FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Нехай у просторі елементів групи задана деяка крива, параметризована деякою величиною \ t. Це означає, що з усіх елементів групи вибираються лише ті, які можуть бути пронумеровані значеннями \ t. Далі, для лінійних груп можна вибрати параметризації  t, які відповідають множині кривих, що покривають увесь простір групи та перетинаться при  t = 0, утримуючи тотожнє перетворення - одиничний елемент. Якщо ж розглядається добуток двох елементів лінійної групи, що лежать на одній кривій, причому один з них маркується як  t_{1}, а другий - як  t_{2}, то результуючий елемент також лежить на кривій та відповідає значенню  t_{2} параметризації:

 \mathbf T (t_{1})\mathbf T (t_{2}) = \mathbf T (t_{1} + t_{2}) \qquad (.6).

Нехай параметр \ t є неперервним. Тоді наведену рівність можна продиференціювати по  t_{2}, поклавши його рівним нулю. Тоді  \left(\frac{\partial \mathbf T (t_{1} + t_{2})}{\partial t_{2}}\right)_{t_{2} = 0} = \frac{d\mathbf T (t_{1})}{dt_{1}} і, приймаючи позначення  t_{1} = t, можна отримати

 \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = \mathbf T (t)\frac{d \mathbf T}{dt}.

У околі \ t = 0 похідна матриці представлення  \mathbf T по часу відповідає  c_{k}\mathbf X^{k}. Тоді

 \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = c_{k}\mathbf T (t)\mathbf X^{k}.

Якщо взяти початкове рівняння та продиференціювати його по  t_{1}, поклавши при цьому  t_{1} = 0, то, аналогічно, у околі  t_{2} = t = 0 буде справедлива рівність

 \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = c_{k}\mathbf X^{k}\mathbf T (t) \qquad (.7).

Наведені рівності означають, що  [\mathbf T (t), \mathbf X_{k}] = 0. Це означає, що розв'язок рівняння \ (.7) в околі нуля може бути записаний у вигляді

 \mathbf T (t) = e^{\mathbf X^{k}c_{k}t}.

Дійсно, оскільки в силу того, що із  [\mathbf X , \mathbf Y] = \alpha слідує  [f(\mathbf X), \mathbf Y ] = f ' (\mathbf X )\alpha, а комутатор  [c^{k}\mathbf X_{k}, c^{j}\mathbf X_{j}] (використовується вираз для комутатора генераторів із попереднього підрозділу) рівен

 [c^{k}\mathbf X_{k}, c^{j}\mathbf X_{j}] = c^{k}c^{j}[\mathbf X_{k}, \mathbf X_{j}] = c^{k}c^{j}C_{kj}^{l}\mathbf X_{l} = 0

(в силу згортки антисиметричного "тензора" структурних констант та симетричного "тензора"  c^{k}c^{j} локальних координат), то  [\mathbf T , c^{l}\mathbf X_{l}] = [e^{\mathbf X^{k}c_{k}t}, c^{l}\mathbf X_{l}] = 0. Тому якщо із \ (.6) було б отримано, що  [\mathbf T , c^{l}\mathbf X_{l}] \neq 0, то розв'язок не можна було б представити у формі \ (.8).

Завершуючи розділ, можна визначити зміст  c_{k}. Вони відповідають компонентам дотичного вектора до кривої \ t групового простору, причому поблизу нуля. Вектор розкладений по базису \ \mathbf X^{k}. Сума  c_{k}c^{k} завжди може бути ототожнена із одиницею за допомогою перемасштабування параметра \ t.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.