NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Як уже було описано у розділах про правила Фейнмана та про постановку задачі розсіяння, саме зв'язні діаграми представляють практичний інтерес. Тому було б доцільно виділити з генеруючого функціоналу функціонал, що генерує множину лише зв'язних діаграм. Окрім того, у подальшому буде показано, що важливими є сильнозв'язні діаграми. Ними є такі діаграми, які не можна зробити незв'язними розрізанням довільної однієї лінії.

Генеруюча функція для зв'язних діаграм[]

Виявляється, що функцією, яка генерує лише зв'язні діаграми, є (нагадаю, тут - генеруючий функціонал для всіх діаграм):

,

або ж

.

Доведення можна провести наступним чином. Довільну функцію Гріна можна представити як добуток зв'язних функцій Гріна , причому треба перебрати усі можливі комбінації перестановки координат та варіантів добутку незв'язних функцій Гріна сумарного порядку :

.

Тут позначає усі можливі перестановки координат, блок містить функцій Гріна , круглі дужки при позначають координат у фіксованому порядку, від яких залежить ця функція.

Треба порахувати кількість перестановок, що виникають в результаті підсумовування. Перестановка координат у функції Гріна призведе до топологічно іншої діаграми, у результаті чого сума по перестановкам містить не всі підряд перестановки. Для отримання кількості перестановок треба поділити кількість усіх можливих перестановок, яких є , на добуток кількостей перестановок координат усередині кожного блоку. Кількість перестановок усередині блоку дорівнює добутку кількості перестановок координат для кожної із функцій Гріна , що належать блоку та кількості перестановок наборів координат функцій Гріна один між одним (без зміни порядку координат). Кількість перших перестановок дорівнює ( на кожну функцію Гріна у степені числа функцій Гріна в одному блоку), а кількість других перестановок просто дорівнює числу перестановок функцій Гріна - . У результаті, сумарне число перестановок дорівнює . Тепер можна записати розклад генеруючого функціоналу через зв'язні функції Гріна:

.

Тут на етапі другої рівності виник множник числа перестановок, оскільки в розкладі координати стають німими (в силу наявності інтегрування), і сума по перестановкам фактично перетворюється у додавання одного і того ж самого виразу раз. Оскільки тепер є сума по , то подвійну суму можна переписати як суму по , причом тепер між різними немає зв'язку. У результаті,

,

що і треба було довести.

Сильнозв'язні діаграми[]

Сильнозв'язні діаграми - діаграми, які не можна зробити незвідними шляхом розрізання однієї лінії. Зрозуміло, що такі діаграми не мають зовнішніх ліній; n-хвістки у загальному випадку, звісно, не є сильнозв'язними. Через це працювати із фунціоналом незручно. Натомість можна ввести наступний функціонал:

.

Із визначення (див. підпункт вище), є зв'язна 1-хвістка в присутності джерела . Якщо джерело відсутнє, то . Через це можна представити як

,

що формально означає, що як можна розкладати по , так і навпаки.

Визначимо тепер перетворення Лежандра,

,

і з виразу для цього функціоналу слідує, що

.

Далі наведений набір стандартних співвідношень.

.

Правило заміни функціональної похідної у позначеннях виразу вище (визначення):

.

З цього правила слідує, що

,

що каже про те, що є взаємно оберненими, причому цей результат залишається вірним і при зануленні всіх :

.

Перейдемо тепер до імпульсного простору за допомогою перетворення Фур'є (нормування для перетворення Фур'є наявне, але я його опускаю для зручності, бо у кінцевій відповіді воно не виникає):

.

Тепер треба згадати, що величини являються генеруючими елементами для діаграм -матриці. Звідси слідує, що вони - трансляційно-інваріантні (тобто, можуть залежати лише від різниці аргументів). Це означає, що їх Фур'є-образи пропорційні дельта-функціям від суми аргументів (тобто, імпульси зберігаються). Отже,

.

А оскільки пропорційне , то маємо

.

Враховуючи тепер, що відповідає усім зв'язним діаграмам (див. підрозділ вище) другого порядку, можна записати її як

.

Звідси

.

Залишається лише показати, що відповідає сильнозв'язним діаграмам. Щоб це побачити, достатньо розкласти в ряд по :

.

Звідси і слідує твердження (для другого порядку) про те, що генерує незв'язні діаграми.

Використаємо аналогічний аргумент для трьоххвістки. Для цього візьмемо варіаційну похідну від , користуючись : отримаємо

.

Звідси отримуємо, що . Дійсно, при маємо

,

тобто, отримана рівність.

Це означає, що являє собою ядро , до якого прикріплені три зв'язні двохвістки ; іншими словами, - сильнозв'язне ядро.

Аналогічним чином доводиться, що всі ядра відповідають сильнозв'язним діаграмам.

Фізичний зміст генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграм[]

В силу рівності

маємо, що

.

Це означає, що є ефективною дією у тому сенсі, що можливі значення полів за відсутності струмів задаються стаціонарними "точками" . Таким чином, вираз відповідає рівнянню руху для із урахуванням квантових поправок.

Окрім того, має зміст енергії. Дійсно, розглянемо включення струму , який плавно зростає від нуля при до деякого сталого значення , лишаючись постійним на протязі деякого довгого проміжку часу , а потім плавно зануляється на . Вплив такого збурення на факуум полягає у переході вакуумного стану у стан із визначеною енергією , який зберігається протягом часу , після чого знову переходить у вакуумний стан, який відповідає початковому. Проте він має накручену фазу, що відповідає , тому

.

Оскільки цей вираз відповідає генеруючому функціоналу для усіх фейнманівських діаграм , а він пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як , то маємо, що

.

Можна припустити, що є найнижчим значенням енергії в присутності струму, оскільки перехід від вакуумного стану до даного стану із енергією є плавним. Тому для визначення зв'язку енергії та ефективної дії треба знайти зв'язок цієї дії із середнім значенням енергії

,

причому шукається стан , який мінімізує енергію, поле має середнє значення, що на залежить від часу, , і для зручності обрана умова .

Для цього треба шукати мінімум величини

.

Звідси

.

Порівнюючи цей вираз із ( - нормований стан)

,

який виражає наявність власного стану із енергією , можна дійти висновку, що .

Підставляючи це у і беручи скалярний добуток із , отримуємо

,

що і доводить початкове твердження.

Симетрії ефективної дії[]

Можна показати, що якщо класична дія (поля - довільні) і міра інтегрування інваріантні відносно перетворень виду

,

то ефективна дія інваріантна відносно перетворення

,

де - усереднення в присутності джерела .

Дійсно, для генеруючого функціоналу маємо (в силу, як завжди, трансляційної інваріантності)

.

В силу визначення ефективної дії, , звідки

,

що і означає інваріантність відносно перетворень .

Якщо перетворення являються лінійними, то з ними співпадають. Дійсно, для лінійних перетворень

.

Відповідно (нормування усереднення по джерелу дорівнює одиниці),

,

що і доводить інваріантність ефективної дії відносно .

Advertisement