FANDOM


Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями".

Можна пов'язати поля, що описуються незвідними спінорними представленнями групи Лоренца, та частинки, що описуються незвідними нескінченновимірними представленнями групи Пуанкаре, у рамках спінорного формалізму.

Із розділу про групу Пуанкаре відомо, що оператори Казиміра $ \ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}, \hat {P}_{\mu }\hat {P}^{\mu} $ незвідних представлень групи мають спектр

$ \ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}\psi = -m^{2}s(s + 1)\psi , \quad \hat {P}_{\mu }\hat {P}^{\mu}\psi = m^{2}\psi \qquad (.6) $,

де $ \ \psi $ - функція поля, $ \ s $ - спінове число.

В силу рівності $ \ \hat {P}_{\mu} = i\partial_{\mu} $ другу рівність можна переписати як

$ \ \left(\square + m^{2}\right)\psi = 0 $,

що називається рівнянням Клейна-Гордона.

Якщо використати спінорне представлення полів, то можна довести таку теорему: якщо симетричне окремо за точковими та неточковими індексами релятивістське поле $ \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} $, що являється незвідним представленням групи Лоренца $ \ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) $, задовольняє рівнянням

$ \ \left(\square + m^{2}\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = 0 \qquad (.7) $,

$ \ \partial^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (.8) $,

то воно реалізує незвідне представлення групи Пуанкаре із масою $ \ m $ та спіном $ \ s = \frac{n + m}{2} $.

Доведення проводиться у декілька етапів.

По-перше, треба показати, що у функції поля в такому представленні є $ \ 2s + 1 $ незалежних компонент. Для цього можна використати те, що рівняння $ \ (.7), (.8) $ являються явно коваріантними, тому, для спрощення, можна використати ІСВ, у якій частинка покоїться. Для неї $ \ p_{\mu} = (m, 0, 0, 0) $, і тому

$ \ p_{\mu}\psi = m \psi , \quad p^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = (\tilde {\sigma}^{\mu})^{a \dot {a}}p_{\mu}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = \delta^{a \dot {a}}m\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (.9) $.

Початкова функція, на яку не накладено жодної умови, має $ \ (n + 1)(m + 1) $ кількість незалежних компонент. Умова $ \ (.9) $ зменшує кількість перестановок індексів на один для неточкового та один для точкового індексів. Таким чином, з цією умовою є $ \ (n + 1 - 1)(m + 1 - 1) = nm $ тривіальних компонент. Число ж нетривіальних компонент рівне

$ \ (n + 1)(m + 1) - nm = n + m + 1 = 2\frac{(n + m)}{2} + 1 = 2s + 1 $,

що й потрібно було довести.

Далі треба показати, що дія оператору Казиміра - квадрату оператора Паулі-Любанського - на поле дає

$ \ W_{\mu}W^{\mu}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} $.

Для цього треба переписати вираз для квадрату оператора у рамках спінорного формалізму. Тоді (доведення)

$ \ W_{a\dot {a}}W^{a \dot {a}} = \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d} $.

Дія першого доданку на функцію стану може бути зведена до дії квадратів операторів групи Лоренца. Треба визначити дію першого доданку:

$ \ \partial^{\dot {\alpha} \alpha}\partial^{\dot {\beta }\beta }M_{ab}M_{\dot {a}\dot {b}}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -\partial^{\dot {a}a}\partial^{\dot {b}b}M_{ab}\frac{i}{2}2\sum_{i = 1}^{m}\varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} = $

$ \ = -\frac{1}{2}\partial^{\dot {a}a}\partial^{\dot {b}b}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\left( \varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\varepsilon_{c_{j}b}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} + \varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\varepsilon_{c_{j}a}\psi_{bc_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}}\right) = $

$ \ =-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\left( \partial_{\dot {c}_{i}}^{\quad a}\partial^{\dot {b}}_{\quad c_{j}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} + \partial_{c_{j}\dot {c}_{i}}\partial^{\dot {b}b}\psi_{bc_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}}\right) $.

Другий доданок рівен нулю в силу умови $ \ (.8) $, а перший доданок можна перетворити (див. розділ "Основні властивості...") як

$ \ \partial_{\dot {c}_{i}}^{\quad a}\partial^{\dot {b}}_{\quad c_{j}} = \partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\varepsilon^{\dot {b}\dot {\beta}}\varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}} = -\partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\left( \delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {a}} - \delta^{\dot {b}}_{\dot {a}}\delta^{\dot {\beta}}_{\dot {c}_{i}} \right) = -\partial^{\dot {\beta }a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}} + \partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {c}_{i}} $.

Дія другого доданку зводиться до виразу $ \ (.8) $, а дія першого дає

$ \ \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n} \partial^{\dot {\beta }a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\partial^{2}\delta^{a}_{c_{j}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \frac{m^{2}}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \frac{m^{2}}{2}mn\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} $.

Отже, дія оператору Казиміра зводиться до

$ \ C_{2}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \left( \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d}\right)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -\frac{m^{2}}{2}\left( \frac{m(m + 2) + n(n + 2)}{2} + mn\right)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = $

$ \ = -\frac{m^{2}}{4}(m + n)(m + n + 2)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} $.

Отже, теорему доведено.

Для випадків різного спіну у подальших із цієї теореми будуть отримані відповідні рівняння на функції поля. Наголошу, що полями відповідні функції називаються відповідно до визначення поля як функції на просторі-часі Мінковського, а не тому, що об'єкт, який вони описують, є полем.

Оператор зв'язку різних представленьEdit

Для подальшого аналізу релятивістських рівнянь треба дослідити зв'язок між представленнями $ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) $ із однаковим спіном, проте різними $ \ n, m $. Для цього можна ввести оператор

$ \Delta_{a\dot {a}} = \frac{i}{m}P_{a \dot {a}} = -\frac{1}{m}\partial_{a \dot {a}} \qquad (.10) $.

У просторі розв'язків рівняння Клейна-Гордона оператор може бути обернений:

$ \Delta_{a}^{\quad \dot {a}}\Delta^{b}_{\quad \dot {a}}\psi = \frac{1}{m^{2}}\partial_{a}^{\quad \dot {a}}\partial^{b}_{\quad \dot {a}} = \frac{1}{m^{2}}\partial_{\mu }\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\sigma^{\nu})^{b}_{\quad \dot {a}}\psi =\left|(\sigma^{\nu})^{b}_{\quad \dot {a}}\psi = (\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b}\right| = $

$ = \frac{1}{2m^{2}}\left( (\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b} + (\sigma^{\nu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\mu}})_{\dot {a}}^{\quad b}\right) \partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi = \frac{1}{2m^{2}}2g^{\mu \nu}\delta^{b}_{a}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi = \delta^{b}_{a}\psi $,

де використана рівність 3:

$ (\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b} + (\sigma^{\nu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\mu}})_{\dot {a}}^{\quad b} = 2g^{\mu \nu}\delta^{b}_{a} $.

Оператори $ (.10) $ дозволяють перетворювати точкові індекси спінорного тензору у неточкові. Це, очевидно, і встановлює зв'язок між представленнями. Дійсно, нехай є представлення $ (0, s) $, яке має $ 2s + 1 $ компонент. В результаті для нього не потрібна умова $ \ \qquad (.8) $. Подіявши на нього $ \ n $ операторами $ \Delta_{a_{i}}^{\dot {b}_{2s - i}} $, можна отримати $ \ k $ точкових індексів та $ \ n $ неточкових, $ n + k = 2s $, і відповідний симетричний тензор:

$ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{k}} = \Delta_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{k + n}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} $.

Даний тензор задовольняє умові $ (.8) $,

$ \partial^{a_{1}\dot {b}_{1}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{k}} = (\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}\partial_{\mu}\Delta_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{k + n}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = -\frac{1}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}(\sigma^{\nu})_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = $

$ = -\frac{1}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\varepsilon^{\dot {b}_{k + 1}\dot {c}_{1}}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}(\sigma^{\nu})_{a_{1} \dot {c}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = -\frac{2}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}g^{\mu \nu}\varepsilon^{\dot {b}_{k + 1}\dot {b}_{1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = 0 $

в силу незвідності спінорного представлення $ \psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} $.

Таким чином, є взаємозв'язок між представленням $ (0, s) $ та будь-яким іншим із відповідним спіновим числом, включаючи $ (s, 0) $. Для "проміжних" представлень треба використовувати умову $ (.8) $, для "першого" й "останнього" - ні.

Тепер, нарешті, можна перейти до отримання рівнянь поля для відповідних представлень зі спіном $ s $.