FANDOM


Доведення 1Edit

Вираз для дії вільного ЕМ поля.

Можна розписати згортку $ \ F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = (\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}) = \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} - \partial_{\beta}A_{\alpha}\partial^{\alpha}A^{\beta} + \partial_{\beta}A_{\alpha}\partial^{\beta}A^{\alpha} $.

Оскільки згортка призводить до скалярного виразу, то всі індекси - сумаційні. Через це їх можна перепозначити довільною буквою. Якщо у третьому та четвертому доданках перепозначити індекси $ \ \alpha , \beta $, то вийде

$ \ F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = (\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}) = \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} + \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} = 2\left( \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha}\right) $.

Отже,

$ \ L = - \frac{1}{c}A^{\alpha}j_{\alpha} -\frac{1}{16 \pi c}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = - \frac{1}{c^{2}}A^{\alpha}j_{\alpha} -\frac{1}{8 \pi c}\left( \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha}\right) $.

В принципі, константу $ \ b $ можна було б покласти рівною нулю, оскільки при використанні калібровки Лоренца величини, що стоять при ній, не грають ніякої ролі у визначенні напруженості та індукції полів, а отже, вклад цієї величини для класичної електродинаміки є лише у функцію Лагранжа. Проте цей доданок фігурує у лагранжіані, щоб мати можливість обирати довільне калібрування в отриманих (вирази $ \ (2), (3) $ у посиланні) у статті "Електродинаміка" рівняннях поля.

Перший доданок у $ \ (.1) $ обрано із множником $ \ -\frac{1}{c} $, щоб він повністю відповідав польовому вкладу у дію для частинки у електромагнітному полі (і в функцію Лагранжа). Дійсно,

$ \ -\frac{1}{c}\int A_{\alpha}j^{\alpha}d^{4}x = -\frac{q}{c}\int A_{\alpha}\frac{dx^{\alpha}}{cdt}\delta (\mathbf r - \mathbf r_{0}(t) )cdt d^{3}\mathbf x = -\frac{q}{c}A_{\alpha}x^{\alpha}dt $,

де дельта-функція згортає інтеграл по об'єму так, що $ \ \mathbf A (\mathbf r , t) -> \mathbf A (\mathbf r_{0}(t), t) $.

Отже, тоді сумарна дія для зарядів і поля буде рівною

$ \ S = -mc^{2}\int ds - \frac{q}{c}\int A_{\alpha}dx^{\alpha} - \frac{1}{16 \pi c}\int F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta}d^{4}x $.

За такої дії відразу враховується принцип самоузгодженого поля.