FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія груп".

Представлення групи SU(2)Edit

Відповідно до написаного у попередньому підрозділі, представлення групи \ SU(2) дається матрицями вигляду

\ \hat {\mathbf A} = \begin{pmatrix} ia_{3} & -a_{2} + ia_{1} \\ a_{2} + ia_{1} & -ia_{3} \end{pmatrix} = a_{1}\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} + a_{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + a_{3}\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = a_{1}\hat {\mathbf X}_{1} + a_{2}\hat {\mathbf X}_{2} + a_{3}\hat {\mathbf X}_{3} \Rightarrow

\ \hat {\mathbf U} \approx \hat {\mathbf E} + a_{1}\hat {\mathbf X}_{1} + a_{2}\hat {\mathbf X}_{2} + a_{3}\hat {\mathbf X}_{3},

де виділені генератори \ \hat {\mathbf X}_{i} групи.

Вони мають алгебру \ [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = -2i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k},

і при домноженні на \ -1 співпадають з матрицями Паулі.

Гомоморфність групи \ SU(2) групі \ SO(3)Edit

Можна показати, що група \ SU(2) гомоморфна групі \ SO(3).

Матрицю групи можна також подати у вигляді

\ \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}, \quad |a|^{2} + |b|^{2} = 1, \quad Re(a) = 0 .

Замість \ a, b можна ввести чотири дійсні параметри (два з них пов'язані співвідношенням, тому формально кількість незалежних параметрів рівна трьом, як і повинно бути) \ n_{x}, n_{y}, n_{z}, \varphi , |n| = 1. Тоді матриця \ SU(2), переписана в генераторному вигляді, виражається через параметри як

\ \hat {\mathbf U} = \hat {\mathbf E}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})sin\left(\frac{\varphi}{2}\right).

Параметри групи \ a_{i} пов'язані із параметрами \ n, \varphi як

\ sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \approx \frac{\varphi }{2}, \quad cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \approx 1 \Rightarrow a_{i} = \frac{1}{2}n_{i}\varphi_{i}.

Вираз можна записати у полярній формі

\ \hat {\mathbf U} = e^{\frac{\varphi }{2}(\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})}.

Дійсно,

\ (\mathbf n \cdot \mathbf X ) = \begin{pmatrix} in_{3} & n_{2} + in_{1} \\ -n_{2} + in_{1} & -in_{3} \end{pmatrix}, \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})^{2} = -\hat {\mathbf E}, \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})^{3} = -(\mathbf n \cdot \mathbf X ) , \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })^{4} = \hat {\mathbf E},

і тоді розклад експоненти набуде вигляду

\ e^{\frac{\varphi }{2}(\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})} = \hat {\mathbf E} + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })\frac{\varphi }{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\varphi }{2}\right)^{2}\hat {\mathbf E} - (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })\frac{\left(\frac{\varphi }{2}\right)^{3}}{3!} = ... = \hat {\mathbf E}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})sin\left(\frac{\varphi}{2}\right).

Якщо перепозначити локальні параметри \ a_{i} групи як \ a_{i} \to 2a_{i}, \quad \hat {\mathbf X}_{i} \to \frac{1}{2}\hat {\mathbf X}_{i}, то можна отримати комутаційні співвідношення виду

\ [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = -\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k},

що співпадає із алгеброю генераторів групи \ SO(3). Більш звичним комутаційним співвідношенням, звичайно, є перехід

\ \hat {X}_{j} \to -i \hat {X}_{j} \Rightarrow [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k}.

Можна побудувати ермітову матрицю

\ \hat {\mathbf F} = \begin{pmatrix} z & x - iy \\ x + iy & -z \end{pmatrix}, \quad det \left(\hat{\mathbf F}\right) = -|\mathbf r|^{2}.

Тоді, відповідно до матричного закону перетворення, вибравши у якості матриць переходу матриці \ \hat {\mathbf U} та вважаючи, що

\ \mathbf n = (0, 0, 1), \quad cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = c , \quad sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = s,

можна отримати

\ \hat {\mathbf F}{'} = \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf F}\hat {\mathbf U} = \begin{pmatrix} c + is & 0 \\ 0 & c - is \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z & x - iy \\ x + iy & -z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c - is & 0 \\ 0 & c + is \end{pmatrix}.

Звідси

\ x' + iy' = xcos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + ysin\left(\frac{\varphi}{2}\right) + i\left(ycos\left(\frac{\varphi}{2}\right) - xsin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right), \quad z' = z,

що відповідає повороту у тривимірному просторі навколо вісі \ Oz на кут \ \varphi . Обравши \ \mathbf n = (0, 1, 0) , \mathbf n = (1, 0, 0) , можна отримати перетворення, що описують повороти навколо вісей \ Oy, Ox відповідно.

Отже, між представленнями груп \ SO(3) та \ SU(2) існує відповідність. Залишається лише визначити її однозначність. У представленні \ SU(2) параметр \ \varphi пробігає значення \ [0, 4 \pi ), визначаючи різні матриці. В той же час для відповідної матриці представлення \ SU(3) \ \varphi пробігає значення \ [0, 2 \pi ), причому \ \hat {\mathbf T}(\varphi + 2 \pi ) = \hat {\mathbf T}(\varphi ).

Тому одній матриці представлення \ SO(3) відповідають дві матриці представлення \ SU(2). Таким чином, група \ SU(2) гомоморфна групі \ SO(3).

Група U(2)Edit

Якщо розглянути групу, для якої \ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} = \hat {\mathbf E} \Rightarrow |\hat {\mathbf U}| = 1 , але немає вимоги на одиничний визначник, то вийде група \ U(2). Матриці-представлення групи можуть бути подані у загальному вигляді

\ \hat {\mathbf u} = e^{i \Psi}\begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix} , \quad |a|^{2} + |b|^{2} = 1.

\ e^{i \Psi} можна розглядати як деяку матрицю рангу 1, яка діє на комплексне число \ x: x' = e^{i \Psi} x. В силу унітарності такої матриці відповідне представлення є представленням групи \ U(1). Для \ z = x + iy дія матриці \ e^{-i \Psi} = cos(\Psi) - isin(\Psi ) еквівалентна поворотам у площині \ xy, що однозначно відповідає повороту навколо вісі \ Oz (у площині \ xy). Це означає, що група \ U(1) ізоморфна групі \ SO(2). Окрім того, група \ U(2) може бути представлена як прямий добуток груп \ U(1) \times SU(2).

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.