NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Закони збереження".

Процедура виведення законів збереження (без лагранжевого формалізму) є досить штучною, оскільки потребує відповідного введення величин, яке не є очевидним. Нехай введено два вирази:

.

Без теореми Нетер їх можна отримати, лише "навмання" використовуючи різні операції із рівняннями Максвелла. Отже, у даному розділі можна обмежитись їх безпосереднім введенням. Аналогічно - з їх фізичним змістом. Проте при встановленні законів збереження їх фізичний зміст може бути встановлений доволі очевидним шляхом, тому ці викладки навести треба.

Також треба знати важливу "фільтруючу" властивість дельта-функції:

.

Закон збереження енергії[]

Можна обчислити похідну від величини по часу, використовуючи рівняння Максвелла:

.

Взявши дивергенцію від величини (при урахуванні того, що оператор "набла" діє на обидва вектори векторного добутку) і підставивши її у , можна отримати:

.

Оскільки у даному виразі фігурує оператор "набла", то доцільно взяти інтеграл по об'єму від нього, тим самим використавши теорему Гаусса:

.

Використавши визначення густини струму для випадку системи точкових зарядів,

,

та те, що інтеграл від дельта-функції по всьому об'єму рівен одиниці,

,

вираз можна спростити:

.

Окрім того, у розділі "Сила у СТВ" сторінки "Теорія відносності" було показано, що . Якщо використати метод самоузгодженого поля (поля діють на заряди, що створюють ці поля) для сили Лоренца, то дане співвідношення набуде вигляду

.

Отже, накінець, вираз буде мати вигляд

.

Другий доданок відповідає за сумарну кінетичну енергію усіх зарядів, в той час як перший, як слідує із виразу і інтерпретації другого доданку, відповідає за сумарну енергію поля. Сама ж величина , відповідно до своєї розмірності, відповідає густині енергії електромагнітного поля.

Якщо на нескінченності відносно вибраного початку координат значення напруженості електричного та індукції магнітного полів прямують до нуля, а заряди зосереджені у кінцевій ділянці простору, то інтеграл від правої частини у рівен нулю. Дійсно, якщо значення полів на нескінченності зменшуються швидше, ніж за законом , то при інтегруванні в сферичних координатах поверхневий інтеграл набуде вигляду , де - величина відхилення від степені 2. Наприклад, для точкових зарядів і, отже, на нескінченності інтеграл від цього виразу рівен нулю. Тоді величина зліва зберігається із часом.

З також слідує інтерпретація поверхневого інтегралу і величини . Вираз-інтеграл відповідає за потік енергії електромагнітного поля через поверхню, а - за густину потоку енергії поля, що покидає об'єм через поверхню, обмежену поверхнею , і називається вектором Пойнтінга.

Advertisement