Група Пуанкаре. Доведення

Доведення 1

Комутаційні співвідношення для оператора

Просто показати нульову рівність комутатора $\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta}]$:

$\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta}] = \frac{1}{2}\varepsilon_{\beta \gamma \delta \epsilon} [\hat {P}_{\alpha}, \hat {J}^{\gamma \delta}]\hat {P}^{\epsilon} = \frac{i}{2}\varepsilon_{\beta \gamma \delta \epsilon}\left( \delta^{\gamma}_{\alpha}\hat {P}^{\delta} - \delta^{\delta}_{\alpha}\hat {P}^{\gamma} \right)\hat {P}^{\epsilon} = 0$,

як результат згортки симетричного тензора $\ \hat {P}^{\mu}\hat {P}^{\nu}$ із антисиметричним $\ \varepsilon_{\alpha \beta \mu \nu}$.

Для знаходження комутатора $\ [\hat {J}_{ij}, \hat {W}_{\alpha}]$ можна використати ортогональність $\ \hat {P}_{\mu}, \hat {W}^{\mu}$: дійсно,

$\ \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \alpha \beta \gamma}\hat {J}_{\alpha \beta}\hat {P}_{\gamma }\hat {P}_{\mu} = 0$.

Тому комутатор $\ [\hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu}]$ тотожньо рівний нулю. З іншого боку, якщо його розписати, то можна отримати

$\ 0 = [ \hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu}] = \hat {W}^{\mu}[ \hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {P}_{\mu}] + [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = -i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa }) + [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} \Rightarrow [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa })$,

або, згортаючи із символами Кронекера, $\ \delta^{0}_{0} = 1, \delta^{i}_{i} = -1$,

$\ [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa }) = i(\hat {W}_{\kappa}\hat {P}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\hat {P}_{\kappa}) = i\left(\hat {W}_{\kappa}\delta^{\mu}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\delta^{\mu}_{\kappa}\right)\hat {P}_{\mu} \Rightarrow [\hat {W}_{\mu}, \hat {J}_{\kappa \lambda }] = i\left( \hat {W}_{\lambda}g_{\mu \kappa} - \hat {W}_{\kappa}g_{\mu \lambda}\right)$.

Нарешті, якщо використати ці два комутатори, можна отримати

$\ [\hat {W}^{\alpha}, \hat {W}^{\kappa }] = \frac{1}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}[\hat {J}_{\beta \gamma}, \hat {W}^{\kappa}]\hat {P}_{\delta } = \frac{i}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}\left( \delta^{\kappa}_{\gamma}\hat {W}_{\beta } - \delta^{\kappa}_{\beta}\hat {W}_{\gamma}\right)\hat {P}_{\delta} = \frac{i}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \kappa \delta}\hat {W}_{\beta }\hat {P}_{\delta} - \frac{i}{2}\varepsilon^{\alpha \kappa \gamma \delta}\hat {W}_{\gamma }\hat {P}_{\delta} = i \varepsilon^{\alpha \beta \kappa \delta}\hat {W}_{\beta}\hat {P}_{\delta}$.

Квадрат оператора

Використовуючи рівність

$\ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \lambda}\varepsilon^{\lambda \mu \nu \sigma} = \delta^{\mu}_{\alpha}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\beta \gamma} + \delta^{\mu}_{\gamma}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\alpha \beta } + \delta^{\mu}_{\beta}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\gamma \alpha}$,

а також - умову антисиметричності тензору спіну $\ \hat {S}_{\alpha \beta}$ (в силу однаковості алгебр $\ \hat {S}_{\alpha \beta}$ і $\ i(x_{\alpha}\hat {P}_{\beta} - x_{\beta }\hat {P}_{\alpha})$), вираз для квадрату оператора Паулі-Любанського можна переписати як

$\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda} = \frac{1}{4}\varepsilon_{\lambda \alpha \beta \gamma }\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\varepsilon^{\lambda \mu \nu \sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = -\frac{1}{4}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \lambda}\varepsilon^{\lambda \mu \nu \sigma}\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = -\frac{1}{4}\left(\delta^{\mu}_{\alpha}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\beta \gamma} + \delta^{\mu}_{\gamma}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\alpha \beta} + \delta^{\mu}_{\beta}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\gamma \alpha}\right)\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} =$

$\ = -\frac{1}{4}\left( \delta^{\mu}_{\alpha}\delta^{\nu}_{\beta}\delta^{\sigma}_{\gamma} - \delta^{\mu}_{\alpha}\delta^{\nu}_{\gamma}\delta^{\sigma}_{\beta} + \delta^{\mu}_{\gamma}\delta^{\nu}_{\alpha}\delta^{\sigma}_{\beta} - \delta^{\mu}_{\gamma}\delta^{\nu}_{\beta}\delta^{\sigma}_{\alpha} + \delta^{\mu}_{\beta}\delta^{\nu}_{\gamma}\delta^{\sigma}_{\alpha} - \delta^{\mu}_{\beta}\delta^{\nu}_{\alpha}\delta^{\sigma}_{\gamma} \right)\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} =$

$\ =-\frac{1}{4}\left( \hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} - \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}_{\sigma} + \hat {J}^{\nu \sigma}\hat {P}^{\mu}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} - \hat {J}^{\sigma \nu}\hat {P}^{\mu}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} + \hat {J}^{\sigma \mu}\hat {P}^{\nu}\hat {J}_{\mu \nu }\hat {P}_{\sigma} - \hat {J}^{\nu \mu}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma}\right) =$

$\ = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}_{\sigma} - \frac{1}{2}\hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}^{\gamma} - \frac{1}{2}\hat {P}_{\sigma}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {J}^{\mu \nu} = \hat {N}^{\mu}\hat {N}_{\mu } - \frac{1}{2}\hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}^{\mu \nu }\hat {J}_{\mu \nu }$,

де $\ \hat {N}^{\mu} = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}_{\sigma}$, а перехід до передостанньої рівності зроблений за допомогою комутаційних співвідношень групи Пуанкаре: для першого доданку

$\ \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}_{\sigma} = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\sigma }\hat {J}_{\mu \gamma} - i\hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}(g_{\sigma \mu }\hat {P}_{\gamma} - g_{\sigma \gamma}\hat {P}{\mu}) = \hat {N}^{\mu}\hat {N}_{\mu} + i\hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}_{\sigma}(\delta^{\gamma}_{\mu }\hat {P}_{\gamma} - \delta^{\gamma}_{\gamma}\hat {P}_{\mu}) - i\hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}(g_{\sigma \mu }\hat {P}_{\gamma} - g_{\sigma \gamma}\hat {P}{\mu}) = \hat {N}^{\mu}\hat {N}_{\mu}$

(другий-п'ятий доданки зникають через згортку симетричного тензора $\ \hat {P}_{\mu}\hat {P}_{\gamma}$ із антисиметричним тензором $\ \hat {J}^{\mu \gamma}$,

для другого доданку (із використанням першого оператора Казиміра) -

$\ \hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma} \hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = \hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu} - i\hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}(g_{\sigma \mu}\hat {P}_{\nu} - g_{\sigma \nu}\hat {P}_{\mu}) = \hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}^{\mu \nu}\hat {J}_{\mu \nu}$.

Комутатор цього оператора із $\ \hat {P}_{\alpha}$, очевидно, рівен нулю в силу $\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta }] = 0$. Комутатор же із оператором групи Лоренца рівен

$\ [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}_{\gamma}\hat {W}^{\gamma}] = \hat {W}_{\gamma}[\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}^{\gamma}] + [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}_{\gamma}]\hat {W}^{\gamma } = i\left( g_{\gamma \beta}\hat {W}_{\alpha}\hat {W}^{\gamma} - g_{\gamma \alpha}\hat {W}_{\beta}\hat {W}^{\gamma} + \hat {W}_{\gamma}\delta^{\gamma}_{\beta}\hat {W}_{\alpha} - \hat {W}_{\gamma}\delta^{\gamma}_{\alpha}\hat {W}_{\beta}\right) = i[\hat {W}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta }] - i[\hat {W}_{\beta}, \hat {W}_{\alpha}] = 0$.

Доведення 4

Канонічні співвідношення для операторів народження і знищення.

Перша рівність $\ (8)$ визначається визначенням оператору народження та симетрією відносно перестановок частинок,

$\ | ...,(..., n_{i}),...,(..., n_{j})\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}| ...(..., n_{j}),..., (..., n_{i}) \rangle , \quad \varepsilon (n_{j}) = 1, 0$.

Дійсно,

$\ \hat{a}^{\dagger}_{\sigma , n}(\mathbf p )\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ' , n'}(\mathbf p ')| ...., (, ..., n_{i}), ...\rangle = | (p , \sigma , n), (p{'}, \sigma {'}, n{'}), ...\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}|(p{'}, \sigma {'}, n{'}), (p , \sigma , n), ...\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ' , n'}(\mathbf p ')\hat{a}^{\dagger}_{\sigma , n}(\mathbf p ')| ...., (, ..., n_{i}), ...\rangle$.

Друга рівність $\ (8)$ отримується ермітовим спряженням першої.

Нарешті, вираз $\ (9)$ можна перевірити через вираз для дії оператору знищення (вираз $\ (7)$) на фоківський стан:

$\ \hat{a}_{\sigma ', n'}(\mathbf p' )\hat{a}^{\dagger}_{\sigma , n}(\mathbf p )| ...., (, ..., n_{i}), ...\rangle = \hat{a}_{\sigma {'}, n{'}}| (p , \sigma , n),...\rangle = (-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n') + 1)}\delta (\mathbf p - \mathbf p ')\delta_{\sigma \sigma '}\delta_{n n'}|..., (...,n_{i}), ... \rangle +$

$\ + \sum_{r = 1}^{N}(-1)^{\varepsilon (n{'})(\varepsilon (n_{1})+...+\varepsilon (n_{r}) + 1)}\delta_{\sigma {'}\sigma_{r}}\delta(\mathbf p' - \mathbf p_{r})\delta_{n{'}n_{r}}| (p, \sigma , n)...(... n_{r -1}), (..., n_{r + 1}),... \rangle = (-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n') + 1)}\delta_{\sigma \sigma '}\delta_{n n'}\delta (\mathbf p - \mathbf p ')|..., (...,n_{i}), ... \rangle +$

$\ + (-1)^{\varepsilon (n) \varepsilon (n')}\hat{a}^{\dagger}_{\sigma , n}(\mathbf p) \hat{a}_{\sigma {'}, n{'}}(\mathbf p ')|..., (...,n_{i}), ... \rangle$,

що, оскільки $\ (-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n') + 1)}\delta_{n n'} = \delta_{nn'}$, і доводить рівність.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$