FANDOM


Доведення 1Edit

Вираз для векторного потенціалу в дипольному наближенні.

Для стаціонарного випадку рівняння неперервності має вигляд \ \nabla \mathbf j = 0.

Тоді

\ \nabla (r_{i}r_{j}\mathbf j ) = \sum_{k}\nabla_{k}(r_{i}r_{j}j_{k}) = \sum_{k}\left(\delta_{ik}r_{j}j_{k} + r_{i}\delta_{kj}j_{k}\right) = r_{j}j_{i} + r_{i}j_{j}.

Об'ємний інтеграл же від цього виразу рівен нулю, оскільки струми локалізовані і не витікають:

\ \int \limits_{V}\nabla (r_{i}r_{j}\mathbf j)dV = \int \limits_{S}r_{i}r_{j}( \mathbf j \cdot d\mathbf S ) = 0 \Rightarrow \int \limits_{V}r_{j}j_{i}dV = - \int \limits_{V}r_{i}j_{j}dV.

Оскільки

\ (\mathbf x \cdot \mathbf r )\mathbf j_{i} = \sum_{j}x_{j}r_{j}j_{i}, \quad (\mathbf x \cdot \mathbf j )\mathbf r_{i} = \sum_{j}x_{j}j_{j}r_{i},

то інтеграл від лівої частини \ (.3) рівен інтегралу від першого доданку правої частини зі знаком мінус (для постійного вектора \ x). Для розуміння цього достатньо того, що

\ \int x_{j}j_{j}r_{i}dV = x_{j}\int r_{i}j_{j}dV.

Звідси

\ \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r - \int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r \Rightarrow \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{2}\int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r.

Тоді

\ \mathbf A = -\frac{1}{c}\frac{1}{2}\int \limits_{V}\frac{[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]]}{|\mathbf x |^{3}} d^{3}\mathbf r = -\frac{[\mathbf x \times \mathbf m]}{|\mathbf x |^{3}} = \frac{[\mathbf m \times \mathbf x]}{|\mathbf x |^{3}}.

Доведення 2Edit

Вираз для індукції поля у дипольному наближенні.

Враховуючи, що

\ [\nabla \times [\mathbf b \times \mathbf a ]] = (\mathbf a \nabla)\mathbf b - (\mathbf b \nabla)\mathbf a + \mathbf a (\nabla \cdot \mathbf b) - \mathbf b (\nabla \cdot \mathbf a),

можна записати, що

\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A] = \left[\nabla \times \left[\frac{\mathbf m \times \mathbf x }{|\mathbf x |^{3}} \right]\right] = \left(\frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}}\nabla \right)\mathbf m - (\mathbf m \nabla) \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}} + \mathbf m \left(\nabla \cdot \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}}\right) - \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}} (\nabla \cdot \mathbf m ).

Перший і четвертий доданки дають нуль, а отже,

\ \mathbf B =  \mathbf m \left(\nabla \cdot \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}}\right) - (\mathbf m \nabla) \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}} = 3\mathbf m \left(\frac{1}{| \mathbf x |^{3}} - \frac{1}{|\mathbf x |^{3}}\right) - \frac{1}{|\mathbf x|^{3}}(\mathbf m \nabla)\mathbf x + \mathbf x (\mathbf m \cdot \nabla \frac{1}{|\mathbf x |^{3}}) = \frac{3\frac{\mathbf x}{|\mathbf x |} \left(\mathbf m \cdot \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |}\right)}{|\mathbf x |^{3}} - \frac{\mathbf m}{|\mathbf x |^{3}} =

\ = \frac{3\mathbf n (\mathbf m \cdot \mathbf n ) - \mathbf m }{|\mathbf x |^{3}}.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.