Як уже було описано у розділах про правила Фейнмана та про постановку задачі розсіяння, саме зв'язні діаграми представляють практичний інтерес. Тому було б доцільно виділити з генеруючого функціоналу функціонал, що генерує множину лише зв'язних діаграм. Окрім того, у подальшому буде показано, що важливими є сильнозв'язні діаграми. Ними є такі діаграми, які не можна зробити незв'язними розрізанням довільної однієї лінії.
Доведення можна провести наступним чином. Довільну функцію Гріна можна представити як добуток зв'язних функцій Гріна , причому треба перебрати усі можливі комбінації перестановки координат та варіантів добутку незв'язних функцій Гріна сумарного порядку :
.
Тут позначає усі можливі перестановки координат, блок містить функцій Гріна , круглі дужки при позначають координат у фіксованому порядку, від яких залежить ця функція.
Треба порахувати кількість перестановок, що виникають в результаті підсумовування. Перестановка координат у функції Гріна призведе до топологічно іншої діаграми, у результаті чого сума по перестановкам містить не всі підряд перестановки. Для отримання кількості перестановок треба поділити кількість усіх можливих перестановок, яких є , на добуток кількостей перестановок координат усередині кожного блоку. Кількість перестановок усередині блоку дорівнює добутку кількості перестановок координат для кожної із функцій Гріна , що належать блоку та кількості перестановок наборів координат функцій Гріна один між одним (без зміни порядку координат). Кількість перших перестановок дорівнює ( на кожну функцію Гріна у степені числа функцій Гріна в одному блоку), а кількість других перестановок просто дорівнює числу перестановок функцій Гріна - . У результаті, сумарне число перестановок дорівнює . Тепер можна записати розклад генеруючого функціоналу через зв'язні функції Гріна:
.
Тут на етапі другої рівності виник множник числа перестановок, оскільки в розкладі координати стають німими (в силу наявності інтегрування), і сума по перестановкам фактично перетворюється у додавання одного і того ж самого виразу раз. Оскільки тепер є сума по , то подвійну суму можна переписати як суму по , причом тепер між різними немає зв'язку. У результаті,
,
що і треба було довести.
Сильнозв'язні діаграми[]
Сильнозв'язні діаграми - діаграми, які не можна зробити незвідними шляхом розрізання однієї лінії. Зрозуміло, що такі діаграми не мають зовнішніх ліній; n-хвістки у загальному випадку, звісно, не є сильнозв'язними. Через це працювати із фунціоналом незручно. Натомість можна ввести наступний функціонал:
.
Із визначення (див. підпункт вище), є зв'язна 1-хвістка в присутності джерела . Якщо джерело відсутнє, то . Через це можна представити як
,
що формально означає, що як можна розкладати по , так і навпаки.
Визначимо тепер перетворення Лежандра,
,
і з виразу для цього функціоналу слідує, що
.
Далі наведений набір стандартних співвідношень.
.
Правило заміни функціональної похідної у позначеннях виразу вище (визначення):
.
З цього правила слідує, що
,
що каже про те, що є взаємно оберненими, причому цей результат залишається вірним і при зануленні всіх :
.
Перейдемо тепер до імпульсного простору за допомогою перетворення Фур'є (нормування для перетворення Фур'є наявне, але я його опускаю для зручності, бо у кінцевій відповіді воно не виникає):
.
Тепер треба згадати, що величини являються генеруючими елементами для діаграм -матриці. Звідси слідує, що вони - трансляційно-інваріантні (тобто, можуть залежати лише від різниці аргументів). Це означає, що їх Фур'є-образи пропорційні дельта-функціям від суми аргументів (тобто, імпульси зберігаються). Отже,
.
А оскільки пропорційне , то маємо
.
Враховуючи тепер, що відповідає усім зв'язним діаграмам (див. підрозділ вище) другого порядку, можна записати її як
.
Звідси
.
Залишається лише показати, що відповідає сильнозв'язним діаграмам. Щоб це побачити, достатньо розкласти в ряд по :
.
Звідси і слідує твердження (для другого порядку) про те, що генерує незв'язні діаграми.
Використаємо аналогічний аргумент для трьоххвістки. Для цього візьмемо варіаційну похідну від , користуючись : отримаємо
.
Звідси отримуємо, що . Дійсно, при маємо
,
тобто, отримана рівність.
Це означає, що являє собою ядро , до якого прикріплені три зв'язні двохвістки ; іншими словами, - сильнозв'язне ядро.
Аналогічним чином доводиться, що всі ядра відповідають сильнозв'язним діаграмам.
Фізичний зміст генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграм[]
В силу рівності
маємо, що
.
Це означає, що є ефективною дією у тому сенсі, що можливі значення полів за відсутності струмів задаються стаціонарними "точками" . Таким чином, вираз відповідає рівнянню руху для із урахуванням квантових поправок.
Окрім того, має зміст енергії. Дійсно, розглянемо включення струму , який плавно зростає від нуля при до деякого сталого значення , лишаючись постійним на протязі деякого довгого проміжку часу , а потім плавно зануляється на . Вплив такого збурення на факуум полягає у переході вакуумного стану у стан із визначеною енергією , який зберігається протягом часу , після чого знову переходить у вакуумний стан, який відповідає початковому. Проте він має накручену фазу, що відповідає , тому
.
Оскільки цей вираз відповідає генеруючому функціоналу для усіх фейнманівських діаграм , а він пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як , то маємо, що
.
Можна припустити, що є найнижчим значенням енергії в присутності струму, оскільки перехід від вакуумного стану до даного стану із енергією є плавним. Тому для визначення зв'язку енергії та ефективної дії треба знайти зв'язок цієї дії із середнім значенням енергії
,
причому шукається стан , який мінімізує енергію, поле має середнє значення, що на залежить від часу, , і для зручності обрана умова .
Для цього треба шукати мінімум величини
.
Звідси
.
Порівнюючи цей вираз із ( - нормований стан)
,
який виражає наявність власного стану із енергією , можна дійти висновку, що .
Підставляючи це у і беручи скалярний добуток із , отримуємо
,
що і доводить початкове твердження.
Симетрії ефективної дії[]
Можна показати, що якщо класична дія (поля - довільні) і міра інтегрування інваріантні відносно перетворень виду
,
то ефективна дія інваріантна відносно перетворення
,
де - усереднення в присутності джерела .
Дійсно, для генеруючого функціоналу маємо (в силу, як завжди, трансляційної інваріантності)
.
В силу визначення ефективної дії, , звідки
,
що і означає інваріантність відносно перетворень .
Якщо перетворення являються лінійними, то з ними співпадають. Дійсно, для лінійних перетворень
.
Відповідно (нормування усереднення по джерелу дорівнює одиниці),
,
що і доводить інваріантність ефективної дії відносно .