FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Використовуючи загальні властивості генераторів

$ \ \hat {U} = \hat {E} + \hat {A}_{i}a_{i} = \hat {E} + \hat {A} $

груп $ \ SU(n) $,

$ \ \hat {U}\hat {U}^{+} = \hat {E} \Rightarrow \hat {A}^{+} = -\hat {A}, \quad det \hat {U} = 1 \Rightarrow Tr(\hat {A}) = 0 $,

можна записати явний вигляд генераторів для групи $ \ SU(3) $. Перша умова визначає відсутність дійсних частин у діагональних компонент генератора $ \ \hat {A} $ та фіксує вигляд недіагональних компонент $ \ A_{ij} = a_{ij} + ib_{ij}, A_{ji} = -a_{ij} + ib_{ij} $. Друга умова веде до нульового сліду, $ \ \sum_{i} A_{ii} = 0 $. В результаті можна записати наступний вигляд для матриці $ \ \hat {A} $:

$ \ \hat {A} = i\begin{vmatrix} a_{3} + a_{8} & a_{1} - ia_{2} & a_{4} - ia_{5} \\ a_{1} + ia_{2} & a_{8} - a_{3} & a_{6} - ia_{7} \\ a_{4} + ia_{5} & a_{6} + ia_{7} & -2a_{8} \end{vmatrix} $.


Залишається лише розкласти матрицю через $ \ \sum_{i}a_{i}\hat {A}_{i} $. Отримані матриці $ \ \hat {A}_{i} $ називаються матрицями Гелл-Манна.

Оператори Казиміра. Сходинкові операториEdit

$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $$ \ $