FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Нехай у просторі елементів групи задана деяка крива, параметризована деякою величиною $ \ t $. Це означає, що з усіх елементів групи вибираються лише ті, які можуть бути пронумеровані значеннями $ \ t $. Далі, для лінійних груп можна вибрати параметризації $ t $, які відповідають множині кривих, що покривають увесь простір групи та перетинаться при $ t = 0 $, утримуючи тотожнє перетворення - одиничний елемент. Якщо ж розглядається добуток двох елементів лінійної групи, що лежать на одній кривій, причому один з них маркується як $ t_{1} $, а другий - як $ t_{2} $, то результуючий елемент також лежить на кривій та відповідає значенню $ t_{2} $ параметризації:

$ \mathbf T (t_{1})\mathbf T (t_{2}) = \mathbf T (t_{1} + t_{2}) \qquad (.6) $.

Нехай параметр $ \ t $ є неперервним. Тоді наведену рівність можна продиференціювати по $ t_{2} $, поклавши його рівним нулю. Тоді $ \left(\frac{\partial \mathbf T (t_{1} + t_{2})}{\partial t_{2}}\right)_{t_{2} = 0} = \frac{d\mathbf T (t_{1})}{dt_{1}} $ і, приймаючи позначення $ t_{1} = t $, можна отримати

$ \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = \mathbf T (t)\frac{d \mathbf T}{dt} $.

У околі $ \ t = 0 $ похідна матриці представлення $ \mathbf T $ по часу відповідає $ c_{k}\mathbf X^{k} $. Тоді

$ \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = c_{k}\mathbf T (t)\mathbf X^{k} $.

Якщо взяти початкове рівняння та продиференціювати його по $ t_{1} $, поклавши при цьому $ t_{1} = 0 $, то, аналогічно, у околі $ t_{2} = t = 0 $ буде справедлива рівність

$ \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = c_{k}\mathbf X^{k}\mathbf T (t) \qquad (.7) $.

Наведені рівності означають, що $ [\mathbf T (t), \mathbf X_{k}] = 0 $. Це означає, що розв'язок рівняння $ \ (.7) $ в околі нуля може бути записаний у вигляді

$ \mathbf T (t) = e^{\mathbf X^{k}c_{k}t} $.

Дійсно, оскільки в силу того, що із $ [\mathbf X , \mathbf Y] = \alpha $ слідує $ [f(\mathbf X), \mathbf Y ] = f ' (\mathbf X )\alpha $, а комутатор $ [c^{k}\mathbf X_{k}, c^{j}\mathbf X_{j}] $ (використовується вираз для комутатора генераторів із попереднього підрозділу) рівен

$ [c^{k}\mathbf X_{k}, c^{j}\mathbf X_{j}] = c^{k}c^{j}[\mathbf X_{k}, \mathbf X_{j}] = c^{k}c^{j}C_{kj}^{l}\mathbf X_{l} = 0 $

(в силу згортки антисиметричного "тензора" структурних констант та симетричного "тензора" $ c^{k}c^{j} $ локальних координат), то $ [\mathbf T , c^{l}\mathbf X_{l}] = [e^{\mathbf X^{k}c_{k}t}, c^{l}\mathbf X_{l}] = 0 $. Тому якщо із $ \ (.6) $ було б отримано, що $ [\mathbf T , c^{l}\mathbf X_{l}] \neq 0 $, то розв'язок не можна було б представити у формі $ \ (.8) $.

Завершуючи розділ, можна визначити зміст $ c_{k} $. Вони відповідають компонентам дотичного вектора до кривої $ \ t $ групового простору, причому поблизу нуля. Вектор розкладений по базису $ \ \mathbf X^{k} $. Сума $ c_{k}c^{k} $ завжди може бути ототожнена із одиницею за допомогою перемасштабування параметра $ \ t $.