

Вігнером була розроблена класифікація представлень залежності від значення маси \ m.

1. \ m^{2} > 0. Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси \ m^{2} та спіну \ m^{2}s(s + 1). Стани представлення відрізняються значенням проекції спіну на задану (найчастіше обирають z) вісь, \ s, s - 1, ..., -s (таким чином, є \ 2s + 1 спінових ступенів вільності), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора \ \hat {P}_{\mu}. Отже, представлення відповідають частинці маси \ m, спіну \ s, імпульсу \ p_{i} та проекції спіну на напрямок руху \ s_{3}. Про реалізацію унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре для масивних частинок написано у розділі про спінорні представлення груп Лоренца та Пуанкаре.

2. \ m^{2} = 0. Власні значення обох операторів Казиміра обертаються в нуль. Тому кожен із відповідних векторів є світлоподібним. Окрім того, \ \hat {W}_{\mu}\hat {P}^{\mu} = 0. Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: \ \hat {W}_{\mu} = \lambda \hat {P}_{\mu}. Дійсно, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожно задовольняється: \ \hat {W}_{\mu}\hat {P}^{\mu}\psi = \lambda \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}\psi = 0. Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом \ \lambda. Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю. Про спіральність та особливості алгебри для безмасової частинки - у відповідному підрозділі. Про реалізацію унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре для безмасових частинок написано у розділі про спінорні представлення груп Лоренца та Пуанкаре.

3. \ \hat {P}_{\mu}\hat {P}^{\mu} рівний нулю, проте спін приймає неперервні значення. Довжина вектора Паулі-Любанського \ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu} приймає від'ємні значення. Такий тип представлення описує частинку із нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном. Детальніше про такий випадок написано у розділі про малу групу безмасових представлень.

Наостанок варто помітити, що група Пуанкаре є групою лише кінематичних симетрій. Повна група симетрій являється прямим добутком \ ISO_{+}(3, 1)\otimes G, де \ G - група внутрішніх симетрій, яка належить унітарним групам (із умови збереження норми). Типовим прикладом є наявність електричного заряду. Відповідно, частинка характеризується, взагалі, не лише квадратом маси та спіну, а й деякими дискретними числами, що відповідають групам внутрішніх симетрій. Проте побудова незвідних представлень групи Пуанкаре є першим кроком до побудови одночастинкових станів, оскільки при наявності у теорії частинок лише одного виду ці частинки є вільними, а тому внутрішні симетрії "виморожені".

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.