NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Процедура лінеаризації. Рівняння поля[]

Нехай метричний тензор можна представити як

.

Це відповідає ситуації, коли розглядається гравітаційне поле вдалі від гравітуючого тіла, а отже, метричні коефіцієнти можуть бути представлені розкладом в ряд по деякому параметру та обмеженням по заданому порядку малості. Усі рівняння, що пов'язані із метрикою, повинні утримувати перший порядок малості по , тому всі рівняння будуть лінійними. Відповідно, така теорія називається лінеаризованою ЗТВ.

Отже, можна отримати лінеаризовані вирази для тензорів Рімана, Річчі, скалярної кривини, рівняння геодезичних та Ейнштейна у такій теорії, а потім проаналізувати передбачення та розв'язки рівнянь для теорії.

Геометричні величини та рівняння лінеаризованої ЗТВ[]

Геометричні величини[]

На початку треба отримати вираз для метричного тензора з верхніми індексами: це можна зробити з умови

,

що одразу дає, при умові збереження першого порядку малості по тензору ,

.

Досить просто отримати вирази для геометричних величин у рамках лінеаризованої ЗТВ. Наприклад, використовуючи формулу розділу про тензор кривини та враховуючи, що у виразах для згорток символів Кристоффеля кожен доданок містить лише квадратичні по похідним від доданки, якими треба знехтувати, можна одразу записати, що тензор кривини рівен

.

Відповідно, його згортки виражаються як

.

Рівняння Ейнштейна. Калібрувальна інваріантність та загальні умови на тензор-поправку[]

Відповідні рівняння Ейнштейна набудуть вигляду

.

Можна також ввести величину

.

Із її введенням рівняння Ейнштейна може бути переписане як

.

Ліва частина отриманого рівняння відповідає рівнянню на безмасове поле спіральності 2 у плоскому просторі-часі при введенні поля ). Можна також показати, що на тензор можна накласти умову поперечності . Дійсно, оскільки тензор Рімана є інваріантним відносно таких перетворень, то тензор Ейнштейна, ліва частина рівняння Ейнштейна, також є калібрувально-інваріантним. Тому завжди можна підібрати чотири вектори так, що буде виконуватись умова :

.

Для подальших застосувань ізометрій треба тепер враховувати, що повинна зберігатись умова поперечності . Це означає, що повинна виконуватись умова

.

З урахуванням же умови поперечності рівняння Ейнштейна може бути записане як

.

Деякі розв'язки-передбачення, що даються теорією[]

У загальному випадку, як і для електромагнітного поля із його рівнянням , розв'язок для рівняння Ейнштейна має вигляд ()

.

Квазіньютонівські поля[]

Нехай , при цьому також положення точки, у якій визначається поле, знаходиться достатньо близько до джерела (у нехвильовій зоні), тому запізненням можна знехтувати. Тоді задача відповідає квазіньютонівському випадку, і можна записати, що

.

Це означає, що

,

і остаточно метрика може бути записана у вигляді

.

Якщо маємо точкове статичне джерело маси , можна отримати точну метрику

.

Наведена метрика не враховує: нелінійні поправки порядку , оскільки вони зникають через лінеаризацію; поправки через ненульові значення (вони пропорційні , де швидкість відповідає характерній швидкості руху джерела); поправки через ненульові значення .

Тепер можна оцінити, як точно результати, що даються, будуть узгоджуватися із експериментальними.

Відхилення світла[]

Можна записати рівняння геодезичних для фотона (),

,

опустивши індекси та внісши у першому доданку метрику під знак похідної. Тоді

,

де .

Нехай тепер відхилення відбувається у площині , при цьому "незбурене" світло рухалося по вісі , а прицільний параметр вздовж вісі був рівен . Оскільки похідні від метрики приймають дуже малі значення, то можна грубо припустити, що наближено на всій траєкторії виконуються рівності

,

і тому

.

Шукану зміну кута наближено можна знайти як (порівняння траєкторій у початковій та кінцевій точках, причому кінцева точка знаходиться на нескінченності, тому )

.

Цей результат узгоджується з експериментальними даними (наприклад, із даними для світла, для якого прицільна відстань була рівна радіусу Сонця).

Зміщення перигелію[]

Червоне зміщення[]

Гравітаційні плоскі хвилі[]

Подальше дослідження теорії[]

Лагранжів формалізм. Протирічливість теорії[]

Від лінеаризованих рівнянь до рівнянь Ейнштейна[]

Advertisement