FANDOM


Повернутися до розділу "Закони збереження".

Закон збереження імпульсуEdit

Можна обчислити похідну вектора Пойнтінга по часу, користуючись, як і у минулому підрозділі, роторними рівняннями Максвелла:

\ \frac{\partial \mathbf P }{\partial t} = \frac{c}{4 \pi}\left( \left[\mathbf E \times \frac{\partial \mathbf B }{\partial t}\right] + \left[\mathbf \frac{\partial \mathbf E }{\partial t} \times \mathbf B \right] \right) = - \frac{c^{2}}{4 \pi}\left([\mathbf B \times [\nabla \times \mathbf B]] + [\mathbf E \times [\nabla \times \mathbf E ]]\right) - c[ \mathbf j \times \mathbf B ] \qquad (.5).

Тоді для \ j-тої компоненти даного виразу можна записати:

\ \left(\frac{\partial \mathbf P}{\partial t}\right)_{j} + c^{2}\left[\rho\mathbf E_{j} + \sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{ij} + \frac{1}{c}[\mathbf j \times \mathbf B ]_{j}\right] = 0 \qquad (.6),

де

\ \sigma_{ij} = \delta_{ij}W - \left(E_{i}E_{j} + B_{i} B_{j}\right) - тензор потоку імпульсу.

Знову ж таки, оператор "набла" у \ (.6) наводить на ідею проінтегрувати його по об'єму.

Якщо значення напруженості електричного поля та індукції магнітного поля на нескінченності рівні нулю, то інтеграл від \ \sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{ij} рівен нулю. Далі, оскільки

\ \mathbf j = \sum_{i}q_{i}\mathbf v_{i}\delta (\mathbf r - \mathbf r_{i}), \quad \mathbf E = \mathbf E (\mathbf r_{i}), \quad \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E (\mathbf r_{i} )], \quad \int \limits_{V}\rho d^3 \mathbf r = q ,

то після інтегрування можна отримати:

\ \int \limits_{V}\frac{\partial \mathbf P}{\partial t}d^{3}\mathbf r + c^{2}\sum_{i}q_{i}\left( \mathbf E (\mathbf r_{i}) + \frac{1}{c}[\mathbf v_{i} \times \mathbf B ] \right) = const \qquad (.7).

Якщо поля можуть діяти на заряди, які створюють ці поля, то замість виразу для сили Лоренца можна записати похідну по часу імпульса усіх частинок:

\ \sum_{i}q_{i}\left( \mathbf E (\mathbf r_{i}) + \frac{1}{c}[\mathbf v_{i} \times \mathbf B ] \right) = \sum_{i} \frac{d \mathbf p_{i}}{d t}.

Тоді, остаточно, вираз \ (.7) набуде вигляду

\ \frac{d }{d t}\left( \int \limits_{V}\mathbf P d^{3}\mathbf r + c^{2}\sum_{i} \mathbf p_{i} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{c^{2}}\int \limits_{V}\mathbf P d^{3}\mathbf r + \sum_{i}\mathbf p_{i} = const.

Цей закон відповідає за збереження сумарного імпульсу полів і зарядів, які знаходяться у цих полях. Тоді \ \frac{1}{c^{2}}\int \limits_{V}\mathbf P d^{3}\mathbf r відповідає сумарному імпульсу поля.

Закон збереження моменту імпульсуEdit

Оскільки із \ (.6) був отриманий закон збереження імпульсу, то логічним є міркування векторного множення цього виразу на радіус-вектор \ \mathbf r із використанням символу Леві-Чівіта для тензора:

\ \left[\mathbf r \times \frac{\partial \mathbf P}{\partial t}\right]_{j} + \sum_{j,p,q}\varepsilon_{jpq}r_{p}\sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{iq} + c^{2}\left[[\mathbf r \times \left(\rho \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf j \times \mathbf B ]\right)\right]_{j} = 0 \qquad (.8).

У доданку для тензора \ r_{p} можна внести під знак оператора "набла". Дійсно, користуючись тим, що \ \nabla_{i} (ab) = \nabla_{i}(a)b + \nabla_{i}(b)a, можна записати:

\ \sum_{j,p,q}\varepsilon_{jpq}r_{p}\sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{iq} = \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\nabla_{i}r_{p}\sigma_{iq} - \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\sigma_{iq}\nabla_{i}r_{p} = \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\nabla_{i}r_{p}\sigma_{iq} - \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\sigma_{iq}\delta_{ip} =

\ = \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\nabla_{i}r_{p}\sigma_{iq} - \sum_{j, i, q}\varepsilon_{jiq}\sum_{i}\sigma_{iq}.

Оскільки у останньому доданку тензор \ \sigma_{iq} - симетричний, а \ \varepsilon_{jiq} - симетричний, то їх згортка дасть нуль. Отже, \ (.8) набуде вигляду

\ \left[\mathbf r \times \frac{\partial \mathbf P}{\partial t}\right]_{j} + \sum_{i,j,p,q}\nabla_{i}\varepsilon_{jpq} r_{p}\sigma_{iq} + c^{2}\left[[\mathbf r \times \left(\rho \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf j \times \mathbf B ]\right)\right]_{j} = 0.

Якщо взяти інтеграл по всьому об'єму, то, користуючись уже наведеними раніше міркуваннями, можна стверджувати, що якщо компоненти тензора на нескінченності зменшуються швидше, ніж за законом \ \frac{1}{r^{3}}, то інтеграл від тензорної величини буде рівен нулю. Знову ж таки, використовуючи метод самоузгодженого поля, можна отримати:

\ \frac{d}{dt}\left(\int [\mathbf r \times \mathbf P]dV + c^{2}\sum_{i}[\mathbf r_{i} \times \mathbf p_{i} ] \right) = 0.

Перший доданок відповідає за момент імпульсу поля, другий - за момент імпульсу зарядів у полі.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.