Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності" .
Процедура лінеаризації. Рівняння поля [ ]
Нехай метричний тензор можна представити як
g
μ
ν
=
η
μ
ν
+
h
μ
ν
,
|
|
h
μ
ν
|
|
<<
1
{\displaystyle \ g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}, \quad ||h_{\mu \nu}|| << 1}
.
Це відповідає ситуації, коли розглядається гравітаційне поле вдалі від гравітуючого тіла, а отже, метричні коефіцієнти можуть бути представлені розкладом в ряд по деякому параметру та обмеженням по заданому порядку малості. Усі рівняння, що пов'язані із метрикою, повинні утримувати перший порядок малості по
h
μ
ν
{\displaystyle \ h_{\mu \nu}}
, тому всі рівняння будуть лінійними. Відповідно, така теорія називається лінеаризованою ЗТВ.
Отже, можна отримати лінеаризовані вирази для тензорів Рімана, Річчі, скалярної кривини, рівняння геодезичних та Ейнштейна у такій теорії, а потім проаналізувати передбачення та розв'язки рівнянь для теорії.
Геометричні величини та рівняння лінеаризованої ЗТВ [ ]
Геометричні величини [ ]
На початку треба отримати вираз для метричного тензора з верхніми індексами: це можна зробити з умови
g
i
k
g
i
l
=
δ
k
l
{\displaystyle \ g_{ik}g^{il} = \delta^{l}_{k}}
,
що одразу дає, при умові збереження першого порядку малості по тензору
h
i
k
{\displaystyle \ h_{ik}}
,
g
i
k
=
η
i
k
−
h
i
k
{\displaystyle \ g^{ik} = \eta^{ik} - h^{ik}}
.
Досить просто отримати вирази для геометричних величин у рамках лінеаризованої ЗТВ. Наприклад, використовуючи формулу
(
2
)
{\displaystyle \ (2)}
розділу про тензор кривини та враховуючи, що у виразах для згорток символів Кристоффеля кожен доданок містить лише квадратичні по похідним від
h
μ
ν
{\displaystyle \ h_{\mu \nu}}
доданки, якими треба знехтувати, можна одразу записати, що тензор кривини рівен
R
i
k
l
m
=
1
2
(
∂
k
∂
l
h
i
m
+
∂
i
∂
m
h
k
l
−
∂
k
∂
m
h
i
l
−
∂
i
∂
l
h
k
m
)
{\displaystyle \ R_{iklm} = \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial_{l}h_{im} + \partial_{i}\partial_{m}h_{kl} - \partial_{k}\partial_{m}h_{il} - \partial_{i}\partial_{l}h_{km})}
.
Відповідно, його згортки виражаються як
R
k
m
=
η
i
l
R
i
k
l
m
=
1
2
(
∂
k
∂
i
h
i
m
+
∂
m
∂
i
h
k
i
−
∂
k
∂
m
h
−
∂
2
h
k
m
)
,
R
=
η
k
m
R
k
m
=
∂
i
∂
j
h
i
j
−
∂
2
h
{\displaystyle \ R_{k m} = \eta^{il}R_{iklm} = \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial^{i}h_{im} + \partial_{m}\partial^{i}h_{ki} - \partial_{k}\partial_{m}h - \partial^{2}h_{km}), \quad R = \eta^{km}R_{km} = \partial^{i}\partial^{j}h_{ij} - \partial^{2}h}
.
Рівняння Ейнштейна. Калібрувальна інваріантність та загальні умови на тензор-поправку [ ]
Відповідні рівняння Ейнштейна набудуть вигляду
R
k
m
−
1
2
η
k
m
R
=
8
π
G
T
k
m
⇒
∂
k
∂
i
h
i
m
+
∂
m
∂
i
h
k
i
−
∂
k
∂
m
h
−
∂
2
h
k
m
−
η
k
m
(
∂
i
∂
j
h
i
j
−
∂
2
h
)
=
16
π
G
T
k
m
{\displaystyle \ R_{km} - \frac{1}{2}\eta_{km} R = 8 \pi G T_{km} \Rightarrow \partial_{k}\partial^{i}h_{im} + \partial_{m}\partial^{i}h_{ki} - \partial_{k}\partial_{m}h - \partial^{2}h_{km} - \eta_{km}(\partial^{i}\partial^{j}h_{ij} - \partial^{2}h) = 16 \pi G T_{km}}
.
Можна також ввести величину
h
¯
μ
ν
=
h
μ
ν
−
1
2
η
μ
ν
h
,
h
¯
=
0
⇒
h
μ
ν
=
h
¯
μ
ν
−
1
2
η
μ
ν
h
{\displaystyle \ \bar {h}_{\mu \nu} = h_{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu}h, \quad \bar {h} = 0 \Rightarrow h_{\mu \nu} = \bar {h}_{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu} h}
.
Із її введенням рівняння Ейнштейна може бути переписане як
∂
m
∂
i
h
¯
i
k
+
∂
k
∂
i
h
¯
i
m
−
∂
2
h
¯
k
m
−
η
k
m
∂
i
∂
j
h
¯
i
j
=
16
π
G
T
k
m
{\displaystyle \ \partial_{m}\partial^{i}\bar {h}_{ik} + \partial_{k}\partial^{i}\bar {h}_{im} - \partial^{2}\bar {h}_{km} - \eta_{km} \partial^{i}\partial^{j}\bar {h}_{ij} = 16 \pi G T_{km}}
.
Ліва частина отриманого рівняння відповідає рівнянню на безмасове поле спіральності 2
C
μ
ν
α
β
{\displaystyle \ C_{\mu \nu \alpha \beta}}
у плоскому просторі-часі при введенні поля
h
μ
ν
{\displaystyle \ h_{\mu \nu}}
). Можна також показати, що на тензор
h
α
β
{\displaystyle \ h_{\alpha \beta}}
можна накласти умову поперечності
∂
μ
h
μ
ν
=
0
{\displaystyle \ \partial_{\mu}h^{\mu \nu} = 0}
. Дійсно, оскільки тензор Рімана є інваріантним відносно таких перетворень, то тензор Ейнштейна, ліва частина рівняння Ейнштейна, також є калібрувально-інваріантним. Тому завжди можна підібрати чотири вектори
ε
ν
{\displaystyle \ \varepsilon_{\nu}}
так, що буде виконуватись умова
∂
μ
h
¯
μ
ν
=
0
{\displaystyle \ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} = 0}
:
∂
μ
h
¯
μ
ν
′
=
∂
μ
h
¯
μ
ν
+
∂
2
ε
ν
+
∂
ν
∂
μ
ε
μ
−
2
1
2
∂
ν
η
μ
ν
∂
μ
ε
μ
=
∂
μ
h
¯
μ
ν
+
∂
2
ε
ν
=
0
⇒
∂
2
ε
ν
=
−
∂
μ
h
¯
μ
ν
{\displaystyle \ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}{'} = \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} + \partial^{2}\varepsilon^{\nu} + \partial^{\nu}\partial_{\mu}\varepsilon^{\mu} - 2 \frac{1}{2}\partial_{\nu} \eta^{\mu \nu}\partial_{\mu }\varepsilon^{\mu} = \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} + \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = 0 \Rightarrow \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = -\partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}}
.
Для подальших застосувань ізометрій треба тепер враховувати, що повинна зберігатись умова поперечності
∂
μ
h
¯
μ
ν
=
0
{\displaystyle \ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} = 0}
. Це означає, що повинна виконуватись умова
∂
μ
h
¯
μ
ν
′
=
∂
2
ε
ν
=
0
{\displaystyle \ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}{'} = \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = 0}
.
З урахуванням же умови поперечності рівняння Ейнштейна може бути записане як
−
∂
2
h
¯
k
m
=
16
π
G
T
k
m
(
1
)
{\displaystyle \ -\partial^{2}\bar {h}_{km} = 16 \pi G T_{km} \qquad (1)}
.
Деякі розв'язки-передбачення, що даються теорією [ ]
У загальному випадку, як і для електромагнітного поля із його рівнянням
∂
2
A
μ
=
4
π
ρ
{\displaystyle \ \partial^{2}A_{\mu} = 4 \pi \rho }
, розв'язок для рівняння Ейнштейна
(
1
)
{\displaystyle \ (1)}
має вигляд (
G
=
1
{\displaystyle \ G = 1}
)
h
¯
μ
ν
(
t
,
x
)
=
4
∫
T
μ
ν
(
t
−
|
x
−
x
′
|
,
x
′
)
d
3
x
′
|
x
−
x
′
|
(
2
)
{\displaystyle \ \bar {h}_{\mu \nu}(t, \mathbf x) = 4 \int \frac{T_{\mu \nu}(t - |\mathbf x - \mathbf x ' |, \mathbf x')d^{3}\mathbf x'}{|\mathbf x - \mathbf x '|} \qquad (2)}
.
Квазіньютонівські поля [ ]
Нехай
T
00
>>
|
T
0
j
|
,
T
00
>>
|
T
i
k
|
{\displaystyle \ T_{00} >> |T_{0j}|, T_{00} >> |T_{ik}|}
, при цьому також положення точки, у якій визначається поле, знаходиться достатньо близько до джерела (у нехвильовій зоні), тому запізненням можна знехтувати. Тоді задача відповідає квазіньютонівському випадку, і можна записати, що
h
¯
00
=
4
∫
T
00
(
t
,
x
′
)
d
3
x
′
|
x
−
x
′
|
=
−
4
Φ
,
h
¯
0
k
=
h
¯
j
k
=
0
{\displaystyle \ \bar {h}_{00} = 4 \int \frac{T_{00}(t, \mathbf x' )d^{3}\mathbf x'}{|\mathbf x - \mathbf x' |} = -4\Phi , \quad \bar {h}_{0k} = \bar {h}_{jk} = 0}
.
Це означає, що
h
00
=
−
2
Φ
,
h
i
i
=
2
Φ
,
h
j
k
=
0
{\displaystyle \ h_{00} = -2 \Phi , \quad h_{ii} = 2\Phi , \quad h_{jk} = 0}
,
і остаточно метрика може бути записана у вигляді
d
s
2
=
(
1
+
2
Φ
)
d
t
2
−
(
1
−
2
Φ
)
d
r
2
{\displaystyle \ ds^{2} = (1 + 2 \Phi )dt^{2} - (1 - 2\Phi ) d\mathbf r^{2}}
.
Якщо маємо точкове статичне джерело маси
T
00
=
M
δ
3
(
x
)
,
T
0
k
=
T
i
j
=
0
{\displaystyle \ T_{00} = M\delta^{3}(\mathbf x ), \quad T_{0k} = T_{ij} = 0}
, можна отримати точну метрику
d
s
2
=
(
1
−
2
M
r
)
d
t
2
−
(
1
+
2
M
r
)
d
r
2
{\displaystyle \ ds^{2} = (1 - 2 \frac{M}{r} )dt^{2} - (1 + 2 \frac{M}{r} ) d\mathbf r^{2}}
.
Наведена метрика не враховує: нелінійні поправки порядку
Φ
2
{\displaystyle \ \Phi^{2}}
, оскільки вони зникають через лінеаризацію; поправки через ненульові значення
h
¯
0
j
{\displaystyle \ \bar {h}_{0j}}
(вони пропорційні
Φ
v
≈
Φ
|
T
0
j
|
T
00
{\displaystyle \ \Phi v \approx \Phi \frac{|T_{0j}|}{T_{00}}}
, де швидкість відповідає характерній швидкості руху джерела); поправки через ненульові значення
h
¯
j
k
≈
Φ
(
|
T
j
k
|
T
00
)
{\displaystyle \ \bar {h}_{jk} \approx \Phi \left(\frac{|T_{jk}|}{T_{00}}\right)}
.
Тепер можна оцінити, як точно результати, що даються, будуть узгоджуватися із експериментальними.
Відхилення світла [ ]
Можна записати рівняння геодезичних для фотона (
d
τ
→
d
τ
m
{\displaystyle \ d\tau \to \frac{d\tau}{m}}
),
d
p
α
d
τ
+
Γ
β
γ
α
p
β
p
γ
=
0
{\displaystyle \ \frac{d p^{\alpha}}{d \tau} + \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma} p^{\beta} p^{\gamma} = 0}
,
опустивши індекси та внісши у першому доданку метрику під знак похідної. Тоді
d
P
α
d
τ
−
p
δ
d
h
δ
α
d
τ
+
1
2
(
∂
β
h
α
γ
+
∂
γ
h
α
β
−
∂
α
h
β
γ
)
p
β
p
γ
=
|
d
d
τ
=
p
β
∂
β
|
=
d
P
α
d
τ
−
p
β
p
δ
∂
β
h
α
δ
+
p
β
p
δ
∂
β
h
α
δ
−
1
2
∂
α
h
β
γ
p
β
p
γ
=
d
P
α
d
τ
−
1
2
∂
α
h
β
γ
p
β
p
γ
=
0
{\displaystyle \ \frac{dP_{\alpha}}{d \tau} - p^{\delta}\frac{d h_{\delta \alpha}}{d \tau} + \frac{1}{2}(\partial_{\beta}h_{\alpha \gamma} + \partial_{\gamma}h_{\alpha \beta} - \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma})p^{\beta}p^{\gamma} = |\frac{d}{d \tau} = p^{\beta}\partial_{\beta}| = \frac{d P_{\alpha}}{d \tau} - p^{\beta}p^{\delta}\partial_{\beta}h_{\alpha \delta} + p^{\beta}p^{\delta}\partial_{\beta}h_{\alpha \delta} - \frac{1}{2} \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma} = \frac{d P_{\alpha}}{d \tau} - \frac{1}{2} \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma} = 0}
,
де
P
α
=
(
η
α
β
+
h
α
β
)
p
β
{\displaystyle \ P_{\alpha} = (\eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta})p^{\beta}}
.
Нехай тепер відхилення відбувається у площині
x
z
{\displaystyle \ xz}
, при цьому "незбурене" світло рухалося по вісі
O
z
{\displaystyle \ Oz}
, а прицільний параметр вздовж вісі
O
x
{\displaystyle \ Ox}
був рівен
l
{\displaystyle \ l }
. Оскільки похідні від метрики приймають дуже малі значення, то можна грубо припустити, що наближено на всій траєкторії виконуються рівності
p
1
=
p
2
=
0
,
p
0
=
p
3
=
d
z
d
λ
=
ω
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \ p^{1} = p^{2} = 0, \quad p^{0} = p^{3} = \frac{dz}{d\lambda} = \omega = const}
,
і тому
d
P
1
d
λ
=
1
2
∂
1
(
h
00
+
2
h
03
+
h
33
)
ω
2
=
−
2
M
x
r
3
ω
2
⇒
1
ω
2
d
P
1
d
λ
=
1
ω
d
λ
d
z
d
P
1
d
λ
=
1
ω
d
P
1
d
z
=
−
2
M
x
r
3
{\displaystyle \ \frac{dP_{1}}{d\lambda} = \frac{1}{2}\partial_{1}(h_{00} + 2h_{03} + h_{33})\omega^{2} = -2\frac{Mx}{r^{3}}\omega^{2} \Rightarrow \frac{1}{\omega^{2}}\frac{dP_{1}}{d \lambda} = \frac{1}{\omega} \frac{d \lambda}{d z}\frac{dP_{1}}{d\lambda} = \frac{1}{\omega}\frac{dP_{1}}{dz} = -\frac{2Mx}{r^{3}}}
.
Шукану зміну кута наближено можна знайти як (порівняння траєкторій у початковій та кінцевій точках, причому кінцева точка знаходиться на нескінченності, тому
P
1
≈
p
1
{\displaystyle \ P_{1} \approx p_{1}}
)
Δ
φ
≈
−
(
p
1
p
3
)
f
i
n
a
l
≈
−
(
P
1
p
3
)
f
i
n
a
l
=
−
1
ω
∫
d
P
1
d
z
d
z
=
∫
2
M
x
f
i
n
a
l
d
z
(
x
f
i
n
a
l
2
+
z
2
)
3
2
=
|
x
f
i
n
a
l
≈
l
|
=
4
M
l
{\displaystyle \ \Delta \varphi \approx -\left( \frac{p_{1}}{p_{3}}\right)_{final} \approx -\left( \frac{P_{1}}{p_{3}}\right)_{final} = -\frac{1}{\omega}\int \frac{dP_{1}}{dz}dz = \int \frac{2Mx_{final}dz}{(x^2_{final} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} = |x_{final} \approx l| = \frac{4 M}{l}}
.
Цей результат узгоджується з експериментальними даними (наприклад, із даними для світла, для якого прицільна відстань була рівна радіусу Сонця).
Зміщення перигелію [ ]
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
Червоне зміщення [ ]
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
Гравітаційні плоскі хвилі [ ]
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
Подальше дослідження теорії [ ]
Лагранжів формалізм. Протирічливість теорії [ ]
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
Від лінеаризованих рівнянь до рівнянь Ейнштейна [ ]
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }