FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Розділ доповнюється.

Генеруючий функціонал для фейнманівських діаграмEdit

Повернемось знову до гейзенбергівських функцій Гріна, записавши їх одразу як вакуумне середнє гейзенбергівських операторів

$ \ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \langle | \hat{N}\left( \hat{O}_{1}(x_{1})...\hat{O}_{n}(x_{n})\right)|\rangle $.

Ми вже мали справу із такою функцією; було показано, що вона дорівнює $ \ \left( \frac{\delta^{n}S_{00}[J]}{\delta J_{1}(x_{1})...\delta J_{n}(x_{n})}\right)_{J = 0} $,

де

$ \ S_{\alpha \beta} = \langle \alpha |\hat{N}e^{i \int d^{4}x(\hat{L}_{int} + \sum_{a} \hat{O}_{a}(x)J_{a}(x))}| \beta \rangle \qquad (0) $,

а $ \ J(x) $ є функціональним аргументом, який можна називати джерелом. Він є неоператорною функцією, проте якщо поле, якому воно відповідає, є ферміонним, то це джерело - грассманове. Для кожного поля потрібне своє джерело.

Нагадаю, яким чином можна, маючи гейзенбергівську функцію Гріна (у даному випадку - вакуумну) і її зв'язок із Фейнманівською діаграмою, відновити суму діаграм. Зовнішні лінії для такого функціоналу відсутні, оскільки відсутні in-, out-стани, проте з'явились вклади від $ \ J(x) $ (точніше, від його Фур'є-образу), які відповідають внутрішнім лініям, що з'єднують вершину з джерелом. Тобто, замість вкладів від in-, out-станів будуть інтеграли виду $ \ \int \frac{dpJ(p)}{p^2 - m^2 + i0} $. В силу довільності параметра $ \ J(x) $ можна ці вклади співставляти вкладам від in-,out-станів. Отже, формально $ \ (.0) $ містить всю інформацію про кожний член розкладу $ \ S $-матриці. Це дозволяє досліджувати менш громіздкі вирази типу $ \ (.1) $ замість розгляду загального вигляду для членів розкладу.

Для спрощення можна опустити суму по $ \ a $ і працювати лише із одним джерелом (усі подальші викладки запросто узагальнюються на випадок багатьох полів). Введенемо також функціонал $ \ Z[J] $ за формулою

$ \ Z[J] = \langle | \hat {N}e^{i\int d^{4}x (L_{I}(\varphi (x)) + J(x)\varphi (x))}|\rangle = \langle out | in \rangle_{J} \qquad (.1) $.

Варіаційний апарат та найпростіші наслідки для твірної функціїEdit

Для подальшої роботи треба ввести варіаційний апарат для твірної функції. Для цього треба постулювати співвідношення

$ \ \frac{\delta}{\delta J(y)}J(x) = \delta (x - y), \quad \frac{\delta}{\delta J(y)} (AB) = \frac{\delta A}{\delta J(y)} B + A \frac{\delta B}{\delta J(y)} $.

Звідси слідує, що

$ \ \frac{\delta}{\delta J(y)}\int dx\varphi (x)J(x) = \int dx\varphi (x) \delta (x - y) = \varphi (y), \quad \frac{\delta}{\delta J(y)} \int dx F(J(x)) = \int dx F'(J(x)) \delta (x - y) = F'(y) $,

$ \ \frac{\delta }{\delta J(y)}e^{i \int dx J(x) \varphi(x)} = i\varphi (y)e^{i \int dx J(x) \varphi(x)} $.

Це означає, що справедливе твердження

$ \ \langle | \hat {N} \varphi (x_{1})\varphi (x_{n})e^{i \int d^{4}x (L_{I}(x) + J(x)\varphi (x))} | \rangle = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}\langle | \hat {N}e^{i \int d^{4}x (L_{I}(x) + J(x)\varphi (x))} | \rangle = $

$ \ = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}e^{-i\int dy L_{I}\left(i\frac{\delta}{\delta J(y)}\right)}\langle | \hat {N}e^{i \int d^{4}x J(x)\varphi (x)} | \rangle \qquad (.2) $.

У даних переходах враховано те, що параметр $ \ J(x) $ не містить операторів, тому його спокійно можна проносити через знак оператора впорядкування та за знак вакуумного усереднення. Після цього можна переписати лагранжіан взаємодії так, що замість аргументу-поля, який є оператором, у ньому є аргумент-функціональний параметр. Звичайно, такі записи функціоналу є еквівалентними, оскільки після розкладу експоненти в ряд та дії кожного члену розкладу на експоненту під знаком вакуумного усереднення знову отримується лагранжіан від $ \ \varphi (x) $.

Далі, експоненту під знаком вакуумного усереднення можна спростити, скориставшись теоремою Віка. Ненульовий вклад дають лише доданки $ \ 2n $-го порядку, оскільки, згідно з теоремою Віка,

$ \ \hat {N}(A_{1}...A_{n}) = \sum (-1)^{\sigma}\bar {A_{i_{1}}A_{i_{2}}}...\bar {A_{i_{k - 1}}A_{i_{k}}}:A_{i_{k + 1}}...A_{i_{n}}: , \quad \bar {A_{i_{k - 1}}(x)A_{i_{k}}(y)} = \langle |T(A_{i_{k - 1}}(x)A_{i_{k}}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y) $,

для $ \ 2n+1 $-го порядку залишиться одне поле, яке не знаходиться під виразом вакуумних середніх, а отже, дає нуль для вкладу через дію на вакуумні стани.

Вклад же від $ \ 2n $-того доданку зводиться до добутку $ \ n $ виразів, що відповідають одній і тій же діаграмі - два джерела, з'єднані пропагатором. Факторіальний множник дається Тейлорівським множником $ \ \frac{1}{(2n)!} $ та множником, що відповідає числу всіх можливих попарних згорток полів $ \ \varphi (x) $, тобто $ \ (2n - 1)! = \frac{(2n)!}{2^{n}n!} $.

Отже,

$ \ \langle | \hat {N}e^{i \int d^{4}x J(x)\varphi (x)} | \rangle = e^{\frac{i}{2} \int d^{4}x d^{4}y J(x) J(y) D^{c}(x - y)} $,

і $ \ (.2) $ набуде вигляду

$ \ \langle | \hat {N} \varphi (x_{1})\varphi (x_{n})e^{i \int d^{4}x (L_{I}(x) + J(x)\varphi (x))} | \rangle = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}e^{-i\int dy L_{I}\left(i\frac{\delta}{\delta J(y)}\right)}e^{\frac{i}{2} \int d^{4}x d^{4}y J(x) D^{c}(x - y)J(y)} = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}Z(J) $,

$ \ Z(J) = e^{-i\int dy L_{I}\left(i\frac{\delta}{\delta J(y)}\right)}e^{\frac{i}{2} \int d^{4}x d^{4}y J(x) D^{c}(x - y)J(y)} \qquad (3) $.

Останній вираз дає компактний запис усього ряду теорії збурень. Ще раз нагадаю, що для кожного поля необхідне своє джерело $ \ J(x) $.

Континуальний інтегралEdit

Генеруючий функціонал $ \ Z(J) $ можна переписати у вигляді так званого континуального інтегралу:

$ \ Z(J) = \langle | e^{i\int (L_{I}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))d^{4}x }|\rangle = \int D \varphi e^{i\int (L_{0}(\varphi (x)) + L_{I}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))d^{4}x} $.

Тут формальний знак інтегралу $ \ D\varphi $ може бути інтерпретований (!) як інтегрування по нескінченній кількості елементарних 4-об'ємів, у межах яких поле $ \ \varphi (x) $ є константою. При цьому вважається, що у правій частині $ \ \varphi (x) $ є простою змінною інтегрування, а не оператором; зберігається лише вид перестановочного співвідношення. Проте насправді інтегрування по $ \ D \varphi $ є лише формальним записом.

Цей запис, проте, повинен також відтворювати вираз $ \ (2) $. Тобто, повинно виконуватися співвідношення

$ \ Z(J) = \int D \varphi e^{i\int (L_{0}(\varphi (x)) + L_{int}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))d^{4}x} = e^{i\int d^{4}y L_{I}\left( -i \frac{\delta}{\delta J(y)} \right)}\int D \varphi (x) e^{i \int d^{4}x(L_{0}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))} \qquad (4) $.

Тепер треба навчитися працювати із інтегралами виду $ \ (4) $:

$ \ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x(L_{0}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))} $.

Для цього можна конкретизувати вигляд $ \ L_{0}(\varphi (x)) $. Оскільки під знаком експоненти є інтегрування по частинам, то вільний лагранжіан для будь-якого поля (тут маються на увазі клейн-гордонівське, діраківське, проківське та фірцівське; ймовірніше за все, за допомогою спінорних представлень це твердження можна довести для поля будь-якого спіну) поля можна записати у вигляді $ \ L_{0}(\varphi (x)) = \varphi^{*} (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) $ (знак комплексного спряження позначає різні операції для відповідних полів). Тут двійка обрана для зручності. Наприклад, лагранжіан вільного клейн-гордонівського поля має вигляд

$ \ L_{0}(\varphi (x)) = \partial_{\mu}\varphi^{*}\partial^{\mu}\varphi (x) - m^{2}\varphi^{*}(x)\varphi (x) $,

і через наявність інтегралу можна проінтегрувати перший доданок по частинам:

$ \ \int \partial_{\mu}\varphi^{*}\partial^{\mu}\varphi (x)d^{4}x = -\int \varphi^{*}(x)\partial^{2}\varphi (x)d^{4}x $.

Тому оператор $ \ \hat {K} $ має вигляд $ \ \hat {K} = -\partial^{2} - m^{2} $.

В результаті, для всіх полів вказаний вище інтеграл має вигляд гауссового:

$ \ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi^{*} (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \varphi (x)J^{*}(x) + \varphi^{*}(x)J(x)\right)} $.

Тут з'явився доданок $ \ \varphi^{*}(x)J(x) $ через незалежність функцій $ \ \varphi (x), \varphi^{*}(x) $. Це є простим наслідком того, що, як уже було сказано у попередньому підрозділі, для кожної функції необхідне своє джерело.

Брати інтеграл (звичайно, формально) можна таким же шляхом, як і звичайні гауссові інтеграли. Для цього треба лише припустити, що оператор $ \ \hat {K} $ має обернений, а також інваріантність інтегралу відносно трансляції функціонального аргументу $ \ \varphi (x) $. Після цього можна зробити трансляційну заміну поля, звівши інтеграл до типового гауссового. Результат інтегрування повинен відповідати виразу $ \ (3) $, оскільки за початковим припущенням підхід функціонального інтегралу еквівалентний "підходу" вакуумного усереднення.

Для кращого розуміння знову варто проробити викладки для клейн-гордонівського дійсного поля. Результат буде рівний

$ \ I[J] = e^{-i\int d^{4}xd^{4}y J(x) \frac{\hat {K}^{-1}(x - y)}{2}J(y)}\int D \varphi e^{i\int d^{4}x \varphi(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)} = \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}}e^{\frac{i}{2}\int d^{4}xd^{4}y J(x)D^{c}(x - y)J(y)} \qquad (5) $,

де перехід до останньої рівності зроблений за аналогією із гауссовими інтегралами звичайних змінних.

Отриманий результат, до речі, підтверджує вірність розвинутого формалізму співставлення варіаційного функціоналу континуальному інтегралу: вираз $ \ (5) $ відповідає виразу $ \ (3) $ з точністю до множника $ \ \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}} $. Взагалі, цей фактор є досить проблемним з одного боку (в силу формальної рівності нескінченності детермінанту у багатьох випадках) і зручним з іншого (в силу причин, пов'язаних з перенормуванням; буде описано у наступних розділах).

Аналогічно просто отримати вирази для комплексного клейн-гордонівського поля та діраківського поля:

$ \ \int D \varphi D\varphi^{*} e^{i\int d^{4}x(\varphi^{*}(x)\hat {K} \varphi (x) + \varphi (x) J^{*}(x) + \varphi^{*} (x)J(x))} = \frac{1}{||\hat {K}||}e^{i\int d^{4}xd^{4}yJ (x)D^{c}(x - y)J(y)}, \quad D^{c}(x -y) = \hat{K}^{-1}(x - y) \qquad (6) $,

$ \ \int D \bar {\Psi} D\Psi e^{i\int d^{4}x(\bar {\Psi}(x)\hat {K} {\Psi}(x) + \bar {\Psi} (x) \eta (x) + \bar {\eta}(x) \Psi (x))} = ||\hat {K}||e^{i\int d^{4}xd^{4}y\bar {\eta} (x)\hat {K}^{-1}(x - y)\eta (y)} = ||\hat {K}||e^{i\int d^{4}xd^{4}y\bar {\eta} (x)D^{c}(x - y)\eta (y)}, \quad \quad D^{c}(x -y) = \hat{K}^{-1}(x - y) \qquad (7) $,

де остання рівність є узагальненням грассманового гауссового інтегрування.

Тут можна помітити те, що у рамках континуального інтегрування пропагатор даного поля відповідає простому оберненню оператора $ \ \hat{K} $ лагранжіану. Випадок, коли пропагатор так просто не отримується (випадок сингулярних теорій, у яких лагранжіан містить зв'язки між канонічними змінними), буде розглянуто потім.

Можна помітити декілька особливостей функціонального інтегрування у квантовій теорії поля. По-перше, при його введенні всі величини стають неоператорними, що дещо спрощує роботу із ними. По-друге, він містить явно інформацію про симетрії вільних полів через наявність вільного лагранжіану. По-третє, при введенні комплексного часу $ \ t = -i\tau $ (його ще називають поворотом Віка) інтеграл стає суто дійсним. По-четверте, на відміну від операторозначних полів, що були до введення континуального інтегралу, неоператорозначні поля не знаходяться на масовій поверхні, тобто, не є розв'язками відповідних вільних рівнянь. Це означає, що вся інформація про вільні частинки, що містилась у виразах для операторів полів, тепер поступає напряму із $ \ L_{0} $.

Властивості континуального інтегруванняEdit

Вирази $ \ (4)-(7) $ можна вважати базовими визначеннями континуального інтегрування. На їх основі можна отримати деякі основні властивості континуального інтегрування.

1. Правило інтегрування по частинам:

$ \ \int \frac{\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x)}D\varphi (x) = 0 $.

Оскільки загальний випадок із добутком полів можна отримати шляхом варіювання по джерелам $ \ J(x) $ гауссої функції, то доведення достатньо провести лише для гауссових інтегралів:

$ \ \int \frac{\delta}{\delta \varphi (x)} e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D\varphi^{*} (x)D\varphi (x) = \int \left(i\varphi^{*}(x)\hat {K} + i J^{*}(x) \right)e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D\varphi^{*}D\varphi (x) = $

$ \ = \left( \frac{\delta}{\delta J(x)} \hat {K} + iJ^{*}(x)\right)\int e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D\varphi^{*}D\varphi (x) \tilde {=} \left( \frac{\delta}{\delta J(x)} \hat {K} + iJ^{*}(x)\right)e^{-i\int d^{4}xd^{4}yJ^{*}(y)\hat {K}^{-1}(x - y)J(x)} = $

$ \ = \left( -iJ^{*}(x)\hat {K}^{-1}\hat {K} + iJ^{*}(x)\right)e^{-i\int d^{4}xd^{4}yJ^{*}(y)\hat {K}^{-1}(x - y)J(x)} = 0 $.

2. Правило заміни змінної.

Від перейменування змінної інтегрування нічого не залежить, тобто $ \ \int D(\hat {A}\varphi )F(\varphi ) = \int D(\varphi )F(\hat {A}^{-1}\varphi ) $. Це означає, що

$ \ \int e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D(\varphi^{*} (x)\hat {A}^{*})D(\hat {A}\varphi (x)) = \int D (\varphi^{*}(x))D(\varphi (x))e^{i\int \left( \varphi^{*}(x)A^{-1^{*}}\hat {K}A^{-1}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)A^{-1^{*}}J(x)A^{-1} + J^{*}(x)A^{-1}\varphi (x)\right)d^{4}x} = $

$ \ = \left(\frac{||\hat {K}||}{||\hat {A}||^{2}}\right)^{\sigma}e^{-i\int d^{4}xd^{4}yJ^{*}(x)\hat {A}^{-1}\hat {A}\hat {K}^{-1}\hat {A}^{-1}\hat {A}^{-1^{*}}J(y)} = \frac{1}{||\hat {A}||^{2\sigma}}\int e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D(\varphi^{*} (x))D(\varphi (x)) \Rightarrow $

$ \ \Rightarrow D(\hat {A}\varphi (x)) = ||\hat {A}||^{-\sigma}D \varphi (x) $.

Тут, як і в п.1, знак комплексного спряження позначає своє спряження для кожного виду поля - бозонного чи ферміонного, а $ \ \sigma $ дорівнює відповідно $ \ -1, 1 $ для бозонів та ферміонів.

3. Дельта-функція.

За визначенням, у континуальному інтегруванні дельта-функція визначається як

$ \ \delta (\varphi ) = \int D \lambda e^{i\int \lambda \varphi d^{4}x} $.

Звідси слідує, що

$ \ F(\tilde {\varphi}) = \int D \varphi \delta (\varphi - \tilde {\varphi })F(\varphi ) $.

Нескладно переконатися, що викладки із комплексними полями (скалярним, ферміонним тощо) будуть ідентичні до викладок із дійсним скалярним полем. Тому доводимо для нього:

$ \ \int D\varphi \delta (\varphi - \tilde{\varphi})e^{i \int \left(\varphi \frac{\hat {K}}{2}\varphi + i\varphi J \right)d^{4}x} = \int D\lambda e^{-i\lambda \tilde {\varphi}}\int D\varphi e^{i \int \left(\varphi \frac{\hat {K}}{2}\varphi + i\varphi (J + \lambda ) \right)d^{4}x} = \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}}e^{-\frac{1}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(x)\hat{K}^{-1}(x - y)J(y)}\int D\lambda e^{-\frac{1}{2} \lambda \hat{K}^{-1}\lambda - i\lambda (\tilde{\varphi} + \hat{K}^{-1}J)} = $

$ \ = \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}} \sqrt{||\hat {K}||}e^{-\frac{1}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(x)\hat{K}^{-1}(x - y)J(y)}e^{\frac{1}{2}(\tilde {\varphi} + J\hat{K}^{-1})\hat{K}(\tilde {\varphi} + K^{-1}J)} = e^{i\int d^{4}x \left(\tilde{\varphi}\frac{\hat{K}}{2}\tilde {\varphi} + \tilde{\varphi} J\right)d^{4}x} $.

Звідси і з попередніх пунктів слідують рівності

$ \ \delta(A \varphi - \tilde {\varphi}) = \frac{\delta \left(\varphi - A^{-1}\tilde {\varphi}\right)}{||A||}, \quad \delta (f(\varphi )) = \frac{\delta (\varphi - \varphi_{0})}{||f'(\varphi_{0})||}, \quad f(\varphi_{0}) = 0 $.

Континуальний інтеграл та квантування сингулярних теорій за допомогою гамільтонового формалізмуEdit

Для цього розділу знадобиться розділ про гамільтонів формалізм. Нехай є гамільтонова система, у якій існують зв'язки $ \ \varphi_{\alpha} $. Запишемо дію для неї як

$ \ \tilde{S} = \int \left( \sum_{i = 1}^{n}p_{i}\dot{q}_{i} - h(p, q) + \sum_{\alpha = 1}^{m < n}\varphi_{\alpha}\lambda_{\alpha}\right)dt $.

Тут $ \ \lambda_{\alpha} $ - лагранжеві множники. Звичайно, у слабкому сенсі $ \ \tilde{S} \approx S $. Нехай теорія - сингулярна, тобто виконуються також рівності (є лише зв'язки першого роду)

$ \ [\varphi_{\alpha}, \varphi_{\beta}]_{P} = c^{\gamma}_{\alpha \beta}(p ,q)\varphi_{\gamma}, \quad [h, \varphi_{\alpha}]_{P} = c^{\alpha \beta}(p, q)\varphi_{\beta} $.

Проквантувати теорію можна наступним чином. Нехай є $ \ m $ додаткових умов $ \ \kappa^{m} = 0 $, для яких виконуються умови

$ \ det \left| [\varphi^{\alpha}, \kappa^{m}]_{P}\right| \neq 0, \quad [\kappa_{m}, \kappa_{n}]_{P} = 0 $

(остання умова не є суттєвою, проте вона часто виконується для більшості реалістичних теорій); ці додаткові умови, нагадаю, можуть обиратися внаслідок калібрувальної довільності гамільтоніану при існуванні зв'язків першого роду). Підпростір фазового простору $ \ \Gamma^{2n} $, який визначається умовами $ \ \varphi^{\alpha} = 0, \quad \kappa^{m} = 0 $, представляє собою редукований підпростір $ \ \Gamma^{2(n - m)} $. Внаслідок другої умови, що накладається на $ \ \kappa $, можна вибрати $ \ \kappa^{m} $ як співпадаючі із першими $ \ m $ канонічними координатами. Тоді перша умова може бути переписана як

$ \ det \left| \frac{\partial \varphi^{\alpha}}{\partial p^{m}}\right| \neq 0 $

(тут $ \ p^{m} $ - спряжені до перших $ \ m $ канонічних координат імпульси). В результаті рівняння зв'язків $ \ \varphi^{\alpha} = 0 $ можна розв'язати відносно перших $ \ m $ канонічних імпульсів, а поверхня $ \ \Gamma^{2(n - m)} $ тепер задається рівняннями

$ \ \kappa^{j} = q^{j} = 0, \quad p_{j} = p_{j}(q^{*}, p^{*}), \quad j = 1, ..., m $

($ \ (p^{*}, q^{*}) $ - канонічні n - m координати).

Тому фазові простори $ \ \Gamma^{n} $ із врахуванням умов $ \ \kappa^{j} = \varphi^{j} = 0 $ і $ \ \Gamma^{2n - 2m} $ еквівалентні.

На рівні континуального інтегралу можна показати, що інтеграли

$ \ \int Dp^{*}Dq^{*}e^{i \int \left( \sum_{k = 1}^{n - m}p^{*}_{k}\dot{q}^{*}_{k} - h(p^{*}, q^{*})\right)dt} $

і

$ \ \int DpDq D\lambda \delta (\kappa_{j})\det \left| [\varphi_{j}, \kappa_{k}]_{P}\right|e^{i \int \left( \sum_{k = 1}^{n}p_{k}\dot{q}_{k} - h(p, q) + \sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}\varphi_{\alpha}\right)dt} $

еквівалентні. Дійсно, інтегруючи по $ \ \lambda $ другий інтеграл, можна отримати

$ \ \int DpDq D\lambda \delta (\kappa_{j}) \delta (\varphi_{j})\det \left| [\varphi_{j}, \kappa_{k}]_{P}\right|e^{i \int \left( \sum_{k = 1}^{n}p_{k}\dot{q}_{k} - h(p, q)\right)dt} $.

Якщо перейти канонічними перетворенням до координат $ \ \kappa_{j} = q_{j} $, то вираз $ \ \delta (\kappa_{j}) \delta (\varphi_{j})\det \left| [\varphi_{j}, \kappa_{k}]_{P}\right| $ перетвориться у $ \ \delta (q_{j})\delta (p_{j} - p_{j}(q^{*}, p^{*})) $. Нарешті, інтегруючи по $ \ Dq_{j}Dp_{j} $, можна звести другий інтеграл до першого.

Отже, схема квантування сингулярних теорій у формалізмі континуального інтегрування побудована.