FANDOM


Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Процедура лінеаризації. Рівняння поляEdit

Нехай метричний тензор можна представити як

\ g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}, \quad ||h_{\mu \nu}|| << 1.

Це відповідає ситуації, коли розглядається гравітаційне поле вдалі від гравітуючого тіла, а отже, метричні коефіцієнти можуть бути представлені розкладом в ряд по деякому параметру та обмеженням по заданому порядку малості. Усі рівняння, що пов'язані із метрикою, повинні утримувати перший порядок малості по \ h_{\mu \nu}, тому всі рівняння будуть лінійними. Відповідно, така теорія називається лінеаризованою ЗТВ.

Отже, можна отримати лінеаризовані вирази для тензорів Рімана, Річчі, скалярної кривини, рівняння геодезичних та Ейнштейна у такій теорії, а потім проаналізувати передбачення та розв'язки рівнянь для теорії.

Геометричні величини та рівняння лінеаризованої ЗТВEdit

Геометричні величиниEdit

На початку треба отримати вираз для метричного тензора з верхніми індексами: це можна зробити з умови

\ g_{ik}g^{il} = \delta^{l}_{k},

що одразу дає, при умові збереження першого порядку малості по тензору \ h_{ik},

\ g^{ik} = \eta^{ik} - h^{ik}.

Досить просто отримати вирази для геометричних величин у рамках лінеаризованої ЗТВ. Наприклад, використовуючи формулу \ (2) розділу про тензор кривини та враховуючи, що у виразах для згорток символів Кристоффеля кожен доданок містить лише квадратичні по похідним від \ h_{\mu \nu} доданки, якими треба знехтувати, можна одразу записати, що тензор кривини рівен

\ R_{iklm} = \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial_{l}h_{im} + \partial_{i}\partial_{m}h_{kl} - \partial_{k}\partial_{m}h_{il} - \partial_{i}\partial_{l}h_{km}).

Відповідно, його згортки виражаються як

\ R_{k m} = \eta^{il}R_{iklm} = \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial^{i}h_{im} + \partial_{m}\partial^{i}h_{ki} - \partial_{k}\partial_{m}h - \partial^{2}h_{km}), \quad R = \eta^{km}R_{km} = \partial^{i}\partial^{j}h_{ij} - \partial^{2}h.

Рівняння Ейнштейна. Калібрувальна інваріантність та загальні умови на тензор-поправкуEdit

Відповідні рівняння Ейнштейна набудуть вигляду

\ R_{km} - \frac{1}{2}\eta_{km} R = 8 \pi G T_{km} \Rightarrow \partial_{k}\partial^{i}h_{im} + \partial_{m}\partial^{i}h_{ki} - \partial_{k}\partial_{m}h - \partial^{2}h_{km} - \eta_{km}(\partial^{i}\partial^{j}h_{ij} - \partial^{2}h) = 16 \pi G T_{km}.

Можна також ввести величину

\ \bar {h}_{\mu \nu} = h_{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu}h, \quad \bar {h} = 0 \Rightarrow h_{\mu \nu} = \bar {h}_{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu} h.

Із її введенням рівняння Ейнштейна може бути переписане як

\ \partial_{m}\partial^{i}\bar {h}_{ik} + \partial_{k}\partial^{i}\bar {h}_{im} - \partial^{2}\bar {h}_{km} - \eta_{km} \partial^{i}\partial^{j}\bar {h}_{ij} = 16 \pi G T_{km}.

Ліва частина отриманого рівняння відповідає рівнянню на безмасове поле спіральності 2 \ C_{\mu \nu \alpha \beta} у плоскому просторі-часі при введенні поля \ h_{\mu \nu}). Можна також показати, що на тензор \ h_{\alpha \beta} можна накласти умову поперечності \ \partial_{\mu}h^{\mu \nu} = 0. Дійсно, оскільки тензор Рімана є інваріантним відносно таких перетворень, то тензор Ейнштейна, ліва частина рівняння Ейнштейна, також є калібрувально-інваріантним. Тому завжди можна підібрати чотири вектори \ \varepsilon_{\nu} так, що буде виконуватись умова \ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} = 0:

\  \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}{'} = \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} + \partial^{2}\varepsilon^{\nu} + \partial^{\nu}\partial_{\mu}\varepsilon^{\mu} - 2 \frac{1}{2}\partial_{\nu} \eta^{\mu \nu}\partial_{\mu }\varepsilon^{\mu} = \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} + \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = 0 \Rightarrow \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = -\partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}.

Для подальших застосувань ізометрій треба тепер враховувати, що повинна зберігатись умова поперечності \ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} = 0. Це означає, що повинна виконуватись умова

\ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}{'} = \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = 0.

З урахуванням же умови поперечності рівняння Ейнштейна може бути записане як

\ -\partial^{2}\bar {h}_{km} = 16 \pi G T_{km} \qquad (1).

Деякі розв'язки-передбачення, що даються теорієюEdit

У загальному випадку, як і для електромагнітного поля із його рівнянням \ \partial^{2}A_{\mu} = 4 \pi \rho , розв'язок для рівняння Ейнштейна \ (1) має вигляд (\ G = 1)

\ \bar {h}_{\mu \nu}(t, \mathbf x) = 4 \int \frac{T_{\mu \nu}(t - |\mathbf x - \mathbf x ' |, \mathbf x')d^{3}\mathbf x'}{|\mathbf x - \mathbf x '|} \qquad (2).

Квазіньютонівські поляEdit

Нехай \ T_{00} >> |T_{0j}|, T_{00} >> |T_{ik}|, при цьому також положення точки, у якій визначається поле, знаходиться достатньо близько до джерела (у нехвильовій зоні), тому запізненням можна знехтувати. Тоді задача відповідає квазіньютонівському випадку, і можна записати, що

\ \bar {h}_{00} = 4 \int \frac{T_{00}(t, \mathbf x' )d^{3}\mathbf x'}{|\mathbf x - \mathbf x' |} = -4\Phi , \quad \bar {h}_{0k} = \bar {h}_{jk} = 0.

Це означає, що

\ h_{00} = -2 \Phi , \quad h_{ii} = 2\Phi , \quad h_{jk} = 0,

і остаточно метрика може бути записана у вигляді

\ ds^{2} = (1 + 2 \Phi )dt^{2} - (1 - 2\Phi ) d\mathbf r^{2}.

Якщо маємо точкове статичне джерело маси \ T_{00} = M\delta^{3}(\mathbf x ), \quad T_{0k} = T_{ij} = 0, можна отримати точну метрику

\ ds^{2} = (1 - 2 \frac{M}{r} )dt^{2} - (1 + 2 \frac{M}{r} ) d\mathbf r^{2}.

Наведена метрика не враховує: нелінійні поправки порядку \ \Phi^{2}, оскільки вони зникають через лінеаризацію; поправки через ненульові значення \ \bar {h}_{0j} (вони пропорційні \ \Phi v \approx \Phi \frac{|T_{0j}|}{T_{00}}, де швидкість відповідає характерній швидкості руху джерела); поправки через ненульові значення \ \bar {h}_{jk} \approx \Phi \left(\frac{|T_{jk}|}{T_{00}}\right).

Тепер можна оцінити, як точно результати, що даються, будуть узгоджуватися із експериментальними.

Відхилення світлаEdit

Можна записати рівняння геодезичних для фотона (\ d\tau \to \frac{d\tau}{m}),

\ \frac{d p^{\alpha}}{d \tau} + \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma} p^{\beta} p^{\gamma} = 0,

опустивши індекси та внісши у першому доданку метрику під знак похідної. Тоді

\ \frac{dP_{\alpha}}{d \tau} - p^{\delta}\frac{d h_{\delta \alpha}}{d \tau} + \frac{1}{2}(\partial_{\beta}h_{\alpha \gamma} + \partial_{\gamma}h_{\alpha \beta} - \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma})p^{\beta}p^{\gamma} = |\frac{d}{d \tau} = p^{\beta}\partial_{\beta}| = \frac{d P_{\alpha}}{d \tau} - p^{\beta}p^{\delta}\partial_{\beta}h_{\alpha \delta} + p^{\beta}p^{\delta}\partial_{\beta}h_{\alpha \delta} - \frac{1}{2} \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma} = \frac{d P_{\alpha}}{d \tau} - \frac{1}{2} \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma} = 0,

де \ P_{\alpha} = (\eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta})p^{\beta}.

Нехай тепер відхилення відбувається у площині \ xz, при цьому "незбурене" світло рухалося по вісі \ Oz, а прицільний параметр вздовж вісі \ Ox був рівен \ l. Оскільки похідні від метрики приймають дуже малі значення, то можна грубо припустити, що наближено на всій траєкторії виконуються рівності

\ p^{1} = p^{2} = 0, \quad p^{0} = p^{3} = \frac{dz}{d\lambda} = \omega = const,

і тому

\ \frac{dP_{1}}{d\lambda} = \frac{1}{2}\partial_{1}(h_{00} + 2h_{03} + h_{33})\omega^{2} = -2\frac{Mx}{r^{3}}\omega^{2} \Rightarrow \frac{1}{\omega^{2}}\frac{dP_{1}}{d \lambda} = \frac{1}{\omega} \frac{d \lambda}{d z}\frac{dP_{1}}{d\lambda} = \frac{1}{\omega}\frac{dP_{1}}{dz} = -\frac{2Mx}{r^{3}}.

Шукану зміну кута наближено можна знайти як (порівняння траєкторій у початковій та кінцевій точках, причому кінцева точка знаходиться на нескінченності, тому \ P_{1} \approx p_{1})

\ \Delta \varphi \approx -\left( \frac{p_{1}}{p_{3}}\right)_{final} \approx -\left( \frac{P_{1}}{p_{3}}\right)_{final} = -\frac{1}{\omega}\int \frac{dP_{1}}{dz}dz = \int \frac{2Mx_{final}dz}{(x^2_{final} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} = |x_{final} \approx l| = \frac{4 M}{l}.

Цей результат узгоджується з експериментальними даними (наприклад, із даними для світла, для якого прицільна відстань була рівна радіусу Сонця).

Зміщення перигеліюEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Червоне зміщенняEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Гравітаційні плоскі хвиліEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Подальше дослідження теоріїEdit

Лагранжів формалізм. Протирічливість теоріїEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Від лінеаризованих рівнянь до рівнянь ЕйнштейнаEdit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.