Оператор просторової інверсії та спінорні представлення групи[]
У випадку розгляду спінорних представлень оператор просторової інверсії вже не задовольняє тим комутаційним співвідношенням із оператором генераторів групи Лоренца, як у випадку із однозначними представленнями (див. розділ про дискретні перетворення). Їх можна визначити, використовуючи явний вигляд генераторів :
.
В силу двозначності спінорного представлення, квадрати власних чисел оператору просторової інверсії можуть приймати значення . Для доведення цього достатньо згадати факт двозначності спінору з одним індексом при повороті на кут .
Використовуючи , можна отримати вирази для дії оператору інверсії на оператори Казиміра групи Лоренца.
.
Далі, для поля , що реалізує незвідне представлення ,
,
дія спочатку оператора , а після цього - операторів Казиміра дає
.
Таким чином, оператор просторового відображення перемішує стани , а тому для того, щоб отримати незвідне представлення групи Лоренца (з урахуванням дискретних симетрій), треба взяти пряму суму представлень.
Оператор часової інверсії та спінорні представлення групи[]
Як показано у розділі про дискретні перетворення, комутаційними співвідношеннями оператора із однозначними представленнями групи Лоренца є
.
Аналогічним чином можна показати, що
,
,
.
Це, знову ж таки, означає, що дія оператора часової інверсії на представлення переводить його у представлення , тому незвідне представлення групи Лоренца з урахуванням дискретного оператора часової інверсії відповідає прямій сумі вказаних представлень.
З написаного у розділі видно, що операція комутує з усіма генераторами ,
,
а тому представлення є інваріантними відносно .
Комплексне спряження спінорних представлень[]
Нехай є спінорне представлення . Можна визначити операцію комплексного спряження як
.
Це, знову ж таки, означає, що для повного представлення групи Лоренца при треба взяти суму представлень . Тепер можна побудувати дійсне представлення. Для того, щоб комплексне спряження переводило спінори суми представлень у самих себе, треба взяти пару . Такі пари виділяють підпростір у просторі прямих сум представлень, інваріантний відносно операції комплексного спряження (див. нижче детальніше про комплексне спряження прямої суми представлень).
Біспінорне представлення[]
Таким чином, для отримання незвідного представлення повної групи Лоренца треба брати суму спін-тензорних представлень . Утворене представлення має вигляд
,
і тому дія операторів інверсії переводить його самого у себе.
Для частинного випадку представлення відповідає діраківському біспінору , який являє собою чотирьохкомпонентний стовпчик, дві верхні компоненти якого даються неточковим спінором , а дві нижні - точковим . В силу того, що перетворення групи Лоренца можна представити як
,
то, використовуючи вирази для генераторів групи Лоренца у спінорному представленні (див. підрозділ), можна отримати
.
Отже,
.
Якщо тепер ввести чотирьохрядні матриці та їх антисиметричні комбінації,
,
то закон перетворення біспінора можна записати як
.
Введені матриці називаються матрицями Дірака. Їх алгебру та подальші операції з ними будуть розглянуті у підрозділі Алгебра матриць Дірака.
Відповідно до перетворень за групою Лоренца, видно, що генераторами групи Лоренца у біспінорному представленні є , а отже
.
Варто також зазначити, що розмірність даного представлення на два більше, ніж повинно бути для представлення одночастинкових станів спіну . Тому треба знайти оператор, дія якого на біспінор зменшує розмірність на два. Такий оператор визначає рівняння Дірака, про яке буде вестись мова далі.
Спряжений біспінор[]
Можна розглянути операцію комплексного спряження спінорних представлень на прикладі представлення . Отже, нехай задано біспінор
.
Тоді операцію комплексного спряження можна визначити як таку, що . Об'єднавши ці два спінори у строку, можна записати вираз для комплексно спряженого біспінора
.
Можна знайти інфінітезимальне перетворення для такого біспінора. Для спінорів
.
Тоді
.
Враховуючи, нарешті, безслідовість матриць , властивість та слідуючий із них ланцюжок перетворень (можна взагалі одразу згадати, що перестановка індексів по висоті змінює знак)
,
можна записати закон перетворення в термінах вже знайомої з попереднього підрозділу матрицю :
як це і повинно бути для неунітарної групи Лоренца.
Спряжений біспінор введено для того, щоб отримати інваріант
:
.
Оператор зарядового спряження[]
Як вже зазначалося, при операції комплексного спряження представлення переходить у представлення . Це означає, що якщо розглядається представлення, що відповідає прямій сумі ,
, то реалізація операції комплексного спряження має бути такою, що
.
Операція з фізичних причин (див. розділ Ще раз про дискретні симетрії групи Лоренца) називається зарядовим спряженням. При цьому на представленнях групи Лоренца вона є нічим іншим, як звичайним комплексним спряженням.
У частинному випадку представлення
.
Очевидно, закон перетворення зарядово спряжених спінорів є таким же, як і для "звичайних" біспінорів. Це видно із явного вигляду для спряженого спінора.
Можна ввести біспінор, що являється аналогом дійсних об'єктів:
.
Дійсно,
.
Такий біспінор називається майоранівським. Відповідно до визначення, він має дві незалежні компоненти та перетворюється як біспінор. Довільний діраківський спінор може бути представлений як
.
Дійсно, у явному вигляді
,
і сума цих майоранівських біспінорів дає результат.
Кіральні проектори[]
Можна побудувати проектори, які "вирізають" один із підпросторів у біспінорного представлення. Звичайно, проектор оператору не буде комутувати із операторами дискретних симетрій групи Лоренца, за виключенням спеціальних випадків (буде розглянуто у розділі про Рівняння Дірака). Можна розглянути матрицю
.
Оскільки , то оператори мають інваріантні властивості
,
які дозволяють віднести їх до проекційних. У явному вигляді ці оператори записуються як
.
Отже, вони проектують біспінор на підпростори відповідно (це очевидно у спінорному базисі).