FANDOM


Доведення 1Edit

Вираз для дії вільного ЕМ поля.

Можна розписати згортку \ F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = (\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}) = \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} - \partial_{\beta}A_{\alpha}\partial^{\alpha}A^{\beta} + \partial_{\beta}A_{\alpha}\partial^{\beta}A^{\alpha}.

Оскільки згортка призводить до скалярного виразу, то всі індекси - сумаційні. Через це їх можна перепозначити довільною буквою. Якщо у третьому та четвертому доданках перепозначити індекси \ \alpha , \beta, то вийде

\ F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = (\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}) = \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} + \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} = 2\left( \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha}\right).

Отже,

\ L = - \frac{1}{c}A^{\alpha}j_{\alpha} -\frac{1}{16 \pi c}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = - \frac{1}{c^{2}}A^{\alpha}j_{\alpha} -\frac{1}{8 \pi c}\left( \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha}\right).

В принципі, константу \ b можна було б покласти рівною нулю, оскільки при використанні калібровки Лоренца величини, що стоять при ній, не грають ніякої ролі у визначенні напруженості та індукції полів, а отже, вклад цієї величини для класичної електродинаміки є лише у функцію Лагранжа. Проте цей доданок фігурує у лагранжіані, щоб мати можливість обирати довільне калібрування в отриманих (вирази \ (2), (3) у посиланні) у статті "Електродинаміка" рівняннях поля.

Перший доданок у \ (.1) обрано із множником \ -\frac{1}{c}, щоб він повністю відповідав польовому вкладу у дію для частинки у електромагнітному полі (і в функцію Лагранжа). Дійсно,

\ -\frac{1}{c}\int A_{\alpha}j^{\alpha}d^{4}x = -\frac{q}{c}\int A_{\alpha}\frac{dx^{\alpha}}{cdt}\delta (\mathbf r - \mathbf r_{0}(t) )cdt d^{3}\mathbf x = -\frac{q}{c}A_{\alpha}x^{\alpha}dt,

де дельта-функція згортає інтеграл по об'єму так, що \ \mathbf A (\mathbf r , t) -> \mathbf A (\mathbf r_{0}(t), t).

Отже, тоді сумарна дія для зарядів і поля буде рівною

\ S = -mc^{2}\int ds - \frac{q}{c}\int A_{\alpha}dx^{\alpha} - \frac{1}{16 \pi c}\int F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta}d^{4}x.

За такої дії відразу враховується принцип самоузгодженого поля.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.