FANDOM


Повернутися до розділу "Закони збереження".

Процедура виведення законів збереження (без лагранжевого формалізму) є досить штучною, оскільки потребує відповідного введення величин, яке не є очевидним. Нехай введено два вирази:

\ W = \frac{\mathbf E^{2} + \mathbf B^{2}}{8 \pi}, \quad \mathbf P = \frac{c}{4 \pi}[\mathbf E \times \mathbf B ].

Без теореми Нетер їх можна отримати, лише "навмання" використовуючи різні операції із рівняннями Максвелла. Отже, у даному розділі можна обмежитись їх безпосереднім введенням. Аналогічно - з їх фізичним змістом. Проте при встановленні законів збереження їх фізичний зміст може бути встановлений доволі очевидним шляхом, тому ці викладки навести треба.

Також треба знати важливу "фільтруючу" властивість дельта-функції:

\ \int \limits_{-\infty}^{\tau}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)dt = f(0) (\tau > 0).

Закон збереження енергіїEdit

Можна обчислити похідну від величини \ W по часу, використовуючи рівняння Максвелла:

\ \frac{\partial W}{\partial t} = \frac{1}{8 \pi}\left( 2\mathbf E \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} + 2\mathbf B \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \right) = \left|\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = c[\nabla \times \mathbf B] - 4 \pi \mathbf j, \quad \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = -c[\nabla \times \mathbf E ]\right| =

\ = \frac{1}{4 \pi}\left(  c(\mathbf E\cdot [\nabla \times \mathbf B ]) - 4 \pi (\mathbf j \cdot \mathbf E ) - c (\mathbf B \cdot [\nabla \times \mathbf E ]) \right) \qquad (.1).

Взявши дивергенцію від величини \ \mathbf P (при урахуванні того, що оператор "набла" діє на обидва вектори векторного добутку) і підставивши її у \ (.1), можна отримати:

\ (\nabla \cdot \mathbf P) = \frac{c}{4 \pi}(\nabla \cdot [\mathbf E \times \mathbf B ]) = \frac{c}{4 \pi}(\mathbf B \cdot [\nabla \times \mathbf E ]) - \frac{c}{4 \pi}(\mathbf E \cdot [\nabla \times \mathbf B ]) \Rightarrow \frac{\partial W}{\partial t} = -(\nabla \cdot \mathbf P ) - (\mathbf j \cdot \mathbf E ) \Rightarrow \frac{\partial W}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf P ) + (\mathbf j \cdot \mathbf E ) = 0.

Оскільки у даному виразі фігурує оператор "набла", то доцільно взяти інтеграл по об'єму від нього, тим самим використавши теорему Гаусса:

\ \frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{V}WdV + \int \limits_{V}(\mathbf j \cdot \mathbf E )dV = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.2).

Використавши визначення густини струму для випадку системи точкових зарядів,

\ \mathbf j = \sum_{i}\mathbf v_{i} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})q_{i},

та те, що інтеграл від дельта-функції по всьому об'єму рівен одиниці,

\ \int \limits_{V} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})d^{3} \mathbf r = 1,

вираз \ (.2) можна спростити:

\ \frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{V}WdV + \sum_{i}q_{i}(\mathbf v_{i} \cdot \mathbf E (\mathbf r_{i} )) = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.3).

Окрім того, у розділі "Сила у СТВ" сторінки "Теорія відносності" було показано, що \ \frac{\partial E_{k}}{\partial t} = (\mathbf F \cdot \mathbf v ) . Якщо використати метод самоузгодженого поля (поля діють на заряди, що створюють ці поля) для сили Лоренца, то дане співвідношення набуде вигляду

\ \frac{\partial E_{k}}{\partial t} = q (\mathbf v \cdot \mathbf E) + \frac{q}{c}(\mathbf v \cdot [\mathbf v \times \mathbf B  ] ) = q (\mathbf v \cdot \mathbf E).

Отже, накінець, вираз \ (.3) буде мати вигляд

\ \frac{\partial }{\partial t}\left( \int \limits_{V} W dV + \sum_{i}E_{k} \right) = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.4).

Другий доданок відповідає за сумарну кінетичну енергію усіх зарядів, в той час як перший, як слідує із виразу і інтерпретації другого доданку, відповідає за сумарну енергію поля. Сама ж величина \ W, відповідно до своєї розмірності, відповідає густині енергії електромагнітного поля.

Якщо на нескінченності відносно вибраного початку координат значення напруженості електричного та індукції магнітного полів прямують до нуля, а заряди зосереджені у кінцевій ділянці простору, то інтеграл від правої частини у \ (.4) рівен нулю. Дійсно, якщо значення полів на нескінченності зменшуються швидше, ніж за законом \ \frac{1}{r}, то при інтегруванні в сферичних координатах поверхневий інтеграл набуде вигляду \ \int \frac{r^{2}}{r^{2 + \varepsilon }}drd\theta , де \ \varepsilon - величина відхилення від степені 2. Наприклад, для точкових зарядів \ |[\mathbf E \times \mathbf B ]| = f\left(\frac{1}{r^{4}}\right) і, отже, на нескінченності інтеграл від цього виразу рівен нулю. Тоді величина зліва зберігається із часом.

З \ (.4) також слідує інтерпретація поверхневого інтегралу \ \int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S) і величини \ \mathbf P. Вираз-інтеграл відповідає за потік енергії електромагнітного поля через поверхню, а \ \mathbf P - за густину потоку енергії поля, що покидає об'єм через поверхню, обмежену поверхнею \ S, і називається вектором Пойнтінга.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.