FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Представлення групи SU(2)Edit

Відповідно до написаного у попередньому підрозділі, представлення групи $ \ SU(2) $ дається матрицями вигляду

$ \ \hat {\mathbf A} = \begin{pmatrix} ia_{3} & -a_{2} + ia_{1} \\ a_{2} + ia_{1} & -ia_{3} \end{pmatrix} = a_{1}\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} + a_{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + a_{3}\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = a_{1}\hat {\mathbf X}_{1} + a_{2}\hat {\mathbf X}_{2} + a_{3}\hat {\mathbf X}_{3} \Rightarrow $

$ \ \hat {\mathbf U} \approx \hat {\mathbf E} + a_{1}\hat {\mathbf X}_{1} + a_{2}\hat {\mathbf X}_{2} + a_{3}\hat {\mathbf X}_{3} $,

де виділені генератори $ \ \hat {\mathbf X}_{i} $ групи.

Вони мають алгебру $ \ [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = -2i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k} $,

і при домноженні на $ \ -1 $ співпадають з матрицями Паулі.

Гомоморфність групи $ \ SU(2) $ групі $ \ SO(3) $Edit

Можна показати, що група $ \ SU(2) $ гомоморфна групі $ \ SO(3) $.

Матрицю групи можна також подати у вигляді

$ \ \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}, \quad |a|^{2} + |b|^{2} = 1, \quad Re(a) = 0 $.

Замість $ \ a, b $ можна ввести чотири дійсні параметри (два з них пов'язані співвідношенням, тому формально кількість незалежних параметрів рівна трьом, як і повинно бути) $ \ n_{x}, n_{y}, n_{z}, \varphi , |n| = 1 $. Тоді матриця $ \ SU(2) $, переписана в генераторному вигляді, виражається через параметри як

$ \ \hat {\mathbf U} = \hat {\mathbf E}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) $.

Параметри групи $ \ a_{i} $ пов'язані із параметрами $ \ n, \varphi $ як

$ \ sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \approx \frac{\varphi }{2}, \quad cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \approx 1 \Rightarrow a_{i} = \frac{1}{2}n_{i}\varphi_{i} $.

Вираз можна записати у полярній формі

$ \ \hat {\mathbf U} = e^{\frac{\varphi }{2}(\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})} $.

Дійсно,

$ \ (\mathbf n \cdot \mathbf X ) = \begin{pmatrix} in_{3} & n_{2} + in_{1} \\ -n_{2} + in_{1} & -in_{3} \end{pmatrix}, \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})^{2} = -\hat {\mathbf E}, \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})^{3} = -(\mathbf n \cdot \mathbf X ) , \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })^{4} = \hat {\mathbf E} $,

і тоді розклад експоненти набуде вигляду

$ \ e^{\frac{\varphi }{2}(\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})} = \hat {\mathbf E} + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })\frac{\varphi }{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\varphi }{2}\right)^{2}\hat {\mathbf E} - (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })\frac{\left(\frac{\varphi }{2}\right)^{3}}{3!} = ... = \hat {\mathbf E}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) $.

Якщо перепозначити локальні параметри $ \ a_{i} $ групи як $ \ a_{i} \to 2a_{i}, \quad \hat {\mathbf X}_{i} \to \frac{1}{2}\hat {\mathbf X}_{i} $, то можна отримати комутаційні співвідношення виду

$ \ [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = -\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k} $,

що співпадає із алгеброю генераторів групи $ \ SO(3) $. Більш звичним комутаційним співвідношенням, звичайно, є перехід

$ \ \hat {X}_{j} \to -i \hat {X}_{j} \Rightarrow [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k} $.

Можна побудувати ермітову матрицю

$ \ \hat {\mathbf F} = \begin{pmatrix} z & x - iy \\ x + iy & -z \end{pmatrix}, \quad det \left(\hat{\mathbf F}\right) = -|\mathbf r|^{2} $.

Тоді, відповідно до матричного закону перетворення, вибравши у якості матриць переходу матриці $ \ \hat {\mathbf U} $ та вважаючи, що

$ \ \mathbf n = (0, 0, 1), \quad cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = c , \quad sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = s $,

можна отримати

$ \ \hat {\mathbf F}{'} = \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf F}\hat {\mathbf U} = \begin{pmatrix} c + is & 0 \\ 0 & c - is \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z & x - iy \\ x + iy & -z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c - is & 0 \\ 0 & c + is \end{pmatrix} $.

Звідси

$ \ x' + iy' = xcos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + ysin\left(\frac{\varphi}{2}\right) + i\left(ycos\left(\frac{\varphi}{2}\right) - xsin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right), \quad z' = z $,

що відповідає повороту у тривимірному просторі навколо вісі $ \ Oz $ на кут $ \ \varphi $. Обравши $ \ \mathbf n = (0, 1, 0) , \mathbf n = (1, 0, 0) $, можна отримати перетворення, що описують повороти навколо вісей $ \ Oy, Ox $ відповідно.

Отже, між представленнями груп $ \ SO(3) $ та $ \ SU(2) $ існує відповідність. Залишається лише визначити її однозначність. У представленні $ \ SU(2) $ параметр $ \ \varphi $ пробігає значення $ \ [0, 4 \pi ) $, визначаючи різні матриці. В той же час для відповідної матриці представлення $ \ SU(3) $ $ \ \varphi $ пробігає значення $ \ [0, 2 \pi ) $, причому $ \ \hat {\mathbf T}(\varphi + 2 \pi ) = \hat {\mathbf T}(\varphi ) $.

Тому одній матриці представлення $ \ SO(3) $ відповідають дві матриці представлення $ \ SU(2) $. Таким чином, група $ \ SU(2) $ гомоморфна групі $ \ SO(3) $.

Група U(2)Edit

Якщо розглянути групу, для якої $ \ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} = \hat {\mathbf E} \Rightarrow |\hat {\mathbf U}| = 1 $, але немає вимоги на одиничний визначник, то вийде група $ \ U(2) $. Матриці-представлення групи можуть бути подані у загальному вигляді

$ \ \hat {\mathbf u} = e^{i \Psi}\begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix} , \quad |a|^{2} + |b|^{2} = 1 $.

$ \ e^{i \Psi} $ можна розглядати як деяку матрицю рангу 1, яка діє на комплексне число $ \ x: x' = e^{i \Psi} x $. В силу унітарності такої матриці відповідне представлення є представленням групи $ \ U(1) $. Для $ \ z = x + iy $ дія матриці $ \ e^{-i \Psi} = cos(\Psi) - isin(\Psi ) $ еквівалентна поворотам у площині $ \ xy $, що однозначно відповідає повороту навколо вісі $ \ Oz $ (у площині $ \ xy $). Це означає, що група $ \ U(1) $ ізоморфна групі $ \ SO(2) $. Окрім того, група $ \ U(2) $ може бути представлена як прямий добуток груп $ \ U(1) \times SU(2) $.