FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Як уже було описано у розділах про правила Фейнмана та про постановку задачі розсіяння, саме зв'язні діаграми представляють практичний інтерес. Тому було б доцільно виділити з генеруючого функціоналу функціонал, що генерує множину лише зв'язних діаграм. Окрім того, у подальшому буде показано, що важливими є сильнозв'язні діаграми. Ними є такі діаграми, які не можна зробити незв'язними розрізанням довільної однієї лінії.

Генеруюча функція для зв'язних діаграмEdit

Виявляється, що функцією, яка генерує лише зв'язні діаграми, є $ \ W[J] = ln(Z[J]) $ (нагадаю, тут $ \ Z[J] $ - генеруючий функціонал для всіх діаграм):

$ \ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) = (-i)^{n}\left(\frac{\delta }{\delta J(x_{1})}...\frac{\delta }{\delta J(x_{n})}W[J(y)]\right)_{J(y) = 0} $,

або ж

$ \ W[J] = \sum_{n} \frac{i^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{c}_{n}(x_{1}, ..., x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}) \qquad (1) $.

Доведення можна провести наступним чином. Довільну функцію Гріна $ \ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) $ можна представити як добуток зв'язних функцій Гріна $ \ G^{c}_{m}(x_{1},...x_{m}) $, причому треба перебрати усі можливі комбінації перестановки координат та варіантів добутку незв'язних функцій Гріна $ \ G_{1}^{\sigma_{1}}, ..., G_{m}^{\sigma_{m}} $ сумарного порядку $ \ \sigma_{1} + 2\sigma_{2} + ... + m\sigma_{m} = n $:

$ \ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}\sum_{P}P\left[ (G_{1}^{c}()...G_{1}^{c}())...(G_{m}^{c}()...G_{m}^{c}())\right] \qquad (2) $.

Тут $ \ \sum_{P}P[...] $ позначає усі можливі перестановки координат, блок $ \ (G^{c}_{k}()...G^{c}_{k}()) $ містить $ \ \sigma_{k} $ функцій Гріна $ \ G^{c}_{k} $, круглі дужки при $ \ G_{k} $ позначають $ \ k $ координат у фіксованому порядку, від яких залежить ця функція.

Треба порахувати кількість перестановок, що виникають в результаті підсумовування. Перестановка координат у функції Гріна $ \ G_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) $ призведе до топологічно іншої діаграми, у результаті чого сума по перестановкам $ \ (1) $ містить не всі підряд перестановки. Для отримання кількості перестановок треба поділити кількість усіх можливих перестановок, яких є $ \ n! $, на добуток кількостей перестановок координат усередині кожного блоку. Кількість перестановок усередині блоку дорівнює добутку кількості перестановок координат для кожної із $ \ k $ функцій Гріна $ \ G^{c}_{k}(x_{1},...,x_{k}) $, що належать блоку та кількості перестановок наборів координат функцій Гріна один між одним (без зміни порядку координат). Кількість перших перестановок дорівнює $ \ (k!)^{\sigma_{k}} $ ($ \ k! $ на кожну функцію Гріна у степені числа функцій Гріна в одному блоку), а кількість других перестановок просто дорівнює числу перестановок $ \ \sigma_{k} $ функцій Гріна - $ \ \sigma_{k}! $. У результаті, сумарне число перестановок дорівнює $ \ n_{P} = \frac{n!}{\left[(1!)^{\sigma_{1}}(2!)^{\sigma_{2}}...(m!)^{\sigma_{m}}\right]\left[\sigma_{1}!...\sigma_{m}! \right]} $. Тепер можна записати розклад генеруючого функціоналу $ \ Z[J] $ через зв'язні функції Гріна:

$ \ Z[J] = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G_{n}(x_{1},...,x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}) = $

$ \ = \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}\frac{(-i)^{n}}{n!}\times n! \frac{\left[\int d^{4}x G_{1}(x)J(x)\right]^{\sigma_{1}}}{(1!)^{\sigma_{1}}\sigma_{1}!}\times ...\times \frac{\left[\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{m} G_{m}^{c}(x_{1},...,x_{m})J(x_{1})...J(x_{m})\right]^{\sigma_{m}} }{(m!)^{\sigma_{m}}\sigma_{m}!} $.

Тут на етапі другої рівності виник множник числа перестановок, оскільки в розкладі $ \ Z[J] $ координати стають німими (в силу наявності інтегрування), і сума по перестановкам фактично перетворюється у додавання одного і того ж самого виразу $ \ n_{P} $ раз. Оскільки тепер є сума по $ \ n $, то подвійну суму $ \ \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n} $ можна переписати як суму по $ \ \sigma_{i} $, причом тепер між різними $ \ \sigma_{i} $ немає зв'язку. У результаті,

$ \ Z[J] = \sum_{\sigma_{1}}\frac{1}{\sigma_{1}!}\left(-i\int d^{4}x\frac{G^{c}_{1}(x)J(x)}{1!}\right)^{\sigma_{1}}\times ...\times \sum_{\sigma_{m}}\frac{1}{\sigma_{m}!}\left(\frac{-i\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{m}G_{m}^{c}(x_{1},...,x_{m})J(x_{1})J(x_{m})}{m!} \right)^{\sigma_{m}} = $

$ \ = e^{\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{c}_{n}(x_{1},...,x_{n})J(x_{1})...J(x_{n})} = e^{iW[J]} $,

що і треба було довести.

Сильнозв'язні діаграмиEdit

Сильнозв'язні діаграми - діаграми, які не можна зробити незвідними шляхом розрізання однієї лінії. Зрозуміло, що такі діаграми не мають зовнішніх ліній; n-хвістки $ \ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) $ у загальному випадку, звісно, не є сильнозв'язними. Через це працювати із фунціоналом $ \ Z[J] $ незручно. Натомість можна ввести наступний функціонал:

$ \ \Phi (x) = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \frac{1}{Z[J]}\frac{\delta Z[J]}{\delta J(x)} = \frac{i}{Z[J]}\langle | \hat {N}\varphi (x)e^{i\int d^{4}x (L_{i}(\varphi (x)) + J(x)\varphi (x) )}|\rangle $.

Із визначення (див. підпункт вище), $ \ \Phi (x) $ є зв'язна 1-хвістка в присутності джерела $ \ J(x) $. Якщо джерело $ \ J(x) $ відсутнє, то $ \ \Phi (x) = 0 $. Через це можна представити $ \ \Phi (x) $ як

$ \ \Phi (x) = -\int d^{4}yW_{2}(x, y)J(y) + O(J^{2}) \qquad (9) $,

що формально означає, що як $ \ \Phi (x) $ можна розкладати по $ \ J $, так і навпаки.

Визначимо тепер перетворення Лежандра,

$ \ \Gamma [\Phi ] = W - \int d^{4}x\Phi (x)J(x) = \sum_{n}\frac{i^{n}}{n!} \int \Gamma_{n}(x_{1}...x_{n})\Phi (x_{1})...\Phi (x_{n}) $,

і з виразу для цього функціоналу слідує, що

$ \ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (x)} = \int d^{4}y \frac{\delta W}{\delta J(y)}\frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)} - \int d^{4}y \frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)}\Phi (y) - J(x) =\left| \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \Phi (x)\right| = -J(x) $.

Далі наведений набір стандартних співвідношень.

$ \ \frac{\delta \Phi (x)}{\delta J(y)} = \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)} = W_{yx}, \quad \frac{\delta J(x)}{\delta \Phi (y)} = -\frac{\delta^{2} \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (y)\delta \Phi (x)} = -\Gamma_{yx} $.

Правило заміни функціональної похідної у позначеннях виразу вище (визначення):

$ \ \frac{\delta}{\delta J(x)} = \delta^{J}_{x} = \int d^{4}y \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)}\delta^{\Phi}_{y} = W_{yx}\delta^{\Phi}_{y}, \quad \frac{\delta}{\delta \Phi (x)} = \delta^{\Phi}_{x} = -\Gamma_{xy}\delta^{J}_{y} \qquad (10) $.

З цього правила слідує, що

$ \ \delta (x - y) = \frac{\delta \Phi (x)}{\delta \Phi (y)} = -\Gamma_{yz}\delta^{J}_{z}\Phi (x) = -\Gamma_{yz}W_{zx} \qquad (11) $,

що каже про те, що $ \ \Gamma_{yz}, W_{zx} $ є взаємно оберненими, причому цей результат залишається вірним і при зануленні всіх $ \ J(x) $:

$ \ \int d^{4}z\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = -\delta (x - y) $.

Перейдемо тепер до імпульсного простору за допомогою перетворення Фур'є (нормування для перетворення Фур'є наявне, але я його опускаю для зручності, бо у кінцевій відповіді воно не виникає):

$ \ \int d^{4}xd^{4}yd^{4}z e^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = \int d^{4}z\Gamma_{2}(p_{y}, z)W_{2}(z, p_{x}) = \left|\Gamma_{2}(p_{y}, z) = \int d^{4}p_{z}e^{ip_{z}z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})\right| = $

$ \ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) \int d^{4}ze^{ip_{z}z}W_{2}(z, p_{x}) = \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) =_{right}= -\int d^{4}xd^{4}ye^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\delta (x - y) = -\delta (p_{x} + p_{y}) $.

Тепер треба згадати, що величини $ \ \Gamma_{n}, W_{m} $ являються генеруючими елементами для діаграм $ \ S $-матриці. Звідси слідує, що вони - трансляційно-інваріантні (тобто, можуть залежати лише від різниці аргументів). Це означає, що їх Фур'є-образи пропорційні дельта-функціям від суми аргументів (тобто, імпульси зберігаються). Отже,

$ \ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) = |\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) = \delta (p_{y} + p_{z})\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})| = \Gamma_{2}(p_{y}, -p_{y})W_{2}(p_{y}, p_{x}) = -\delta (p_{x} + p_{y}) $.

А оскільки $ \ W_{2}(p_{y}, p_{x}) $ пропорційне $ \ \delta (p_{x} + p_{y}) $, то маємо

$ \ \Gamma_{2}(p, -p)W_{2}(p, -p) = -1 $.

Враховуючи тепер, що $ \ W_{2} $ відповідає усім зв'язним діаграмам (див. підрозділ вище) другого порядку, можна записати її як

$ \ W_{2}(p, -p) = \frac{-i}{p^{2} - m^{2} - \Eta (p)} $.

Звідси

$ \ \Gamma_{2}(p, -p) = i(p^{2} - m^{2} - \Eta (p)) $.

Залишається лише показати, що $ \ \Eta (p) $ відповідає сильнозв'язним діаграмам. Щоб це побачити, достатньо розкласти $ \ W_{2} $ в ряд по $ \ \Eta (p) $:

$ \ W_{2}(p, -p) = -i \left( \frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + ...\right) $.

Звідси і слідує твердження (для другого порядку) про те, що $ \ \Gamma_{2}(p, -p) $ генерує незв'язні діаграми.

Використаємо аналогічний аргумент для трьоххвістки. Для цього візьмемо варіаційну похідну $ \ \frac{\delta }{\delta J(u)} = \delta_{u}^{J} $ від $ \ (11) $, користуючись $ \ (10) $: отримаємо

$ \ 0 = \delta_{u}^{J}(\Gamma_{yz}W_{zx}) = -W_{zx}\delta_{u}^{J}\Gamma_{yz} - \Gamma_{yz}\delta_{u}^{J}W_{zx} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{up}\delta_{p}^{\Phi}\Gamma_{yz} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{uv} \Gamma_{vyz} $.

Звідси отримуємо, що $ \ W_{uzx} = W_{xt}W_{uv}W_{yz}\Gamma_{vty} $. Дійсно, при $ \ J = \Phi = 0 $ маємо

$ \ \int d^{4}zd^{4}vW_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyz} = -\int d^{4}vd^{4}\tau d^{4}zd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}W_{\tau z}\Gamma_{yz} = \left| \int d^{4}z\Gamma_{yz}W_{\tau z} = -\delta (y - \tau )\right| = $

$ \ = \int d^{4}v d^{4}t d^{4}\tau W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}\delta (y - \tau ) = \int d^{4}vd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyt} $,

тобто, отримана рівність.

Це означає, що $ \ W_{uzx} $ являє собою ядро $ \ \Gamma_{vty} $, до якого прикріплені три зв'язні двохвістки $ \ W_{xt}, W_{uv}, W_{yz} $; іншими словами, $ \ \Gamma_{vty} $ - сильнозв'язне ядро.

Аналогічним чином доводиться, що всі ядра $ \ \Gamma $ відповідають сильнозв'язним діаграмам.

Фізичний зміст генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграмEdit

В силу рівності

$ \ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi_{s} (x)} = -J_{s}(x) $

маємо, що

$ \ \left( \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi_{s} (x)} \right)_{J = 0} = 0 \qquad (12) $.

Це означає, що $ \ \Gamma $ є ефективною дією у тому сенсі, що можливі значення полів $ \ \Phi_{s} $ за відсутності струмів $ \ J_{s} $ задаються стаціонарними "точками" $ \ \Gamma $. Таким чином, вираз $ \ (12) $ відповідає рівнянню руху для $ \ \Phi_{s} $ із урахуванням квантових поправок.

Окрім того, $ \ \Gamma $ має зміст енергії. Дійсно, розглянемо включення струму $ \ J^{n}(\mathbf x , t) $, який плавно зростає від нуля при $ \ t \to -\infty $ до деякого сталого значення $ \ J^{n}(\mathbf x ) $, лишаючись постійним на протязі деякого довгого проміжку часу $ \ T $, а потім плавно зануляється на $ \ t \to \infty $. Вплив такого збурення на факуум полягає у переході вакуумного стану у стан із визначеною енергією $ \ E[J_{n}] $, який зберігається протягом часу $ \ T $, після чого знову переходить у вакуумний стан, який відповідає початковому. Проте він має накручену фазу, що відповідає $ \ e^{iE[J_{n}]T} $, тому

$ \ \langle out |in \rangle_{J} = e^{-iE[J_{n}]T} \qquad (13) $.

Оскільки цей вираз відповідає генеруючому функціоналу для усіх фейнманівських діаграм $ \ Z[J] $, а він пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як $ \ Z[J] = e^{iW[J]} $, то маємо, що

$ \ W[J_{n}] = -E[J_{n}]T $.

Можна припустити, що $ \ E[J_{n}] $ є найнижчим значенням енергії в присутності струму, оскільки перехід від вакуумного стану до даного стану із енергією $ \ E[J_{n}] $ є плавним. Тому для визначення зв'язку енергії та ефективної дії $ \ \Gamma $ треба знайти зв'язок цієї дії із середнім значенням енергії

$ \ \langle \hat{H} \rangle_{\Omega} = \frac{\langle \Omega |\hat{H} | \Omega \rangle}{\langle \Omega | \Omega \rangle } $,

причому шукається стан $ \ \Omega_{\varphi} $, який мінімізує енергію, поле $ \ \Phi_{n}(\mathbf x , t) $ має середнє значення, що на залежить від часу, $ \ \frac{\langle \Omega|\Phi_{n}(\mathbf x , t) | \Omega \rangle}{\langle \Omega |\Omega \rangle} = \psi_{n}(\mathbf x) $, і для зручності обрана умова $ \ \langle \Omega |\Omega \rangle = 1 $.

Для цього треба шукати мінімум величини

$ \ \langle \Omega |\hat{H} | \Omega \rangle - \alpha \langle \Omega | \Omega \rangle - \int d^{3}\mathbf x \beta^{n}(\mathbf x )\langle \Omega |\Psi_{n}(\mathbf x)| \Omega \rangle $.

Звідси

$ \ \hat{H} |\Omega \rangle = \alpha | \Omega \rangle + \int d^{3}\mathbf x \beta^{n}(\mathbf x )\langle \psi_{n}(\mathbf x ) \qquad (14) $.

Порівнюючи цей вираз із ($ \ \Psi_{J} $ - нормований стан)

$ \ (\hat{H} - \int d^{3}\mathbf x J^{n}(\mathbf x )\langle \psi_{n}(\mathbf x ))| \Psi_{J_{n}}\rangle = E[J_{n}]\Psi_{J_{n}} $,

який виражає наявність власного стану із енергією $ \ E[J_{n}] $, можна дійти висновку, що $ \ \alpha = E[J], \beta^{n}(\mathbf x ) = J^{n}(\mathbf x), \Omega = \Psi_{J_{n}} $.

Підставляючи це у $ \ (14) $ і беручи скалярний добуток із $ \ \langle \Psi_{J_{n}}| $, отримуємо

$ \ \langle \hat{H}\rangle_{\Omega} = E[J_{n}] + \int d^{3}\mathbf x J^{n}(\mathbf x ) \varphi_{n}(\mathbf x) = -\frac{1}{T} W[J_{n}] + \frac{1}{T}\int d^{4}x J^{n}(\mathbf x ) \varphi_{n}(\mathbf x ) = -\frac{1}{T}\Gamma [\varphi ] $,

що і доводить початкове твердження.

Симетрії ефективної діїEdit

Можна показати, що якщо класична дія $ \ I[\varphi ] $ (поля $ \ \varphi $ - довільні) і міра інтегрування $ \ D \varphi $ інваріантні відносно перетворень виду

$ \ \varphi^{n} (x) \to \varphi^{n}(x) + \varepsilon F^{n}[\varphi , x] \qquad (15) $,

то ефективна дія $ \ \Gamma [\varphi ] $ інваріантна відносно перетворення

$ \ \varphi^{n} (x) \to \varphi^{n}(x) + \varepsilon \langle F^{n}(x)\rangle_{J^{n}} \qquad (16) $,

де $ \ \langle \rangle_{J} $ - усереднення в присутності джерела $ \ J $.

Дійсно, для генеруючого функціоналу маємо (в силу, як завжди, трансляційної інваріантності)

$ \ Z[J ]{'} = \int D\varphi {'}^{iI[\varphi ] + i\int d^{4}x \varphi^{n} (x){'}J_{n}(x)} = Z[J] + i\varepsilon \int D \varphi \int d^{4}x F^{n}[\varphi , x]J_{n}(x)e^{iI[\varphi ] + i \int d^{4}x\varphi^{n}J_{n}} = Z[J] \Rightarrow $

$ \ \int D \varphi \int d^{4}x F^{n}[\varphi , x]J_{n}(x)e^{iI[\varphi ] + i \int d^{4}x\varphi^{n}J_{n}} = Z[J]\int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J}J_{n}(x) = 0 $.

В силу визначення ефективної дії, $ \ J^{n}(x) = -\left(\frac{\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi^{n}(x)}\right)_{\varphi = 0} $, звідки

$ \ -\int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J}J_{n}(x) = \int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J} \left(\frac{\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi^{n}}\right)_{\varphi = 0} = 0 $,

що і означає інваріантність відносно перетворень $ \ (16) $.

Якщо перетворення $ \ (15) $ являються лінійними, то $ \ (16) $ з ними співпадають. Дійсно, для лінійних перетворень

$ \ F^{n}[\varphi , x] = s(x) + \int d^{4}yt^{n}_{\ m}(x, y)\varphi^{m}(y) $.

Відповідно (нормування усереднення по джерелу дорівнює одиниці),

$ \ \langle F^{n}[x]\rangle_{J} = s(x) + \int d^{4}x t^{n}_{m}(x,y)\langle \varphi^{m}(y) \rangle_{J} = s(x) + \int d^{4}x t^{n}_{m}(x,y)\varphi^{m}(y) = F^{n}[\varphi^{n} , x] $,

що і доводить інваріантність ефективної дії відносно $ \ (15) $.$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $