Повернутися до розділу "Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено" .
Для подальших викладок важливим є вираз
γ
(
R
−
(
v
⋅
R
)
c
)
=
X
2
+
γ
2
c
2
(
X
⋅
v
)
2
(
.2
)
{\displaystyle \ \gamma \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right) = \sqrt{X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf X \cdot \mathbf v )^{2}} \qquad (.2)}
.
Він доводиться наступним чином:
γ
2
(
R
−
(
v
⋅
R
)
c
)
2
=
γ
2
R
2
−
2
γ
2
(
v
⋅
R
)
c
R
+
γ
2
(
v
⋅
R
)
2
c
2
=
r
i
g
h
t
=
X
2
+
γ
2
c
2
(
v
⋅
X
)
2
=
|
X
=
R
−
v
R
c
|
=
{\displaystyle \ \gamma^{2} \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right)^{2} = \gamma^{2}R^{2} - 2 \gamma^{2}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}R + \gamma^{2}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)^{2}}{c^{2}} =_{right} = X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} = \left|\mathbf X = \mathbf R - \frac{\mathbf vR}{c} \right| = }
=
R
2
−
2
(
R
⋅
v
)
c
R
+
v
2
R
2
c
2
+
γ
2
c
2
(
(
v
⋅
R
)
−
v
2
R
c
)
2
=
{\displaystyle \ = R^{2} - 2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}R + \frac{v^{2}R^{2}}{c^{2}} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}\left( (\mathbf v \cdot \mathbf R ) - \frac{v^{2}R}{c}\right)^{2} = }
=
R
2
−
2
(
R
⋅
v
)
c
R
+
v
2
R
2
c
2
+
γ
2
c
2
(
v
⋅
R
)
2
−
2
γ
2
c
3
(
v
⋅
R
)
v
2
R
+
γ
2
c
4
v
4
R
2
⇒
{\displaystyle \ = R^{2} - 2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}R + \frac{v^{2}R^{2}}{c^{2}} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf R)^{2} - 2 \frac{\gamma^{2}}{c^{3}}(\mathbf v \cdot \mathbf R)v^{2} R + \frac{\gamma^{2}}{c^{4}}v^4 R^2 \Rightarrow }
⇒
|
R
2
+
R
2
v
2
c
2
+
γ
2
v
4
R
2
c
4
=
R
2
(
1
+
v
2
c
2
(
1
+
v
2
c
2
γ
2
)
)
=
R
2
(
1
+
γ
2
v
2
c
2
)
=
R
2
γ
2
|
⇒
{\displaystyle \ \Rightarrow \left| R^{2} + \frac{R^{2}v^{2}}{c^{2}} + \gamma^{2}\frac{v^{4}R^{2}}{c^{4}} = R^{2}\left(1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}\left(1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} \right)\right) = R^{2}\left( 1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = R^{2}\gamma^{2}\right| \Rightarrow }
⇒
−
2
γ
2
c
(
v
⋅
R
)
R
=
−
2
(
R
⋅
v
)
c
R
−
2
γ
2
c
3
(
v
⋅
R
)
v
2
R
⇒
−
2
(
v
⋅
R
)
c
R
(
1
+
γ
2
v
2
c
2
)
=
−
2
γ
2
(
v
⋅
R
)
c
R
⇒
0
=
0
{\displaystyle \ \Rightarrow -2 \frac{\gamma^{2}}{c}(\mathbf v \cdot \mathbf R) R = -2\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v)}{c}R - 2\frac{\gamma^{2}}{c^{3}}(\mathbf v \cdot \mathbf R )v^{2}R \Rightarrow -2\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}R\left(1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = -2\gamma^{2}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}R \Rightarrow 0 = 0}
.
Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено [ ]
Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. У розділі про 4-потенціали було отримано вираз для напруженості поля через скалярний і векторний потенціали:
E
=
−
∇
φ
−
1
c
∂
A
∂
t
(
.3
)
{\displaystyle \ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t } \qquad (.3)}
.
Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних
t
,
x
{\displaystyle \ t, \mathbf x}
до змінної
T
{\displaystyle \ T}
, оскільки самі потенціали (а точніше -
v
,
R
{\displaystyle \ \mathbf v , \mathbf R }
) залежать від
T
{\displaystyle \ T}
:
∂
t
∂
T
=
R
R
−
(
v
⋅
R
)
c
,
∂
T
∂
x
=
−
R
c
(
R
−
(
v
⋅
R
)
c
)
(
.4
)
{\displaystyle \ \frac{\partial t}{\partial T} = \frac{R}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \mathbf x} = - \frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)} \qquad (.4)}
.
Тоді для напруженості поля
E
{\displaystyle \ \mathbf E}
можна отримати
E
=
Q
(
R
−
v
c
R
)
(
1
−
v
2
c
2
)
(
R
−
(
R
⋅
v
)
c
)
3
+
Q
c
2
[
R
×
[
(
R
−
v
c
R
)
×
a
]
]
(
R
−
(
R
⋅
v
)
c
)
3
{\displaystyle \ \mathbf E = \frac{Q \left( \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R\right) \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \left(\mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R\right) \times \mathbf a \right]\right]}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{3}}}
,
або, з урахуванням виразу
(
.2
)
{\displaystyle \ (.2)}
і введеного вектора
X
=
R
−
v
c
R
{\displaystyle \ \mathbf X = \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R}
,
E
=
Q
γ
X
(
X
2
+
γ
2
c
2
(
v
⋅
X
)
2
)
3
2
+
Q
c
2
γ
3
[
R
×
[
X
×
a
]
]
(
X
2
+
γ
2
c
2
(
v
⋅
X
)
2
)
3
2
{\displaystyle \ \mathbf E = \frac{Q\gamma \mathbf X}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\gamma^{3}[\mathbf R \times [\mathbf X \times \mathbf a]]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}}
.
Вираз для індукції поля можна (як, втім, і вираз для напруженості) отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що (як я вважав; помилково) значно спростить викладки.
При введенні фіктивного інтегрування по змінній
τ
{\displaystyle \ \tau}
(див. попередній підрозділ ) векторний потенціал має вигляд
A
(
R
,
T
)
=
1
c
∫
Q
v
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
−
|
x
−
x
0
(
τ
)
|
c
)
d
τ
|
z
−
x
0
(
τ
)
|
{\displaystyle \ \mathbf A (\mathbf R , T) = \frac{1}{c}\int \frac{Q \mathbf v (\tau ) \delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|}{c}\right)d\tau}{|\mathbf z - \mathbf x_{0} (\tau)|}}
.
Тоді для
B
=
[
∇
×
A
]
{\displaystyle \ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A ]}
можна отримати
B
=
Q
[
R
×
(
R
R
−
v
c
)
]
(
1
−
v
2
c
2
)
(
R
−
(
v
⋅
R
)
c
)
3
+
Q
c
2
[
R
×
[
R
×
[
(
R
R
−
v
c
)
×
a
]
]
]
(
R
−
(
v
⋅
R
)
c
)
3
=
[
R
R
×
E
]
{\displaystyle \ \mathbf B = Q\frac{\left[\mathbf R \times \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c} \right)\right]\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c} \right) \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{3}} = \left[ \frac{\mathbf R}{R} \times \mathbf E \right]}
,
або, з урахуванням виразу
(
.2
)
{\displaystyle \ (.2)}
,
B
=
Q
γ
[
R
R
×
X
]
(
X
2
+
γ
2
c
2
(
v
⋅
X
)
2
)
3
2
+
Q
γ
3
c
2
[
R
R
×
[
R
×
[
X
×
a
]
]
]
(
X
2
+
γ
2
c
2
(
v
⋅
X
)
2
)
3
2
{\displaystyle \ \mathbf B = Q\gamma \frac{\left[\frac{\mathbf R}{R} \times \mathbf X \right]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q \gamma^{3}}{c^{2}}\frac{\left[ \frac{\mathbf R}{R} \times \left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf X \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}
.