FANDOM


Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Маса нейтрино. Оператор ВайнбергаEdit

Згідно із експериментами (найвідоміший із них - експеримент Ву) праве нейтрино не приймає участі у електрослабких взаємодіях. Саме тому праве нейтрино відсутнє у лагранжіані Стандартної моделі. Деякі досліди прямо вказують на те, що у нейтрино є маса. Найбільш очевидним доведенням наявності маси є факт нейтринних осциляцій: нейтрино різних сортів переходять одне у одне. Окрім того, експерименти вказують на малість мас нейтрино. Все вказує на те, що треба розширити Стандартну модель, додавши у неї механізм генерування мас нейтрино, що пояснює малі маси і осциляції.

Без введення правого нейтрино неможливо записати діраківський масовий член (нагадаю, що діраківський член - це $ \ \bar{\Psi}_{L}\Psi_{R} + h.c. $). Можна було б записати майоранівський масовий член, проте тут без правого нейтрино неможливо записати член розмірності 4, що необхідно для побудови більш-менш фундаментальної теорії. Дійсно, масовий член лівого нейтрино має бути калібрувально-інваріантим, в той час як ліве нейтрино являється дублетом відносно групи $ \ SU(2) $. Пошук оператора, що давав би масу лівому нейтрино і водночас був би калібрувально- та лоренц-інваріантним, дає оператор мінімальної розмірності 5 (так званий "оператор Вайнберга"),

$ \ L_{W} = -\frac{1}{M}(\bar{L}i\sigma_{2}\varphi^{*})(\varphi^{\dagger}i\sigma_{2}L^{c}), \quad L^{c} = \hat{C}\bar{L}^{T} $,

який після вакуумного зсуву хіггсівського дублету генерує майоранівську масу $ \ L_{M} = -\frac{v^{2}}{M}\bar{\nu}_{L}\nu_{L}^{c} $.

Оператор Вайнберга є лоренц- та калібрувально-інваріантним. Лоренц-інваріантність слідує із лоренц-інваріантності майоранівського члену $ \ \bar{\psi}\psi^{c} $ (нагадаю, що відносно перетворень Лоренца $ \ \psi^{c} $ перетворюється так само, як і $ \ \psi $). Для перевірки калібрувальної інваріантності варто розглянути перетворення по групі Стандартної моделі кожного із множників $ \ \bar{L}i\sigma_{2}\varphi^{*}, \varphi^{\dagger} i\sigma_{2}L^{c} $.

Перший множник. Гіперзаряд лівого дублету дорівнює $ \ Y_{L} = -1 $, а гіперзаряд хіггсівського дублету $ \ \varphi $ дорівнює $ \ Y_{\varphi} = 1 $. Тоді гіперзаряди спряженого лівого дублету та спряженого хіггсівського поля дорівнюють $ \ 1, -1 $ відповідно. Тому оператор є інваріантним відносно перетворення групи $ \ U_{Y}(1) $ Стандартної моделі. Щодо перетворення $ \ SU_{L}(2) $, то

$ \ \bar{L}\sigma_{2}\varphi^{*} \to \left| L \to e^{i\sigma_{j}a_{j}}L , \quad \varphi \to e^{i\sigma_{j}a_{j}}\varphi \right| \to \bar{L}e^{-i\sigma_{j}a_{j}}\sigma_{2}e^{-i\sigma_{j}^{*}a_{j}}\varphi^{*} = |\sigma_{j}^{*} = -\sigma_{2}\sigma_{j}\sigma_{2}, \quad e^{i\sigma_{2}\sigma_{j}a_{j}\sigma_{2}} = \sigma_{2}e^{i\sigma_{j}a_{j}}\sigma_{2}| = $

$ \ = \bar{L}e^{-i\sigma_{j}a_{j}}\sigma_{2}^{2}e^{i\sigma_{j}a_{j}}\sigma_{2}\varphi^{*} = \bar{L}\sigma_{2}\varphi^{*} $.

Другий множник. В силу того, що $ \ L^{c} = \hat{C}\bar{L}^{T} $, групові перетворення зарядово спряженого дублету мають вигляд

$ \ L^{c} \to e^{-iY_{L}a}L_{c}, L^{c} \to e^{-i\sigma_{i}^{T}a_{i}}L^{c} = e^{i\sigma_{2}\sigma_{i}\sigma_{2}a_{i}}L^{c} = \sigma_{2}e^{i\sigma_{i}a_{i}}\sigma_{2}L^{c} $,

а відповідні перетворення дублету Хіггса -

$ \ \varphi^{\dagger} \to e^{-iY_{\varphi}a}\varphi^{\dagger} = e^{iY_{L}a}\varphi^{\dagger}, \quad \varphi^{\dagger} \to \varphi^{\dagger}e^{-i\sigma_{i}a_{i}} $,

і тому і цей множник є калібрувально-інваріантним.

Оператор Вайнберга, втім, є ефективним, а отже, слідує із деякої більш фундаментальної теорії, яка має нові відносно Стандартної моделі ступені вільності. Механізм, реалізований такою теорією, має призводити до появи мас у нейтрино (діраківської чи майоранівської) і, бажано, пояснювати малість мас.

Механізм see-sawEdit

Одним із таких механізмів є так званий механізм "качелей" (see-saw mechanism). Суть однієї (найпростішої) із його реалізацій полягає у наступному: стартують із лагранжіану, який описує взаємодію лептонів (і нейтрино) із скалярним дублетом полів $ \ \varphi $ (на кшталт кваркового); вводять праве нейтрино. Окрім того, на відміну від кваркового лагранжіану, вводять майоранівську масу для правого нейтрино. Такий член у лагранжіані є калібрувально-інваріантним, оскільки праве нейтрино перетворюється як синглет відносно групи $ \ SU(2)\otimes U(1) $. Маса правого нейтрино нічим не фіксована, оскільки праві нейтрино не приймають участі у взаємодії; утім, від них варто позбутися у лагранжіані. Для цього обирають масу дуже великою (на декілька порядків більшою, ніж характерні лептонні маси), переходять до нового "нейтринного базису" (лінійних комбінацій правого і лівого нейтрино), причому в силу дуже великої маси правого нейтрино одне "нове" нейтрино містить ліве і надзвичайно мало правого нейтрино, а інше - навпаки. Переходячи затим до ліміту нескінченної маси, "викидають" друге "нове" нейтрино із лагранжіану.

Продемонструю тепер цей механізм у деталях. Отже, як було написано, стартуємо із лагранжіану

$ \ L = -H_{ij} \begin{pmatrix} \bar{\nu}_{l} &\bar{l}\end{pmatrix}^{i}_{L}\varphi l^{j}_{R} - G_{ij}\begin{pmatrix} \bar{\nu}_{L} &\bar{l}\end{pmatrix}^{i}_{L}i\sigma_{2}\varphi^{*} \nu^{j}_{R} - \frac{1}{2}M_{R}^{ij}(\nu^{T}_{R})^{i}\hat{C}\nu_{R}^{j} + h.c. $.

Тут $ \ M_{R}^{ij} $ - симетрична комплексна матриця, $ \ G_{ij}, H_{ij} $ - довільні комплексні матриці, а $ \ \hat{C} = i\gamma_{2}\gamma_{0} $. Нагадаю, що останній член відповідає майоранівському масовому члену.

Другий доданок є лоренц- та калібрувально-інваріантним (див. доведення калібрувальної інваріантності оператору Вайнберга).

Використавши унітарне калібрування та "зсунувши" вакуум, можна отримати для масових членів

$ \ L = -\eta \left(H_{ij} \bar{l}^{i}_{L}l_{R}^{j} + h.c. \right) - \eta \left( G_{ij}\bar{\nu}_{L}^{i}\nu_{R}^{j} + h.c.\right) - \frac{1}{2}\left(M_{R}^{ij}\nu_{R}^{i}\hat{C}\nu_{R}^{j} + h.c.\right) = -M_{l}^{ij}\bar{l}^{i}_{L}l_{R}^{j} - (M_{D})_{ij}\bar{\nu}_{L}^{i}\nu_{R}^{j} - \frac{1}{2}(M_{R})_{ij}(\nu_{R}^{T})^{i}\hat{C}\nu_{R}^{j} + h.c. \qquad (1) $.

Варто зазначити, що у випадку $ \ M_{R}^{ij} \equiv 0 $ другим доданком виразу $ \ (1) $ одразу буде генеруватися діраківська маса (на кшталт до випадку із кварками у СМ). В такому випадку унітарна матриця $ \ G_{ij} $ може бути зведена перетвореннями фаз до чотирьохпараметричної матриці типу матриці ККМ.

Доданки із нейтринними матрицями можна записати у вигляді

$ \ L_{m_{\nu}} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \nu_{L}^{T} & (\nu_{R}^{c})^{T}\end{pmatrix}\hat{C}^{-1} \begin{pmatrix} 0 & \hat{M}^{*}_{D} \\ \hat{M}^{\dagger}_{D} & \hat{M}^{\dagger}_{R}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_{L} \\ \nu_{R}^{c}\end{pmatrix} + h.c. = -\frac{1}{2}\Psi^{T}\hat{M}\Psi + h.c. \qquad (2) $,

де $ \ \nu^{c} $ - добре знайоме зарядове спряження: $ \ \nu^{c} = \hat{C}\bar{\nu}^{T} = i\gamma_{2}\gamma_{0}\bar{\nu}^{T} $. Дійсно, наприклад (при транспонуванні ферміонів їх білінійні комбінації змінюють знак),

$ \ \frac{1}{2}\nu_{L}^{T}\hat{C}^{-1} \hat{M}^{*}_{D}\nu_{R}^{c} + h.c. = \frac{1}{2}(M_{D}^{*})_{ij}(\nu_{L}^{T})^{i}\hat{C}^{-1}\hat{C}\gamma_{0}(\nu^{*}_{R})^{j} +h.c. = -\frac{1}{2}(M^{*}_{D})_{ij}\bar{\nu}_{R}^{i}\nu_{L}^{j} + h.c. $,

де використана алгебра матриць Дірака для визначення $ \ \hat{C}^{2} $, а множник $ \ \frac{1}{2} $ виникає через "подвоєння" недіагональних членів у порівнянні із $ \ (1) $;

$ \ \frac{1}{2}(\nu^{c}_{R})^{T}\hat{C}^{-1} \hat{M}^{\dagger}_{R}\nu_{R}^{c} + h.c. = \frac{1}{2}\bar{\nu}_{R}\hat{M}^{\dagger}_{R}\hat{C}^{T}\hat{C}^{-1}\hat{C}\bar{\nu}_{R}^{T} = |\hat{C}^{T} = -\hat{C}| = -\frac{1}{2}\nu_{R}^{\dagger}\hat{M}^{\dagger}_{R} \gamma_{0}\hat{C}\gamma_{0}\nu_{R}^{*} = \frac{1}{2}\nu_{R}^{\dagger}\hat{M}_{R}\nu_{R}^{*} $,

і т.д.

Тепер перейдемо до діагоналізації $ \ (2) $. Введемо таку матрицю унітарну матрицю $ \ U $, що

$ \ \hat{U}^{T}\hat{M}\hat{U} = \begin{pmatrix} \hat{M}_{1}& 0 \\ 0 & \hat{M}_{2} \end{pmatrix} $,

і знайдемо її явний вигляд з урахуванням того, що у матриці $ \ \hat{M} $ є властивість $ \ ||\hat{M}_{R}|| >> ||\hat{M}_{D}|| $ (усі характерні значення першої матриці значно більші за відповідні характерні значення другої).

Запишемо матрицю $ \ \hat{U} $ у вигляді $ \ \hat{U} = \begin{pmatrix} \hat{C}_{1} & \hat{S}_{2}^{\dagger} \\ -\hat{S}_{1} & \hat{C}_{2}^{\dagger} \end{pmatrix} $, вважаючи при цьому, що $ \ ||\hat{S}_{i}|| << ||\hat{C}_{i}|| $.

Виконаємо множення:

$ \ \hat{U}^{T}\hat{M}\hat{U} = \begin{pmatrix} -\hat{S}_{1}^{T}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} - \hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{D}^{T}\hat{S}_{1} + \hat{S}_{1}^{T}\hat{M}_{R}\hat{S}_{1} & -\hat{S}_{1}^{T}\hat{M}_{D}\hat{S}_{2}^{\dagger} + \hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{R}\hat{C}_{2}^{\dagger} - \hat{S}_{1}^{T}\hat{M}_{R}\hat{C}_{2}^{\dagger} \\ \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} - \hat{S}_{2}^{*}\hat{M}_{D}^{T}\hat{S}_{1} - \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{R}\hat{S}_{1} &\hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{D}\hat{S}_{2}^{\dagger} + \hat{S}_{2}^{*}\hat{M}_{D}^{T}\hat{C}_{2}^{\dagger} + \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{R}\hat{C}_{2}^{\dagger} \end{pmatrix} $.

Прирівняємо, як і треба, нижню ліву компоненту до нуля, знехтувавши другим членом (в силу вказаних вище властивостей): отримаємо

$ \ \hat{S}_{1} \approx \hat{M}^{-1}_{R}(\hat{C}_{2}^{*})^{-1}\hat{C}_{2}^{*} \hat{M}_{D}\hat{C}_{1} = \hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} \qquad (3) $.

Використаємо одну із умов унітарності матриці $ \ \hat{U} $:

$ \ \hat{S}_{2}\hat{C}_{1} - \hat{C}_{2}\hat{S}_{1} = 0 \Rightarrow \hat{S}_{2} = \hat{C}_{2}\hat{S}_{1}\hat{C}_{1}^{-1} \approx \hat{C}_{2}\hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D} \qquad (4) $.

Підставимо $ \ (3), (4) $ у "діагональні" компоненти матриці:

$ \ \hat{M}_{1} \approx -\hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{D}^{T}(\hat{M}_{R}^{-1})^{T}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} - \hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{D}^{T}\hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} + \hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{D}^{T}(\hat{M}_{R}^{-1})^{T}\hat{M}_{R}\hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} = \left|(\hat{M}_{R}^{-1})^{T} = \hat{M}_{R}^{-1}\right| = $

$ \ = -\hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{D}^{T}\hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1} $,

$ \ \hat{M}_{2} \approx \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{D}\hat{M}_{D}^{\dagger}(\hat{M}_{R}^{-1})^{\dagger}\hat{C}_{2}^{\dagger} + \hat{C}_{2}^{*}(\hat{M}_{R}^{-1})^{*}\hat{M}_{D}^{*}\hat{M}_{D}^{T}\hat{C}_{2}^{\dagger} + \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{R}\hat{C}_{2}^{\dagger} = \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{R}\hat{C}_{2}^{\dagger} + \hat{C}_{2}^{*}\left( \hat{M}_{D}\hat{M}_{D}^{\dagger}(\hat{M}_{R}^{-1})^{*} + (\hat{M}_{R}^{-1})^{*}\hat{M}_{D}^{*}\hat{M}_{D}^{T}\right)\hat{C}_{2}^{\dagger} $,

де врахована симетричність матриці $ \ \hat{M}_{R} $ (а отже, і оберненої до неї). Можна знову скористатися малістю $ \ \hat{M}_{D} $: тоді

$ \ \hat{M}_{1} \approx -\hat{C}_{1}^{T}\hat{M}_{D}^{T}\hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D}\hat{C}_{1}, \quad \hat{M}_{2} \approx \hat{C}_{2}^{*}\hat{M}_{R}\hat{C}_{2}^{\dagger} $.

Переходячи до формального ліміту $ \ \hat{M}_{D} \to 0 $, можна вважати, що $ \ \hat{C}_{i} \to \hat{E} $; тоді

$ \ \hat{M}_{1} \approx -\hat{M}_{D}^{T}\hat{M}_{R}^{-1}\hat{M}_{D}, \quad \hat{M}_{2} \approx \hat{M}_{R} $.

Тепер $ \ (2) $ ефективно набуде вигляду

$ \ L_{m_{\nu}} = \frac{1}{2}\nu_{L}^{T}(-\hat{M}_{1})\hat{C}\nu_{L} - \frac{1}{2}\nu_{R}^{T}\hat{M}_{2}\hat{C}\nu_{R} + h.c. \qquad (5) $.

Змінимо знак першого доданку перефазуванням $ \ \nu_{L} \to i\nu_{L} $. Тепер отримано два масові члени для лівого та правого нейтрино. Звісно, масовий член для лівого нейтрино $ \ (5) $ "генерує" осциляції. Окрім того, як і у випадку із кварками, матриця $ \ \hat{N} $ для діагоналізації масової матриці, $ \ \hat{m}_{ij} = -\hat{N}^{T}\hat{M}_{1}\hat{N} = m_{i}\delta_{ij} $ з'являється у зарядженому струмі. Її комплексність (в силу того, що нейтрино - майоранівське, вона має не 4 параметри, як кваркова матриця, а 6) зумовлює порушення збереження лептонного числа.

Нарешті, можна врахувати член взаємодії лівого і правого нейтрино із бозоном Хіггса, і, у ефективному ліміті (знехтувавши кінетичним членом для правого нейтрино), виразити $ \ \nu_{R} $ через $ \ \nu_{R} $ за допомогою рівнянь поля. В результаті буде отриманий ефективний доданок порядку 5 у лагранжіані.

$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $