FANDOM


Повернутися до розділу "Теорема Нетер".

Тензор енергії-імпульсуEdit

Можна розглянути перетворення, що пов'язані з паралельними переносами у просторі і часі та не заторкають функції полів (таким чином, функції полів є інваріантними відносно цих паралельних переносів):

$ \ x^{\nu} \to x^{'\nu} = x^{\nu} + \omega^{\nu}, \quad \Psi{'}_{k}(x') = \Psi_{k}(x) $.

Відповідно до цього функції $ \ X^{\nu}_{\alpha}, Y_{k, \alpha} $ рівні

$ \ X^{\nu}_{\alpha} = \frac{\partial (x^{\nu} + \omega^{\nu})}{\partial \omega^{\alpha}} = \delta^{\nu}_{\alpha}, \quad Y_{k, \alpha} = 0 $.

Тоді нетерівський струм

$ \ J^{\mu}_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha} - \left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k} - \delta^{\mu}_{\nu}L\right] X^{\nu}_{\alpha} $

буде мати вигляд

$ \ J^{\mu}_{\alpha} = -\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k}\delta^{\nu}_{\alpha} - \delta^{\mu}_{\nu}\delta^{\nu}_{\alpha}L \right) = -\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\alpha}\Psi_{k} - \delta^{\mu}_{\alpha} L \right) $.

Такий вираз з точністю до знаку співпадає з виразом для тензора енергії-імпульса. Таким чином, збереження енергії-імпульсу пов'язано з симетрією відносно паралельних переносів у просторі-часі. Іншими словами, енергія-імпульс системи зберігаються, якщо вона знаходиться у однорідному просторі-часі. Варто зазначити, що теорема Нетер є локальною. Наприклад, це означає, що вигляд залежності $ \ \omega_{\mu} = \omega_{\mu}(x_{\nu}) $ у рамках теореми Нетер неважливий. Проте для отримання виразу для тензора енергії-імпульсу через інтегральне формулювання дії,

$ \ S' = \int L(\varphi_{\beta }(x'_{\mu}), \partial_{\nu}\varphi_{\beta}(x'_{\nu}))d^{4}x' $,

важливо врахувати, що $ \ \omega_{\mu} $ залежить від $ \ x_{\nu} $, оскільки таке формулювання пов'язане з інтегруванням по всьому простору.

Тензор моменту імпульсу та спінуEdit

Дія, а отже - і рівняння руху, повинні бути інваріантними по відношенню до перетворень Лоренца. Матриця перетворення Лоренца інтерпретується, як було показано у розділі "Перетворення Лоренца" статті "СТВ", як повороти у 4-вимірному псевдоевклідовому просторі-часі, які змішують просторові і часові координати. Ці перетворення включають у себе перетворення, пов'язані із переходом до нової ІСВ. У більш загальному випадку треба врахувати також обертання координатних вісей. Це означає, що матриця переходу

$ \ \Lambda^{\nu}_{\mu}, \quad x'^{\nu} = \Lambda^{\nu}_{\mu}x^{\mu} $,

залежить від шести параметрів: $ \ v_{x}, v_{y}, v_{z}, \varphi_{x}, \varphi_{y}, \varphi_{z} $.

Якщо перетворення відбуваються при нескінченно малих значеннях компонент відносної швидкості та кутів повороту, матрицю перетворяння можна розкласти в ряд біля околу одиничної матриці до лінійних по всім параметрам доданків:

$ \ \Lambda^{\nu}_{\mu} = \delta^{\nu}_{\mu} + w^{\nu}_{\mu} $,

де $ \ w^{\nu}_{\mu} $ - величини, що лінійно залежать від параметрів перетворень Лоренца.

Такий лілійний розклад повинен задовільняти умові інваріантності скалярного добутку, а отже,

$ \ x'^{\nu}x'_{\nu} = (x^{\nu} + w^{\nu}_{\mu}x^{\mu})(x_{\nu} + x_{\lambda \mu}x^{\lambda}) = x^{\nu}x_{\nu} + w^{\nu}_{\mu}x^{\mu}x_{\lambda} + w_{\nu \lambda}x^{\lambda}x^{\nu} = x^{\nu}x_{\nu} \qquad (.1) $.

Враховуючи, що для скаляра $ \ A^{\alpha}B_{\alpha} = A_{\alpha}B^{\alpha} $, можна отримати, що

$ \ w^{\nu}_{\mu}x^{\mu}x_{\nu} = w_{\nu \mu}x^{\mu}x^{\nu} = w_{\nu \lambda}x^{\nu} x^{\lambda} $.

Тоді з $ \ (.1) $ можна отримати, що

$ \ 2w_{\nu \lambda}x^{\nu} x^{\lambda} = 0 $.

Сукупність величин $ \ x^{\nu} x^{\lambda} $ утворюють симетричний тензор другого рангу. Згортка цього тензора з тензором $ \ w_{\nu \lambda} $ буде рівна нулю, крім тривіального випадку, лише тоді, коли тензор $ \ w_{\nu \lambda} $ - антисиметричний.

Така інваріантність дії, згідно до теореми Нетер, буде відповідати інваріантному струму. Замість величини $ \ X^{a}_{b} = \frac{\partial f^{a}}{\partial w^{b}} $ треба писати $ \ X^{\nu}_{\alpha \beta} $, оскільки $ \ w^{\alpha} -> w^{\alpha \beta} $.

Тоді, в силу антисиметрії отриманого тензора,

$ \ X^{\nu}_{\alpha \beta} = \frac{\partial (x^{\nu} + w^{\nu \mu}x_{\mu})}{\partial w^{\alpha \beta}} = \delta^{\nu}_{\alpha}x_{\beta} - \delta^{\nu}_{\beta}x_{\alpha} \qquad (.2) $,

де один індекс $ \ i $ фіксується $ \ x_{i} $, а інший, $ \ j $ - символом Кронекера $ \ \delta^{a}_{j} $.

Використовуючи

$ \ J^{\mu}_{\alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta} - T^{\mu}_{\nu}X^{\nu}_{\alpha} $

та $ \ (.2) $, струм можна записати, з опущенням індексу $ \ \mu $ як

$ \ J^{\mu , \alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta} - T_{\mu \nu}(\delta^{\nu}_{\alpha}x_{\beta} - \delta^{\nu}_{\beta}x_{\alpha}) = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta} + x_{\alpha}T_{\mu \beta} - x_{\beta}T_{\mu \alpha} = S_{\mu, \alpha \beta} + L_{\mu, \alpha \beta} \qquad (.3) $,

де перший доданок називається спіновим моментом поля, а другий - кутовим моментом оберту поля. Назва для першого обумовлена лише тим, що в нього не входять явно координати, а назва другого - тим, що його компоненти подібні до компонент моменту імпульса.

У електродинаміці $ \ Y_{\nu, \alpha \beta} $, аналогічно до перетворень координат (перетворення для польових функцій здійснюються за допомогою тієї ж матриці Лоренцевого перетворення), рівна

$ \ Y^{\nu,}_{ \alpha \beta} = \delta^{\nu}_{\alpha}A_{\beta} - \delta^{\nu}_{\beta}A_{\alpha} \Rightarrow Y_{\nu, \alpha \beta} = g_{\nu \alpha}A_{\beta} - g_{\nu \beta}A_{\alpha} \qquad (.4) $.

Тоді, із урахуванням $ \ (.4) $, спіновий момент поля із $ \ (.3) $ можна буде записати (метричний тензор підніме індекс $ \ \alpha $ у похідній від лагранжіана) як

$ \ S_{\nu , \alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}A_{\alpha})}A_{\beta} - \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}A_{\beta})}A_{\alpha} \qquad (.5) $.

Тензор моменту імпульсу частинок. Збереження повного моменту імпульсуEdit

За означенням, момент імпульса точкової частинки із 3-імпульсом $ \ \mathbf p $ відносно точки із радіус-вектором $ \ \mathbf r $ рівен

$ \ L = [\mathbf r \times \mathbf p ] $.

Із компонент момента імпульса можна утворити 4-тензор моменту-імпульса:

$ \ L^{\mu \nu} = x^{\mu} p^{\nu} - x^{\nu}p^{\mu} $.

Тоді тензором моменту імпульса частинок буде сума

$ \ L^{\mu \nu} = \sum_{\alpha}(x_{\alpha}^{\mu} p_{\alpha}^{\nu} - x_{\alpha}^{\nu}p_{\alpha}^{\mu}) $,

а повним тензором моменту імпульсу частинок та поля - вираз

$ \ L^{\mu \nu} = \frac{1}{c}\int (x^{\mu}T^{\nu \alpha} - x^{\nu}T^{\mu \alpha})dS_{\lambda} + \sum_{\alpha}(x_{\alpha}^{\mu} p_{\alpha}^{\nu} - x_{\alpha}^{\nu}p_{\alpha}^{\mu}) $,

де перший доданок відповідає тензору кутового моменту поля, кожна з компонент якого інтегрується по гіперповерхні $ \ S_{\lambda}: x^{0} = const $. Дійсно, кожна з компонент тензора енергії-імпульсу має розмірність густини імпульса, помноженої на константу с (це очевидно, якщо згадати визначення вектора Пойнтінга). Тоді інтеграл

$ \ \frac{1}{c}\int (x^{\mu}T^{\nu 0} - x^{\nu}T^{\mu 0})d^{3}x $

відповідає компонентам вектора моменту імпульсу поля.

Якщо розподілення частинок у просторі неперервне, то другий доданок можна записати у вигляді

$ \ L^{\mu \nu} = \frac{1}{c}\int (x^{\mu}\Tau^{\nu \lambda} - x^{\nu}\Tau^{\mu \lambda})dS_{\lambda} $,

де $ \ \Tau $ - тензор енергії-імпульсу частинок.

При наявності частинок, а отже, і струмів, зберігається саме сума цих двох величин. Дійсно, збереження такого інтегралу відповідає збереженню підінтегральної функції. А отже, достатньо згорнути повний тензор кутового моменту, що стоїть під знаком інтегралу, з коваріантною похідною. Наприклад, для електромагнітного поля, користуючись симметричністю тензорів енергії-імпульсу частинок, уже доведеними виразами

$ \ \partial_{\nu}T^{\mu \nu} = F^{\mu \alpha }j_{\alpha}, \quad \partial_{\nu}\Tau^{\mu \nu} = -F^{\mu \alpha}j_{\alpha} $,

а також - тим, що при взятті частинних похідних

$ \ \partial_{\mu}x^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu} $,

можна отримати:

$ \ \partial_{\lambda}(x^{\mu} T^{\nu \lambda} - x^{\nu}T^{\mu \lambda} + x^{\mu}\Tau^{\nu \lambda} - x^{\nu} \Tau^{\mu \lambda}) = \delta^{\mu}_{\lambda}T^{\nu \lambda} - \delta^{\mu}_{\lambda}T^{\nu \lambda} + \delta^{\mu}_{\lambda}\Tau^{\nu \lambda} - \delta^{\nu}_{\lambda}\Tau^{\mu \lambda} = \left( -x^{\mu}F^{\nu \alpha} + x^{\nu}F^{\mu \alpha} + x^{\mu}F^{\nu \alpha} - x^{\nu}F^{\mu \alpha}\right)j_{\alpha} = 0 $.

З отриманого доведення нескладно бачити, що за відсутності струмів тензор кутового моменту поля зберігається сам по собі.