FANDOM


Повернутися до розділу "Закони збереження".

Процедура виведення законів збереження (без лагранжевого формалізму) є досить штучною, оскільки потребує відповідного введення величин, яке не є очевидним. Нехай введено два вирази:

$ \ W = \frac{\mathbf E^{2} + \mathbf B^{2}}{8 \pi}, \quad \mathbf P = \frac{c}{4 \pi}[\mathbf E \times \mathbf B ] $.

Без теореми Нетер їх можна отримати, лише "навмання" використовуючи різні операції із рівняннями Максвелла. Отже, у даному розділі можна обмежитись їх безпосереднім введенням. Аналогічно - з їх фізичним змістом. Проте при встановленні законів збереження їх фізичний зміст може бути встановлений доволі очевидним шляхом, тому ці викладки навести треба.

Також треба знати важливу "фільтруючу" властивість дельта-функції:

$ \ \int \limits_{-\infty}^{\tau}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)dt = f(0) (\tau > 0) $.

Закон збереження енергіїEdit

Можна обчислити похідну від величини $ \ W $ по часу, використовуючи рівняння Максвелла:

$ \ \frac{\partial W}{\partial t} = \frac{1}{8 \pi}\left( 2\mathbf E \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} + 2\mathbf B \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \right) = \left|\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = c[\nabla \times \mathbf B] - 4 \pi \mathbf j, \quad \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = -c[\nabla \times \mathbf E ]\right| = $

$ \ = \frac{1}{4 \pi}\left( c(\mathbf E\cdot [\nabla \times \mathbf B ]) - 4 \pi (\mathbf j \cdot \mathbf E ) - c (\mathbf B \cdot [\nabla \times \mathbf E ]) \right) \qquad (.1) $.

Взявши дивергенцію від величини $ \ \mathbf P $ (при урахуванні того, що оператор "набла" діє на обидва вектори векторного добутку) і підставивши її у $ \ (.1) $, можна отримати:

$ \ (\nabla \cdot \mathbf P) = \frac{c}{4 \pi}(\nabla \cdot [\mathbf E \times \mathbf B ]) = \frac{c}{4 \pi}(\mathbf B \cdot [\nabla \times \mathbf E ]) - \frac{c}{4 \pi}(\mathbf E \cdot [\nabla \times \mathbf B ]) \Rightarrow \frac{\partial W}{\partial t} = -(\nabla \cdot \mathbf P ) - (\mathbf j \cdot \mathbf E ) \Rightarrow \frac{\partial W}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf P ) + (\mathbf j \cdot \mathbf E ) = 0 $.

Оскільки у даному виразі фігурує оператор "набла", то доцільно взяти інтеграл по об'єму від нього, тим самим використавши теорему Гаусса:

$ \ \frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{V}WdV + \int \limits_{V}(\mathbf j \cdot \mathbf E )dV = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.2) $.

Використавши визначення густини струму для випадку системи точкових зарядів,

$ \ \mathbf j = \sum_{i}\mathbf v_{i} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})q_{i} $,

та те, що інтеграл від дельта-функції по всьому об'єму рівен одиниці,

$ \ \int \limits_{V} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})d^{3} \mathbf r = 1 $,

вираз $ \ (.2) $ можна спростити:

$ \ \frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{V}WdV + \sum_{i}q_{i}(\mathbf v_{i} \cdot \mathbf E (\mathbf r_{i} )) = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.3) $.

Окрім того, у розділі "Сила у СТВ" сторінки "Теорія відносності" було показано, що $ \ \frac{\partial E_{k}}{\partial t} = (\mathbf F \cdot \mathbf v ) $. Якщо використати метод самоузгодженого поля (поля діють на заряди, що створюють ці поля) для сили Лоренца, то дане співвідношення набуде вигляду

$ \ \frac{\partial E_{k}}{\partial t} = q (\mathbf v \cdot \mathbf E) + \frac{q}{c}(\mathbf v \cdot [\mathbf v \times \mathbf B ] ) = q (\mathbf v \cdot \mathbf E) $.

Отже, накінець, вираз $ \ (.3) $ буде мати вигляд

$ \ \frac{\partial }{\partial t}\left( \int \limits_{V} W dV + \sum_{i}E_{k} \right) = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.4) $.

Другий доданок відповідає за сумарну кінетичну енергію усіх зарядів, в той час як перший, як слідує із виразу і інтерпретації другого доданку, відповідає за сумарну енергію поля. Сама ж величина $ \ W $, відповідно до своєї розмірності, відповідає густині енергії електромагнітного поля.

Якщо на нескінченності відносно вибраного початку координат значення напруженості електричного та індукції магнітного полів прямують до нуля, а заряди зосереджені у кінцевій ділянці простору, то інтеграл від правої частини у $ \ (.4) $ рівен нулю. Дійсно, якщо значення полів на нескінченності зменшуються швидше, ніж за законом $ \ \frac{1}{r} $, то при інтегруванні в сферичних координатах поверхневий інтеграл набуде вигляду $ \ \int \frac{r^{2}}{r^{2 + \varepsilon }}drd\theta $, де $ \ \varepsilon $ - величина відхилення від степені 2. Наприклад, для точкових зарядів $ \ |[\mathbf E \times \mathbf B ]| = f\left(\frac{1}{r^{4}}\right) $ і, отже, на нескінченності інтеграл від цього виразу рівен нулю. Тоді величина зліва зберігається із часом.

З $ \ (.4) $ також слідує інтерпретація поверхневого інтегралу $ \ \int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S) $ і величини $ \ \mathbf P $. Вираз-інтеграл відповідає за потік енергії електромагнітного поля через поверхню, а $ \ \mathbf P $ - за густину потоку енергії поля, що покидає об'єм через поверхню, обмежену поверхнею $ \ S $, і називається вектором Пойнтінга.