FANDOM


Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Аномалії як об'єкти топологічної природи є масштабно-інваріантними, що, зокрема, означає, що вільна від калібрувальних аномалій теорія залишається такою на будь-яких енергіях. У розділі про аномалії та ефективні теорії поля було показано, що внаслідок цієї властивості ефективні теорії поля, що отримані із вільних від аномалій фундаментальних теорій відинтегровуванням ступенів вільності, містять масштабно-інваріантні члени, які в точності відтворюють аномальний внесок відинтегрованих ступенів вільності. У окремих випадках такі члени містять також нетривіальну взаємодію полів за типом черн-саймонівської, \ \partial \wedge A \wedge \partial \wedge B, де \ \wedge позначає згортку із тензором Леві-Чивіта.

Метою цього розділу є застосування того ж самого підходу до теорій, у яких відбувається спонтанне порушення глобальної симетрії, внаслідок чого у спектрі частинок з'являються голдстоунівські бозони.

Зайві симетрії "наївної" кіральної ефективної теорії поля. Член Весса-ЗуміноEdit

Як відомо, у квантовій хромодинаміці на масштабі \ \Lambda_{QCD} відбувається спонтанне порушення (майже точної) глобальної групи симетрії кварків \ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3) до \ SU_{f}(3), внаслідок чого виникає 8 псевдоголдстунівських бозонів - мезонів (роль порушуючого симетрію доданку у фундаментальній КХД, що дає мезонам масу, грає масовий член кварків). Низькоенергетичний лагранжіан КХД можна переписати у термінах мезонних полів, виділяючи їх ступені вільності у кваркових полях та замінюючи білінійні форми кваркових полів у лагранжіані ненульовим вакуумним середнім. Отриманий лагранжіан називається кіральною ефективною теорією поля:

\ L = \frac{F_{\pi}^{2}}{16}Tr[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U] + ... \qquad (0),

де три крапки позначають масовий член та можливі старші доданки із більшим числом матриць \ U, які у принципі виникають внаслідок того, що у дійсності побудова повної кіральної ефективної теорії поля є непертурбативною, і у \ (0) мають бути присутніми усі доданки, дозволені кіральною симетрією. У найнижчому порядку \ U \approx \text{1} + \frac{i}{F_{\pi}^{2}}\sum_{a}\lambda_{a}\epsilon^{a}.

Із врахуванням першого члену \ (0) рівняння руху будуть мати вигляд

\ \frac{1}{8 F_{\pi}^{2}}\partial_{\mu}(U^{\dagger}\partial^{\mu}U) = 0 \qquad (1).

Проінтерпретуємо \ (0), (1) у контексті КХД. Лагранжіан \ (0) містить, звичайно, симетрії КХД: глобальні перетворення \ U_{L}(3)\times U_{R}(3) та перетворення парності \ U(\mathbf r , t) \to U^{\dagger}(-\mathbf r , t). Окрім того, він також містить "зайві" окремі симетрії

\ U(\mathbf r , t) \to U(-\mathbf r , t), \quad U(x) \to U^{\dagger}(x) \equiv U^{-1}(x) \qquad (2),

яких не має КХД. Дійсно, при \ \mathbf r \to -\mathbf r похідна перетворюється як \ \partial_{\mu}\to\partial^{\mu}, і \ (0) не змінюється. Аналогічно, внаслідок циклічної перестановки під знаком сліду, не змінюється \ (0) і при перетвореннях \ U \to U^{\dagger}.

Ці симетрії забороняють, зокрема, процеси \ K^{+}K^{-} \to \pi^{+}\pi^{-}\pi^{0} та \ \eta \pi^{0} \to \pi^{+}\pi^{-}\pi^{0}, які у загальному випадку відповідають розпаду парної кількості псевдоскалярних мезонів у непарну. Для демонстрації цих тверджень варто згадати явний вигляд матриці \ \hat{B} у виразі \ U = e^{i\hat{B}} через мезонні поля.

Ці процеси відбуваються завдяки кіральним аномаліям у КХД, а теорія \ (1), отримана наївною заміною кваркових білінійних форм на вакуумне середнє, не знає про аномалії. Щоб усунути протиріччя теорії \ (0) та КХД, треба у дію \ (0) чи, еквівалентно, у рівняння \ (1), додати член, який забороняв би окремі симетрії \ (2). Найпростіше це можна зробити, явно порушивши симетрію заміни \ \mathbf r \to -\mathbf r. Це відповідає тому, що у рівняння \ (1) треба включити член із тензором Леві-Чивіта. Вимога отримати коваріантне рівняння руху та збереження симетрії \ U(\mathbf r) \to U^{\dagger}(-\mathbf r) при порушенні \ U(x) \to U^{\dagger}(x) дозволяє сконструювати явний вигляд члену:

\ \lambda\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(U^{\dagger}\partial_{\mu}UU^{\dagger}\partial_{\nu}U U^{\dagger}\partial_{\alpha}UU^{\dagger}\partial_{\beta}U).

Дійсно, перетворення \ U \to U^{\dagger} переводить вираз \ L_{\mu} \equiv U\partial_{\mu}U^{\dagger} у

\ U^{\dagger}\partial_{\mu}U = -\partial_{\mu}U^{\dagger} U = -UL_{\mu}U^{\dagger}.

Це означає, що вираз \ L_{\mu}L_{\alpha}L_{\gamma}L_{\delta} переходить у

\ UL_{\mu}L_{\alpha}L_{\gamma}L_{\delta}U^{\dagger},

а вираз \ \partial_{\mu}(L^{\mu}) - у

\ -\partial_{\mu}(UL^{\mu}U^{\dagger}) = -U\partial_{\mu}L^{\mu}U^{\dagger}.

У результаті рівняння

\ \frac{F_{\pi}^{2}}{2}\partial_{\mu}L^{\mu} + \lambda \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}L_{\mu}L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta} = 0

перейде у

\ \frac{F_{\pi}^{2}}{2}\partial_{\mu}L^{\mu} - \lambda \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}L_{\mu}L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta} = 0.

Отже, член із тензором Леві-Чивіта порушує симетрії \ (2), проте зберігає комбіноване перетворення \ U(\mathbf r ) \to U^{\dagger}(-\mathbf r ) .

Як записати цей член у лагранжіан? Виявляється, що у чотиривимірному просторі не вдасться записати відповідний \ SU(3)\times SU(3)-інваріантний доданок. Дійсно, єдиним кандидатом на роль цього доданку може бути лише вираз \ L_{4} = \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[L_{\mu}L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta}], проте він зануляється в силу перестановочних властивостей сліду. Варто також зазначити, що за формою вираз \ \int d^{4}x L_{4} співпадає із інтегральним інваріантом Маурера-Картана для \ d = 4, а, як було показано, цей інваріант не рівний нулю лише для простору непарної розмірності.

Рівняння \ (1) можна отримати, ввівши у дію член

\ n\Gamma_{WZ} = \frac{ni}{240 \pi^{2}}\int_{B_{5}} d^{5}x\epsilon^{ijklm}L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m} \qquad (3),

де \ i, j, k, l, m приймають 5 значень, що відповідають координатам \ x_{\mu}, s, а \ B_{5} - п'ятивимірна куля, поверхнею якої є 4-сфера; множник \ \frac{i}{240 \pi^{2}} введено для зручності, а \ L_{k} - функції, записані у термінах полів \ U(x, s), які є формально визначеними через граничні умови: \ U(x, 0) = U(x, 1) \equiv U(x) (докладніше про це - див. у підрозділі "Топологічне квантування члену Весса-Зуміно" нижче).

Використовуючи вираз для \ U(x), \ U(x) = e^{2\sqrt{2}i\frac{B}{F}}, де \ B - матриця полів голдстоунівських бозонів, можна переписати вираз \ (3) у вигляді інтегралу по простору Мінковського:

\ n\Gamma_{WZ} \approx \frac{8\sqrt{2}in}{15 F_{\pi}^{5}\pi^{2}}\int d^{5}x \epsilon^{ijklm}\left[\partial_{i}B\partial_{j}B\partial_{k}B\partial_{l}B\partial_{m}B \right] = \frac{8\sqrt{2}in}{15 F_{\pi}^{5}\pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\int d^{4}x\left[ B\partial_{\mu}B\partial_{\nu}B\partial_{\alpha}B\partial_{\beta}B\right] \qquad (4),

де була використана теорема Гаусса. Отриманий вираз є кірально-інваріантним, проте його не можна записати як інтеграл від кірально-інваріантної густини, оскіьки така густина має бути побудована із перших або більш високих похідних голдстоунівських бозонів, що означає, що ця густина має починатися із доданку лише із похідними від \ B.

Член \ (3) називається членом Весса-Зуміно. У загальному випадку він виникає у будь-якій теорії із спонтанним порушенням симетрії деякої групи до її підгрупи, причому підгрупа має мати нетривіальну гомотопічну групу. Це можна зрозуміти наступним чином. Доповнюється.

Топологічне квантування члену Весса-ЗуміноEdit

Коефіцієнт \ n при \ \Gamma_{WZ} має бути цілим числом. Дійсно, за формою вираз для \ \Gamma_{WZ} відповідає інтегралу Маурера-Картана, який є інваріантним відносно координатних перетворень та інфінітезимальних перетворень \ U(x). Проте здійснення скачковидної варіації \ U(x) такої, що \ U(x) залишається постійною на границі п'ятивимірної кулі, змінюють \ \Gamma_{WZ}. Це і накладає обмеження на множник. Для з'ясування обмеження кулю \ B_{5} можна представити як половину сфери \ S_{5}, а простір-час \ S_{4} - як границю між \ B_{5} та іншою половиною сфери \ B_{5}{'}. Оскільки \ S_{4} являється границею одночасно і \ B_{5}{'}, то доданок \ n\Gamma_{WZ} можна подати одночасно і як доданок \  -n\Gamma_{WZ}{'}, де \ \Gamma_{WZ}{'} - інтеграл по \ B_{5}{'}, а знак мінус виникає внаслідок того, що границя \ B_{5}{'} є чотири-сферою \ S_{4} із протилежною орієнтацією.

Різниця цих величин,

\ n\Gamma_{WZ} - (-n\Gamma_{WZ}{'}),

має бути кратною \ 2\pi, оскільки лише при цьому вона на не впливає на ваговий множник континуального інтегралу \ e^{in\Gamma_{WZ} - i(-n\Gamma_{WZ}{'})} . Оскільки інтеграл по будь-якій п'ятивимірній сфері від величини у \ \Gamma_{WZ} дорівнює \ 2\pi, величина \ n із топологічних міркувань має бути цілим числом.

Нарешті, варто поговорити про законність розширення полів \ U(x) на п'ятивимірний простір у \ (3).

Коли група \ G спонтанно порушується до підгрупи \ H, множина допустимих значень голдстоунівських полів \ \epsilon_{a}(x) у будь-якій точці простору-часу (евклідового часу) визначають точку у суміжному класі \ G/H. Тому множина \ \epsilon_{a}(x) визначає відображення просторово-часової сфери \ S_{4} на \ G/H. У залежності від топології \ G/H (тривіальна чи ні відповідна гомотопічна група \ \pi_{4}(G/H)) можна продеформувати усю сферу \ S_{4} у \ G/H в одну точку. Іншими словами, якщо \ \pi_{4}(G/H) = 0, можливо розширити неперервні функції \ \epsilon_{a}(x) у функції \ \epsilon_{a}(x, s), де \ s \in (0, 1) і \ \epsilon_{a}(x, 0) = \epsilon_{a}(x), а \ \epsilon_{a}(x, 1) задає будь-яку точку на початковій сфері, наприклад, \ \epsilon_{a} = 0.

У випадку, коли \ G \simeq SU(N)\times SU(N), а \ H \simeq SU(N), то \ G/H \simeq SU(N), і \ \pi_{4}(SU(N)) = 0. Це означає, що для таких теорій можна розширити матриці \ U(x) до унімодулярної матриці \ U(y), де \ y задає п'ятивимірну кулю \ B_{5} із координатами \ x_{\mu} та \ s, поверхня якого визначає чотиривимірну сферу простору-часу.

Можна також "спростити" топологію кулі \ B_{5}, користуючись тим, що \ \pi_{1}(SU(N)) = 0. У евклідовому часі топологія \ M сфери \ S_{4} може бути подана у вигляді

\ M\sim S_{3}\times S_{1},

де \ S_{1} відповідає компактифікованій часовій евклідовій координаті. Ця сфера є границею кулі \ B_{5}. Оскільки \ \pi_{1}(SU(3)) = 0, то відображення \ M \to SU(N) може бути розширене на відображення \ Q \to SU(3), де \ Q \sim S_{3}\times D, і \ D - двовимірний диск.

Член Весса-Зуміно у групі \ SU(2)Edit

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.