FANDOM


Повернутися до розділу "Група Лоренца".

Доведення 1Edit

Спектр власних значень "розщеплених" операторів групи Лоренца, а також - груп SU(2) та SO(3).

Можна ввести дві наступні матриці:

$ \ \hat {\mathbf J}_{+} = \frac{\hat {\mathbf J}_{1} + i \hat {\mathbf J}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \hat {\mathbf J}_{-} = \frac{\hat {\mathbf J}_{1} - i \hat {\mathbf J}_{2}}{\sqrt{2}} $.

Використовуючи комутатори $ \ (.5) $, можна отримати

$ \ [\hat {\mathbf J}_{3}, \hat {\mathbf J}_{\pm}] = \pm \hat {\mathbf J}_{\pm}, \quad [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] = \hat {\mathbf J}_{3} \qquad (.5.1) $.

Тепер можна дослідити власні значення оператора $ \ \hat {\mathbf J}_{3} $:

$ \ \hat {\mathbf J}_{3}\psi_{k} = m_{k} \psi_{k} $.

Індекс $ \ k $ нумерує власні вектори оператора $ \ \hat {\mathbf J}_{3} $. Всі власні значення є дісними (в силу ермітовості матриці $ \ \hat {\mathbf J}_{3} $), для матриці розмірності $ \ n $ існує $ \ n $ (у загальному випадку - невироджених) розв'язків. Якщо спочатку подіяти на $ \ \psi_{k} $ операторами $ \ \hat {\mathbf J}_{pm} $, то в силу комутаційних співвідношень $ \ (.5.1) $ можна буде отримати

$ \ \hat {\mathbf J}_{3}(\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}) = \pm\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k} + \hat {\mathbf J}_{\pm}\hat {\mathbf J}_{3}\psi_{k} = (m_{k} \pm 1)\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k} $.

Це означає, що вектор $ \ (\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}) $ також є власним вектором оператора $ \ \hat {\mathbf J}_{3} $, проте відповідає власному число на одиницю більшому або меншому, ніж $ \ \psi_{k} $. Відповідно, оператори $ \ \hat {\mathbf J}_{\pm} $ називаються підвищуючими або понижуючими. В силу обмеженості розмірності матриць операторів $ \ \hat {\mathbf J}_{3, \pm} $ підвищення або пониження може відбуватися обмежене число разів. Тому, діючи деякою кількістю раз оператором $ \ \hat {\mathbf J}_{+} $ на вектор $ \ \psi_{k} $, можна, врешті-решт, отримати таке число $ \ m = j $, для якого $ \ \hat {\mathbf J}_{+}\psi_{j} = 0 $. Відповідно, власне число $ \ j $ є максимальним власним числом. Аналогічно, якщо $ \ N + 1 $ раз подіяти на вектор $ \ \psi_{j} $ оператором $ \ \hat {\mathbf J}_{-} $, можна також буде отримати нуль: $ \ {\hat {\mathbf J}_{-}}^{(N + 1)}\psi_{j} = 0 $. Отже, власні значення оператора $ \ \hat {\mathbf J}_{3} $ утворюють послідовність $ \ j, j - 1, ..., j - N $.

Для з'ясування величини $ \ N $ можна перейти до наступних міркувань. Оскільки власні вектори $ \ \psi_{k} $ оператора $ \ \hat {\mathbf J}_{3} $ являються ортогональними, то, в силу лінійності оператора, їх можна зробити ортонормованими: $ \ \psi_{k}\psi_{k'} = \delta_{kk'} $. У базисі таких власних векторів матрицю оператора можна зробити діагональною, причому на діагоналі будуть стояти власні значення. Отже, якщо взяти слід від матриць зліва і зправа виразу комутатора $ \ [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] = \hat {\mathbf J}_{3} $ та врахувати, що $ \ Tr(\hat {A}\hat {B}) = Tr(\hat {B}\hat {A}) $ (а отже - що слід лівої частини рівен нулю), то можна отримати

$ \ j + j - 1 + j - 2 + ... + j - N = \frac{1}{2}(2j - N)(N + 1) = 0 $.

В результаті, максимальне власне значення рівне $ \ j = \frac{N}{2} $ і може бути цілим чи напівцілим, відповідно до числа $ \ N $, а спектр власних значень пробігає наступні величини:

$ \ j, j - 1, ... , -j $.

Усього значень - $ \ 2j + 1 $. Відповідною до цього є і розмірність матриць представлень.

Доведення 2Edit

Теорія момента імпульсу.

Момент імпульсу та генератори групи SO(3)Edit

Момент імпульсу у квантовій механіці відповідає виразу (тимчасово відновлена константа Планка)

$ \ \hat {L}_{i} = i\hbar \varepsilon_{ijk}x^{j}\partial^{k} $.

Нескладно переконатись, що дані вирази відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань:

$ \ \hat {L}_{i} = -i\hbar \hat {\mathbf R}_{i} = -i\hbar (\hat {R}_{i})_{\alpha \beta}x_{\beta}\partial_{\alpha} $.

Це означає, що момент імпульсу виступає у якості генератора тривимірних обертань. Відповідно, одразу переносяться всі комутаційні властивості для операторів із попереднього доведення:

$ \ [\hat {L}_{i}, \hat {L}_{j}] = i\hbar \varepsilon_{ijk}\hat {L}^{k}, \quad \hat {L}_{+} = \frac{\hat {L}_{1} + i\hat {L}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \hat {L}_{-} = \frac{\hat {L}_{1} - i\hat {L}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad [\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] = \hbar \hat {L}_{3}, \quad [\hat {L}_{3}, \hat {L}_{\pm}] = \pm \hbar \hat {L}_{3} $.

$ \ \quad [\hat {\mathbf L}^{2}, \hat {L}_{i}] = 0, \quad \hat {L}_{3}\Psi = j\hbar \Psi , \quad \hat {\mathbf L}^{2}\Psi = -\hbar^{2} j(j + 1)\Psi, \quad j = (-s, ..., s) $.

Сферична система координат та власні функції квадрату момента імпульсаEdit

Вирази для операторів моменту імпульсу можна переписати у сферичній системі координат, знайшовши при цьому власні функції. Для цього треба здійснити перетворення, пов'язані із переходом до змінних сферичної системи координат.

$ \ x = rcos(\varphi )sin(\theta ), \quad y = rsin(\varphi )sin(\theta ), \quad z = rcos(\theta ) \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \quad \varphi = arctg\left( \frac{y}{x}\right), \quad \theta = arccos \left(\frac{z}{r} \right) $.

Звідси

$ \ \partial_{x} = \partial_{x}(r)\partial_{r} + \partial_{x}(\theta )\partial_{\theta } + \partial_{x}(\varphi )\partial_{\varphi} = cos(\varphi )sin(\theta )\partial_{r} - \frac{sin(\varphi )}{rsin(\theta )}\partial_{\varphi } + \frac{1}{r}cos(\varphi )cos(\theta )\partial_{\theta} $,

$ \ \partial_{y} = sin(\varphi )sin(\theta )\partial_{r} + \frac{1}{r}\frac{cos(\varphi )}{sin(\theta )}\partial_{\varphi } + \frac{1}{r}sin(\theta )cos(\varphi )\partial_{\theta }, \quad \partial_{z} = cos(\theta )\partial_{r} - \frac{sin(\theta )}{r}\partial_{\theta} $.

Це дозволяє переписати вирази для операторів $ \ \hat {L}_{i}, \hat {L}_{\pm} $ у вигляді

$ \ \hat {L}_{x} =i\hbar (sin(\varphi )\partial_{\theta} + ctg(\theta )cos(\varphi )\partial_{\varphi }), \quad \hat {L}_{y} = i\hbar (ctg(\theta ) sin(\varphi )d\varphi - cos(\varphi )\partial_{\theta }), \quad \hat {L}_{z} = -i\hbar \partial_{\varphi } $,

$ \ \hat {L}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar e^{i\varphi}(\partial_{\theta } + ictg(\theta )\partial_{\varphi }), \quad \hat {L}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar e^{-i\varphi }(-\partial_{\theta } + ictg(\theta )\partial_{\varphi }) $.

Одразу можна знайти власні функції оператора $ \ \hat {L}_{z} $:

$ \ \hat {L}_{z}\Psi = -i\partial_{\varphi }\psi = l_{z}\psi \Rightarrow \psi = f(r, \theta )e^{il_{z}\varphi } $,

видно, що для однозначності функції (при повороті на $ \ 2 \pi $ вона не повинна змінювати свого значення) значення $ \ l_{z} $ повинні бути цілими числами. Це відрізняє алгебру групи $ \ SO(3) $ від більш загальної алгебри групи $ \ SU(2) $, у якій власні значення можуть бути напівцілими.

Оператор Казиміра у сферичній системі координат рівний

$ \ \hat {\mathbf L}^{2}\Psi = \left([\hat {J}_{+}, \hat {J}_{-}] + 2 \hat {J}_{+}\hat {J}_{-} + \hat {J}_{3}^{2}\right) \Psi = -\hbar^{2}\left(\frac{1}{sin^{2}(\theta )}\partial^{2}\varphi +\frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }) \right)\Psi = \lambda \Psi $.

Можна розділити змінні: $ \ \Psi (\theta , \varphi ) = F(\varphi )\Theta (\theta ) $. Використовуючи одразу вираз для власної функції оператора $ \ -i\partial_{\varphi } $, можна отримати

$ \ -\frac{m^{2}}{sin^{2}(\theta )}\Theta (\theta ) + \frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }\Theta (\theta )) = -\frac{\gamma \Theta (\theta )}{\hbar^{2}} \Rightarrow \frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }\Theta (\theta )) - (\frac{m^{2}}{sin^{2}(\theta )} - \frac{\gamma }{\hbar^{2}})\Theta (\theta ) = 0 $.

Зробивши заміну $ \ cos(\theta ) = t $, можна звести рівняння до вигляду рівняння на приєднані поліноми Лежандра:

$ \ \partial_{t}((1 - t^{2})\partial_{t}\Theta (t)) + (\frac{\gamma}{\hbar^{2}} - \frac{m^{2}}{1 - t^{2}})\Theta (t) = 0 $.

Звідси очевидно, що власне число оператора Казиміра рівне $ \ \gamma = \hbar^{2}n(n + 1) $.

Отже, власними функціями оператора є сферичні функції

$ \ Y_{n, m }(\theta , \varphi ) = C_{nm}P_{n}^{m}(cos( \theta ) )e^{im\varphi }, \quad ||Y_{nm}|| = 1 $.

Власні значення підвищуючого та понижуючого операторівEdit

Наостанок можна визначити власні значення операторів $ \ \hat {L}_{+}, \hat {L}_{-} $. Використовується система, у якій стала Планка нормована на одиницю.

Оскільки рівняння (попередній блок "Доведення 1")

$ \ \hat {L}_{3}(\hat {L}_{\pm}\Psi_{m}) = (m \pm 1)(\hat {L}_{\pm}\Psi_{m}), \quad \langle \Psi_{m}|\Psi_{n}\rangle = \delta_{mn} $

є лінійним, то

$ \ \hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m + 1}\Psi_{m + 1} $

(тоді попереднє рівняння виконується тотожньо).

Це означає, що, із використанням умови нормування, справедливо

$ \ N_{m} = \Psi_{m}\hat {L}_{+}\Psi_{m - 1} $.

З іншого боку, оскільки $ \ (\hat {J}_{+})^{+} = \hat {J}_{-} $, то можна отримати, користуючись визначенням ермітового спряження, що

$ \ N_{m} = \Psi_{m}\hat {L}_{+}\Psi_{m - 1} = (\Psi_{m - 1}\hat {L}_{-}\Psi_{m})^{+} \Rightarrow \hat {L}_{-}\Psi_{m} = N_{m}^{*}\Psi_{m - 1} $.

Ці величини можна визначити. Використовуючи комутатор $ \ [\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] = \hat {L}_{z} $, можна отримати наступне співвідношення:

$ \ \hat {L}_{+}\hat {L}_{-}\Psi_{m} = ([\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] + \hat {L}_{-}\hat {L}_{+})\Psi_{m} = (m + N^{*}_{m + 1}N_{m + 1})\Psi_{m} $.

З іншого боку,

$ \ \hat {L}_{+}\hat {L}_{-}\Psi_{m} = N^{*}_{m}N_{m}\Psi_{m} $.

Тому

$ \ |N_{m}|^{2} - |N_{m + 1}|^{2} = m $.

Склавши ліві та праві частини цього виразу для значень $ \ m = (j - p, ..., j) $ та врахувавши, що $ \ N_{j + 1} = 0 $, можна, нарешті, отримати

$ \ |N_{j}|^{2} + |N_{j - 1}|^{2} - |N_{j}|^{2} + ... + |N_{j - p}|^{2} - |N_{j - p + 1}|^{2} = |N_{j - p}|^{2} = j + j - 1 + ... + j - p = \frac{(2j - p)(p + 1)}{2} $.

Звідси ($ \ k = j - p $)

$ \ |N_{k}| = \sqrt{\frac{(j + k)(j - k + 1)}{2}} $.

Тому елементи понижуючої та підвищуючої матриць рівні

$ \ (L_{+})_{mm'} = \Psi^{+}_{m'}\hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m + 1}\delta_{m'(m + 1)}, \quad L_{- (mm')} = \Psi^{+}_{m'}\hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m}\delta_{m' (m - 1)} $.

Звідси

$ \ L_{x (mm')} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( L_{+ (mm')} + L_{- (mm')}\right) = \frac{1}{2}\left( \delta_{m' (m + 1)}\sqrt{(j + m + 1)(j - m)} + \delta_{m' (m - 1)}\sqrt{(j + m)(j - m + 1)} \right) $,

$ \ L_{y (mm')} = -\frac{i}{\sqrt{2}}\left( L_{+ (mm')} - L_{- (mm')}\right) = \frac{i}{2}\left( \delta_{m' (m - 1)}\sqrt{(j + m)(j - m + 1)} - \delta_{m' (m + 1)}\sqrt{(j - m)(j + m + 1)} \right) $,

$ \ L_{z (mm')} = m\delta_{mm'} $.