FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Як уже було описано у розділах про правила Фейнмана та про постановку задачі розсіяння, саме зв'язні діаграми представляють практичний інтерес. Тому було б доцільно виділити з генеруючого функціоналу функціонал, що генерує множину лише зв'язних діаграм. Окрім того, у подальшому буде показано, що важливими є сильнозв'язні діаграми. Ними є такі діаграми, які не можна зробити незв'язними розрізанням довільної однієї лінії.

Генеруюча функція для зв'язних діаграмEdit

Виявляється, що функцією, яка генерує лише зв'язні діаграми, є \ W[J] = ln(Z[J]) (нагадаю, тут \ Z[J] - генеруючий функціонал для всіх діаграм):

\ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) = (-i)^{n}\left(\frac{\delta }{\delta J(x_{1})}...\frac{\delta }{\delta J(x_{n})}W[J(y)]\right)_{J(y) = 0},

або ж

\ W[J] = \sum_{n} \frac{i^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{c}_{n}(x_{1}, ..., x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}) \qquad (1).

Доведення можна провести наступним чином. Довільну функцію Гріна \ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) можна представити як добуток зв'язних функцій Гріна \ G^{c}_{m}(x_{1},...x_{m}), причому треба перебрати усі можливі комбінації перестановки координат та варіантів добутку незв'язних функцій Гріна \ G_{1}^{\sigma_{1}}, ..., G_{m}^{\sigma_{m}} сумарного порядку \ \sigma_{1} + 2\sigma_{2} + ... + m\sigma_{m} = n:

\ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}\sum_{P}P\left[ (G_{1}^{c}()...G_{1}^{c}())...(G_{m}^{c}()...G_{m}^{c}())\right] \qquad (2).

Тут \ \sum_{P}P[...] позначає усі можливі перестановки координат, блок \ (G^{c}_{k}()...G^{c}_{k}()) містить \ \sigma_{k} функцій Гріна \ G^{c}_{k}, круглі дужки при \ G_{k} позначають \ k координат у фіксованому порядку, від яких залежить ця функція.

Треба порахувати кількість перестановок, що виникають в результаті підсумовування. Перестановка координат у функції Гріна \ G_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) призведе до топологічно іншої діаграми, у результаті чого сума по перестановкам \ (1) містить не всі підряд перестановки. Для отримання кількості перестановок треба поділити кількість усіх можливих перестановок, яких є \ n!, на добуток кількостей перестановок координат усередині кожного блоку. Кількість перестановок усередині блоку дорівнює добутку кількості перестановок координат для кожної із \ k функцій Гріна \ G^{c}_{k}(x_{1},...,x_{k}), що належать блоку та кількості перестановок наборів координат функцій Гріна один між одним (без зміни порядку координат). Кількість перших перестановок дорівнює \ (k!)^{\sigma_{k}} (\ k! на кожну функцію Гріна у степені числа функцій Гріна в одному блоку), а кількість других перестановок просто дорівнює числу перестановок \ \sigma_{k} функцій Гріна - \ \sigma_{k}!. У результаті, сумарне число перестановок дорівнює \ n_{P} = \frac{n!}{\left[(1!)^{\sigma_{1}}(2!)^{\sigma_{2}}...(m!)^{\sigma_{m}}\right]\left[\sigma_{1}!...\sigma_{m}! \right]}. Тепер можна записати розклад генеруючого функціоналу \ Z[J] через зв'язні функції Гріна:

\ Z[J] = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G_{n}(x_{1},...,x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}) =

\ = \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}\frac{(-i)^{n}}{n!}\times n! \frac{\left[\int d^{4}x G_{1}(x)J(x)\right]^{\sigma_{1}}}{(1!)^{\sigma_{1}}\sigma_{1}!}\times ...\times \frac{\left[\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{m} G_{m}^{c}(x_{1},...,x_{m})J(x_{1})...J(x_{m})\right]^{\sigma_{m}}
}{(m!)^{\sigma_{m}}\sigma_{m}!}.

Тут на етапі другої рівності виник множник числа перестановок, оскільки в розкладі \ Z[J] координати стають німими (в силу наявності інтегрування), і сума по перестановкам фактично перетворюється у додавання одного і того ж самого виразу \ n_{P} раз. Оскільки тепер є сума по \ n, то подвійну суму \ \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n} можна переписати як суму по \ \sigma_{i}, причом тепер між різними \ \sigma_{i} немає зв'язку. У результаті,

\ Z[J] = \sum_{\sigma_{1}}\frac{1}{\sigma_{1}!}\left(-i\int d^{4}x\frac{G^{c}_{1}(x)J(x)}{1!}\right)^{\sigma_{1}}\times ...\times \sum_{\sigma_{m}}\frac{1}{\sigma_{m}!}\left(\frac{-i\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{m}G_{m}^{c}(x_{1},...,x_{m})J(x_{1})J(x_{m})}{m!} \right)^{\sigma_{m}} =

\ = e^{\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{c}_{n}(x_{1},...,x_{n})J(x_{1})...J(x_{n})} = e^{iW[J]},

що і треба було довести.

Сильнозв'язні діаграмиEdit

Сильнозв'язні діаграми - діаграми, які не можна зробити незвідними шляхом розрізання однієї лінії. Зрозуміло, що такі діаграми не мають зовнішніх ліній; n-хвістки \ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) у загальному випадку, звісно, не є сильнозв'язними. Через це працювати із фунціоналом \ Z[J] незручно. Натомість можна ввести наступний функціонал:

\ \Phi (x) = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \frac{1}{Z[J]}\frac{\delta Z[J]}{\delta J(x)} = \frac{i}{Z[J]}\langle | \hat {N}\varphi (x)e^{i\int d^{4}x (L_{i}(\varphi (x)) + J(x)\varphi (x) )}|\rangle.

Із визначення (див. підпункт вище), \ \Phi (x) є зв'язна 1-хвістка в присутності джерела \ J(x). Якщо джерело \ J(x) відсутнє, то \ \Phi (x) = 0. Через це можна представити \ \Phi (x) як

\ \Phi (x) = -\int d^{4}yW_{2}(x, y)J(y) + O(J^{2}) \qquad (9),

що формально означає, що як \ \Phi (x) можна розкладати по \ J, так і навпаки.

Визначимо тепер перетворення Лежандра,

\ \Gamma [\Phi ] = W - \int d^{4}x\Phi (x)J(x) = \sum_{n}\frac{i^{n}}{n!} \int \Gamma_{n}(x_{1}...x_{n})\Phi (x_{1})...\Phi (x_{n}),

і з виразу для цього функціоналу слідує, що

\ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (x)} = \int d^{4}y \frac{\delta W}{\delta J(y)}\frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)} - \int d^{4}y \frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)}\Phi (y) - J(x) =\left| \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \Phi (x)\right| = -J(x).

Далі наведений набір стандартних співвідношень.

\ \frac{\delta \Phi (x)}{\delta J(y)} = \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)} = W_{yx}, \quad \frac{\delta J(x)}{\delta \Phi (y)} = -\frac{\delta^{2} \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (y)\delta \Phi (x)} = -\Gamma_{yx}.

Правило заміни функціональної похідної у позначеннях виразу вище (визначення):

\ \frac{\delta}{\delta J(x)} = \delta^{J}_{x} = \int d^{4}y \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)}\delta^{\Phi}_{y} = W_{yx}\delta^{\Phi}_{y}, \quad \frac{\delta}{\delta \Phi (x)} = \delta^{\Phi}_{x} = -\Gamma_{xy}\delta^{J}_{y} \qquad (10).

З цього правила слідує, що

\ \delta (x - y) = \frac{\delta \Phi (x)}{\delta \Phi (y)} = -\Gamma_{yz}\delta^{J}_{z}\Phi (x) = -\Gamma_{yz}W_{zx} \qquad (11),

що каже про те, що \ \Gamma_{yz}, W_{zx} є взаємно оберненими, причому цей результат залишається вірним і при зануленні всіх \ J(x):

\ \int d^{4}z\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = -\delta (x - y).

Перейдемо тепер до імпульсного простору за допомогою перетворення Фур'є (нормування для перетворення Фур'є наявне, але я його опускаю для зручності, бо у кінцевій відповіді воно не виникає):

\ \int d^{4}xd^{4}yd^{4}z e^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = \int d^{4}z\Gamma_{2}(p_{y}, z)W_{2}(z, p_{x}) = \left|\Gamma_{2}(p_{y}, z) = \int d^{4}p_{z}e^{ip_{z}z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})\right| =

\ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) \int d^{4}ze^{ip_{z}z}W_{2}(z, p_{x}) =  \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) =_{right}= -\int d^{4}xd^{4}ye^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\delta (x - y) = -\delta (p_{x} + p_{y}).

Тепер треба згадати, що величини \ \Gamma_{n}, W_{m} являються генеруючими елементами для діаграм \ S-матриці. Звідси слідує, що вони - трансляційно-інваріантні (тобто, можуть залежати лише від різниці аргументів). Це означає, що їх Фур'є-образи пропорційні дельта-функціям від суми аргументів (тобто, імпульси зберігаються). Отже,

\ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) = |\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) = \delta (p_{y} + p_{z})\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})| = \Gamma_{2}(p_{y}, -p_{y})W_{2}(p_{y}, p_{x}) = -\delta (p_{x} + p_{y}).

А оскільки \ W_{2}(p_{y}, p_{x}) пропорційне \ \delta (p_{x} + p_{y}), то маємо

\ \Gamma_{2}(p, -p)W_{2}(p, -p) = -1.

Враховуючи тепер, що \ W_{2} відповідає усім зв'язним діаграмам (див. підрозділ вище) другого порядку, можна записати її як

\ W_{2}(p, -p) = \frac{-i}{p^{2} - m^{2} - \Eta (p)}.

Звідси

\ \Gamma_{2}(p, -p) = i(p^{2} - m^{2} - \Eta (p)).

Залишається лише показати, що \ \Eta (p) відповідає сильнозв'язним діаграмам. Щоб це побачити, достатньо розкласти \ W_{2} в ряд по \ \Eta (p):

\ W_{2}(p, -p) = -i \left( \frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + ...\right).

Звідси і слідує твердження (для другого порядку) про те, що \ \Gamma_{2}(p, -p) генерує незв'язні діаграми.

Використаємо аналогічний аргумент для трьоххвістки. Для цього візьмемо варіаційну похідну \ \frac{\delta }{\delta J(u)} = \delta_{u}^{J} від \ (11), користуючись \ (10): отримаємо

\ 0 = \delta_{u}^{J}(\Gamma_{yz}W_{zx}) = -W_{zx}\delta_{u}^{J}\Gamma_{yz} - \Gamma_{yz}\delta_{u}^{J}W_{zx} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{up}\delta_{p}^{\Phi}\Gamma_{yz} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{uv} \Gamma_{vyz}.

Звідси отримуємо, що \ W_{uzx} = W_{xt}W_{uv}W_{yz}\Gamma_{vty}. Дійсно, при \ J = \Phi = 0 маємо

\ \int d^{4}zd^{4}vW_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyz} = -\int d^{4}vd^{4}\tau d^{4}zd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}W_{\tau z}\Gamma_{yz} = \left| \int d^{4}z\Gamma_{yz}W_{\tau z} = -\delta (y - \tau )\right| =

\ = \int d^{4}v d^{4}t d^{4}\tau W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}\delta (y - \tau ) = \int d^{4}vd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyt},

тобто, отримана рівність.

Це означає, що \ W_{uzx} являє собою ядро \ \Gamma_{vty}, до якого прикріплені три зв'язні двохвістки \ W_{xt}, W_{uv}, W_{yz}; іншими словами, \ \Gamma_{vty} - сильнозв'язне ядро.

Аналогічним чином доводиться, що всі ядра \ \Gamma відповідають сильнозв'язним діаграмам.

Фізичний зміст генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграмEdit

В силу рівності

\ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi_{s} (x)} = -J_{s}(x)

маємо, що

\ \left( \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi_{s} (x)} \right)_{J = 0} = 0 \qquad (12).

Це означає, що \ \Gamma є ефективною дією у тому сенсі, що можливі значення полів \ \Phi_{s} за відсутності струмів \ J_{s} задаються стаціонарними "точками" \ \Gamma . Таким чином, вираз \ (12) відповідає рівнянню руху для \ \Phi_{s} із урахуванням квантових поправок.

Окрім того, \ \Gamma має зміст енергії. Дійсно, розглянемо включення струму \ J^{n}(\mathbf x , t), який плавно зростає від нуля при \ t \to -\infty до деякого сталого значення \ J^{n}(\mathbf x ), лишаючись постійним на протязі деякого довгого проміжку часу \ T, а потім плавно зануляється на \ t \to \infty. Вплив такого збурення на факуум полягає у переході вакуумного стану у стан із визначеною енергією \ E[J_{n}], який зберігається протягом часу \ T, після чого знову переходить у вакуумний стан, який відповідає початковому. Проте він має накручену фазу, що відповідає \ e^{iE[J_{n}]T}, тому

\ \langle out |in \rangle_{J} = e^{-iE[J_{n}]T} \qquad (13).

Оскільки цей вираз відповідає генеруючому функціоналу для усіх фейнманівських діаграм \ Z[J], а він пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як \ Z[J] = e^{iW[J]}, то маємо, що

\ W[J_{n}] = -E[J_{n}]T.

Можна припустити, що \ E[J_{n}] є найнижчим значенням енергії в присутності струму, оскільки перехід від вакуумного стану до даного стану із енергією \ E[J_{n}] є плавним. Тому для визначення зв'язку енергії та ефективної дії \ \Gamma треба знайти зв'язок цієї дії із середнім значенням енергії

\ \langle \hat{H} \rangle_{\Omega} = \frac{\langle \Omega |\hat{H} | \Omega \rangle}{\langle \Omega | \Omega \rangle },

причому шукається стан \ \Omega_{\varphi}, який мінімізує енергію, поле \ \Phi_{n}(\mathbf x , t) має середнє значення, що на залежить від часу, \ \frac{\langle \Omega|\Phi_{n}(\mathbf x , t) | \Omega \rangle}{\langle \Omega |\Omega \rangle} = \psi_{n}(\mathbf x), і для зручності обрана умова \ \langle \Omega |\Omega \rangle = 1.

Для цього треба шукати мінімум величини

\ \langle \Omega |\hat{H} | \Omega \rangle - \alpha \langle \Omega | \Omega \rangle - \int d^{3}\mathbf x \beta^{n}(\mathbf x )\langle  \Omega |\Psi_{n}(\mathbf x)| \Omega \rangle .

Звідси

\ \hat{H} |\Omega \rangle = \alpha | \Omega \rangle + \int d^{3}\mathbf x \beta^{n}(\mathbf x )\langle  \psi_{n}(\mathbf x ) \qquad (14).

Порівнюючи цей вираз із (\ \Psi_{J} - нормований стан)

\ (\hat{H} - \int d^{3}\mathbf x J^{n}(\mathbf x )\langle  \psi_{n}(\mathbf x ))| \Psi_{J_{n}}\rangle  = E[J_{n}]\Psi_{J_{n}},

який виражає наявність власного стану із енергією \ E[J_{n}], можна дійти висновку, що \ \alpha = E[J], \beta^{n}(\mathbf x ) = J^{n}(\mathbf x), \Omega = \Psi_{J_{n}}.

Підставляючи це у \ (14) і беручи скалярний добуток із \ \langle \Psi_{J_{n}}| , отримуємо

\ \langle \hat{H}\rangle_{\Omega} = E[J_{n}] + \int d^{3}\mathbf x J^{n}(\mathbf x ) \varphi_{n}(\mathbf x) = -\frac{1}{T} W[J_{n}] + \frac{1}{T}\int d^{4}x J^{n}(\mathbf x ) \varphi_{n}(\mathbf x ) = -\frac{1}{T}\Gamma [\varphi ] ,

що і доводить початкове твердження.

Симетрії ефективної діїEdit

Можна показати, що якщо класична дія \ I[\varphi ] (поля \ \varphi - довільні) і міра інтегрування \ D \varphi інваріантні відносно перетворень виду

\ \varphi^{n} (x) \to \varphi^{n}(x) + \varepsilon F^{n}[\varphi , x] \qquad (15),

то ефективна дія \ \Gamma [\varphi ] інваріантна відносно перетворення

\ \varphi^{n} (x) \to \varphi^{n}(x) + \varepsilon \langle F^{n}(x)\rangle_{J^{n}} \qquad (16),

де \ \langle \rangle_{J} - усереднення в присутності джерела \ J.

Дійсно, для генеруючого функціоналу маємо (в силу, як завжди, трансляційної інваріантності)

\ Z[J ]{'} = \int D\varphi {'}^{iI[\varphi ] + i\int d^{4}x \varphi^{n} (x){'}J_{n}(x)} = Z[J] + i\varepsilon \int D \varphi \int d^{4}x F^{n}[\varphi , x]J_{n}(x)e^{iI[\varphi ] + i \int d^{4}x\varphi^{n}J_{n}} = Z[J] \Rightarrow

\ \int D \varphi \int d^{4}x F^{n}[\varphi , x]J_{n}(x)e^{iI[\varphi ] + i \int d^{4}x\varphi^{n}J_{n}} = Z[J]\int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J}J_{n}(x) = 0.

В силу визначення ефективної дії, \ J^{n}(x) = -\left(\frac{\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi^{n}(x)}\right)_{\varphi = 0}, звідки

\ -\int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J}J_{n}(x) = \int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J} \left(\frac{\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi^{n}}\right)_{\varphi = 0} = 0,

що і означає інваріантність відносно перетворень \ (16).

Якщо перетворення \ (15) являються лінійними, то \ (16) з ними співпадають. Дійсно, для лінійних перетворень

\ F^{n}[\varphi , x] = s(x) + \int d^{4}yt^{n}_{\ m}(x, y)\varphi^{m}(y).

Відповідно (нормування усереднення по джерелу дорівнює одиниці),

\ \langle F^{n}[x]\rangle_{J} = s(x) + \int d^{4}x t^{n}_{m}(x,y)\langle \varphi^{m}(y) \rangle_{J} = s(x) + \int d^{4}x t^{n}_{m}(x,y)\varphi^{m}(y) = F^{n}[\varphi^{n} , x],

що і доводить інваріантність ефективної дії відносно \ (15).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.