NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Нехай у просторі елементів групи задана деяка крива, параметризована деякою величиною . Це означає, що з усіх елементів групи вибираються лише ті, які можуть бути пронумеровані значеннями . Далі, для лінійних груп можна вибрати параметризації , які відповідають множині кривих, що покривають увесь простір групи та перетинаться при , утримуючи тотожнє перетворення - одиничний елемент. Якщо ж розглядається добуток двох елементів лінійної групи, що лежать на одній кривій, причому один з них маркується як , а другий - як , то результуючий елемент також лежить на кривій та відповідає значенню параметризації:

.

Нехай параметр є неперервним. Тоді наведену рівність можна продиференціювати по , поклавши його рівним нулю. Тоді і, приймаючи позначення , можна отримати

.

У околі похідна матриці представлення по часу відповідає . Тоді

.

Якщо взяти початкове рівняння та продиференціювати його по , поклавши при цьому , то, аналогічно, у околі буде справедлива рівність

.

Наведені рівності означають, що . Це означає, що розв'язок рівняння в околі нуля може бути записаний у вигляді

.

Дійсно, оскільки в силу того, що із слідує , а комутатор (використовується вираз для комутатора генераторів із попереднього підрозділу) рівен

(в силу згортки антисиметричного "тензора" структурних констант та симетричного "тензора" локальних координат), то . Тому якщо із було б отримано, що , то розв'язок не можна було б представити у формі .

Завершуючи розділ, можна визначити зміст . Вони відповідають компонентам дотичного вектора до кривої групового простору, причому поблизу нуля. Вектор розкладений по базису . Сума завжди може бути ототожнена із одиницею за допомогою перемасштабування параметра .

Advertisement