FANDOM


Повернутися до розділу "Група Лоренца".

Доведення 1Edit

Спектр власних значень "розщеплених" операторів групи Лоренца, а також - груп SU(2) та SO(3).

Можна ввести дві наступні матриці:

\ \hat {\mathbf J}_{+} = \frac{\hat {\mathbf J}_{1} + i \hat {\mathbf J}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \hat {\mathbf J}_{-} = \frac{\hat {\mathbf J}_{1} - i \hat {\mathbf J}_{2}}{\sqrt{2}}.

Використовуючи комутатори \ (.5), можна отримати

\ [\hat {\mathbf J}_{3}, \hat {\mathbf J}_{\pm}] = \pm \hat {\mathbf J}_{\pm}, \quad [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] = \hat {\mathbf J}_{3} \qquad (.5.1).

Тепер можна дослідити власні значення оператора \ \hat {\mathbf J}_{3}:

\ \hat {\mathbf J}_{3}\psi_{k} = m_{k} \psi_{k}.

Індекс \ k нумерує власні вектори оператора \ \hat {\mathbf J}_{3}. Всі власні значення є дісними (в силу ермітовості матриці \ \hat {\mathbf J}_{3}), для матриці розмірності \ n існує \ n (у загальному випадку - невироджених) розв'язків. Якщо спочатку подіяти на \ \psi_{k} операторами \ \hat {\mathbf J}_{pm}, то в силу комутаційних співвідношень \ (.5.1) можна буде отримати

\ \hat {\mathbf J}_{3}(\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}) = \pm\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k} + \hat {\mathbf J}_{\pm}\hat {\mathbf J}_{3}\psi_{k} = (m_{k} \pm 1)\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}.

Це означає, що вектор \ (\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}) також є власним вектором оператора \ \hat {\mathbf J}_{3}, проте відповідає власному число на одиницю більшому або меншому, ніж \ \psi_{k}. Відповідно, оператори \ \hat {\mathbf J}_{\pm} називаються підвищуючими або понижуючими. В силу обмеженості розмірності матриць операторів \ \hat {\mathbf J}_{3, \pm} підвищення або пониження може відбуватися обмежене число разів. Тому, діючи деякою кількістю раз оператором \ \hat {\mathbf J}_{+} на вектор \ \psi_{k}, можна, врешті-решт, отримати таке число \ m = j, для якого \ \hat {\mathbf J}_{+}\psi_{j} = 0. Відповідно, власне число \ j є максимальним власним числом. Аналогічно, якщо \ N + 1 раз подіяти на вектор \ \psi_{j} оператором \ \hat {\mathbf J}_{-}, можна також буде отримати нуль: \ {\hat {\mathbf J}_{-}}^{(N + 1)}\psi_{j} = 0. Отже, власні значення оператора \ \hat {\mathbf J}_{3} утворюють послідовність \ j, j - 1, ..., j - N.

Для з'ясування величини \ N можна перейти до наступних міркувань. Оскільки власні вектори \ \psi_{k} оператора \ \hat {\mathbf J}_{3} являються ортогональними, то, в силу лінійності оператора, їх можна зробити ортонормованими: \ \psi_{k}\psi_{k'} = \delta_{kk'}. У базисі таких власних векторів матрицю оператора можна зробити діагональною, причому на діагоналі будуть стояти власні значення. Отже, якщо взяти слід від матриць зліва і зправа виразу комутатора \ [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] = \hat {\mathbf J}_{3} та врахувати, що \ Tr(\hat {A}\hat {B}) = Tr(\hat {B}\hat {A}) (а отже - що слід лівої частини рівен нулю), то можна отримати

\ j + j - 1 + j - 2 + ... + j - N = \frac{1}{2}(2j - N)(N + 1) = 0.

В результаті, максимальне власне значення рівне \ j = \frac{N}{2} і може бути цілим чи напівцілим, відповідно до числа \ N, а спектр власних значень пробігає наступні величини:

\ j, j - 1, ... , -j.

Усього значень - \ 2j + 1. Відповідною до цього є і розмірність матриць представлень.

Доведення 2Edit

Теорія момента імпульсу.

Момент імпульсу та генератори групи SO(3)Edit

Момент імпульсу у квантовій механіці відповідає виразу (тимчасово відновлена константа Планка)

\ \hat {L}_{i} = i\hbar \varepsilon_{ijk}x^{j}\partial^{k}.

Нескладно переконатись, що дані вирази відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань:

\ \hat {L}_{i} = -i\hbar \hat {\mathbf R}_{i} = -i\hbar (\hat {R}_{i})_{\alpha \beta}x_{\beta}\partial_{\alpha}.

Це означає, що момент імпульсу виступає у якості генератора тривимірних обертань. Відповідно, одразу переносяться всі комутаційні властивості для операторів із попереднього доведення:

\ [\hat {L}_{i}, \hat {L}_{j}] = i\hbar \varepsilon_{ijk}\hat {L}^{k}, \quad  \hat {L}_{+} = \frac{\hat {L}_{1} + i\hat {L}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \hat {L}_{-} = \frac{\hat {L}_{1} - i\hat {L}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad [\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] = \hbar \hat {L}_{3}, \quad [\hat {L}_{3}, \hat {L}_{\pm}] = \pm \hbar \hat {L}_{3}.

\ \quad [\hat {\mathbf L}^{2}, \hat {L}_{i}] = 0, \quad \hat {L}_{3}\Psi = j\hbar \Psi , \quad \hat {\mathbf L}^{2}\Psi = -\hbar^{2} j(j + 1)\Psi, \quad j = (-s, ..., s) .

Сферична система координат та власні функції квадрату момента імпульсаEdit

Вирази для операторів моменту імпульсу можна переписати у сферичній системі координат, знайшовши при цьому власні функції. Для цього треба здійснити перетворення, пов'язані із переходом до змінних сферичної системи координат.

\ x = rcos(\varphi )sin(\theta ), \quad y = rsin(\varphi )sin(\theta ), \quad z = rcos(\theta ) \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \quad \varphi = arctg\left( \frac{y}{x}\right), \quad \theta = arccos \left(\frac{z}{r} \right).

Звідси

\ \partial_{x} = \partial_{x}(r)\partial_{r} + \partial_{x}(\theta )\partial_{\theta } + \partial_{x}(\varphi )\partial_{\varphi} = cos(\varphi )sin(\theta )\partial_{r} - \frac{sin(\varphi )}{rsin(\theta )}\partial_{\varphi } + \frac{1}{r}cos(\varphi )cos(\theta )\partial_{\theta},

\ \partial_{y} = sin(\varphi )sin(\theta )\partial_{r} + \frac{1}{r}\frac{cos(\varphi )}{sin(\theta )}\partial_{\varphi } + \frac{1}{r}sin(\theta )cos(\varphi )\partial_{\theta }, \quad \partial_{z} = cos(\theta )\partial_{r} - \frac{sin(\theta )}{r}\partial_{\theta}.

Це дозволяє переписати вирази для операторів \ \hat {L}_{i}, \hat {L}_{\pm} у вигляді

\ \hat {L}_{x} =i\hbar (sin(\varphi )\partial_{\theta} + ctg(\theta )cos(\varphi )\partial_{\varphi }), \quad \hat {L}_{y} = i\hbar (ctg(\theta ) sin(\varphi )d\varphi - cos(\varphi )\partial_{\theta }), \quad \hat {L}_{z} = -i\hbar \partial_{\varphi },

\ \hat {L}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar e^{i\varphi}(\partial_{\theta } + ictg(\theta )\partial_{\varphi }), \quad \hat {L}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar e^{-i\varphi }(-\partial_{\theta } + ictg(\theta )\partial_{\varphi }).

Одразу можна знайти власні функції оператора \ \hat {L}_{z}:

\ \hat {L}_{z}\Psi = -i\partial_{\varphi }\psi = l_{z}\psi \Rightarrow \psi = f(r, \theta )e^{il_{z}\varphi },

видно, що для однозначності функції (при повороті на \ 2 \pi вона не повинна змінювати свого значення) значення \ l_{z} повинні бути цілими числами. Це відрізняє алгебру групи \ SO(3) від більш загальної алгебри групи \ SU(2), у якій власні значення можуть бути напівцілими.

Оператор Казиміра у сферичній системі координат рівний

\ \hat {\mathbf L}^{2}\Psi = \left([\hat {J}_{+}, \hat {J}_{-}] + 2 \hat {J}_{+}\hat {J}_{-} + \hat {J}_{3}^{2}\right) \Psi = -\hbar^{2}\left(\frac{1}{sin^{2}(\theta )}\partial^{2}\varphi +\frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }) \right)\Psi = \lambda \Psi.

Можна розділити змінні: \ \Psi (\theta , \varphi ) = F(\varphi )\Theta (\theta ). Використовуючи одразу вираз для власної функції оператора \ -i\partial_{\varphi }, можна отримати

\ -\frac{m^{2}}{sin^{2}(\theta )}\Theta (\theta ) + \frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }\Theta (\theta )) = -\frac{\gamma \Theta (\theta )}{\hbar^{2}} \Rightarrow \frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }\Theta (\theta )) - (\frac{m^{2}}{sin^{2}(\theta )} - \frac{\gamma }{\hbar^{2}})\Theta (\theta ) = 0.

Зробивши заміну \ cos(\theta ) = t, можна звести рівняння до вигляду рівняння на приєднані поліноми Лежандра:

\ \partial_{t}((1 - t^{2})\partial_{t}\Theta (t)) + (\frac{\gamma}{\hbar^{2}} - \frac{m^{2}}{1 - t^{2}})\Theta (t) = 0.

Звідси очевидно, що власне число оператора Казиміра рівне \ \gamma = \hbar^{2}n(n + 1).

Отже, власними функціями оператора є сферичні функції

\ Y_{n, m }(\theta , \varphi ) = C_{nm}P_{n}^{m}(cos( \theta ) )e^{im\varphi }, \quad ||Y_{nm}|| = 1.

Власні значення підвищуючого та понижуючого операторівEdit

Наостанок можна визначити власні значення операторів \ \hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}. Використовується система, у якій стала Планка нормована на одиницю.

Оскільки рівняння (попередній блок "Доведення 1")

\ \hat {L}_{3}(\hat {L}_{\pm}\Psi_{m}) = (m \pm 1)(\hat {L}_{\pm}\Psi_{m}), \quad \langle \Psi_{m}|\Psi_{n}\rangle = \delta_{mn}

є лінійним, то

\ \hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m + 1}\Psi_{m + 1}

(тоді попереднє рівняння виконується тотожньо).

Це означає, що, із використанням умови нормування, справедливо

\ N_{m} = \Psi_{m}\hat {L}_{+}\Psi_{m - 1}.

З іншого боку, оскільки \ (\hat {J}_{+})^{+} = \hat {J}_{-}, то можна отримати, користуючись визначенням ермітового спряження, що

\ N_{m} = \Psi_{m}\hat {L}_{+}\Psi_{m - 1} = (\Psi_{m - 1}\hat {L}_{-}\Psi_{m})^{+} \Rightarrow \hat {L}_{-}\Psi_{m} = N_{m}^{*}\Psi_{m - 1}.

Ці величини можна визначити. Використовуючи комутатор \ [\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] = \hat {L}_{z}, можна отримати наступне співвідношення:

\ \hat {L}_{+}\hat {L}_{-}\Psi_{m} = ([\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] + \hat {L}_{-}\hat {L}_{+})\Psi_{m} = (m + N^{*}_{m + 1}N_{m + 1})\Psi_{m}.

З іншого боку,

\ \hat {L}_{+}\hat {L}_{-}\Psi_{m} = N^{*}_{m}N_{m}\Psi_{m}.

Тому

\ |N_{m}|^{2} - |N_{m + 1}|^{2} = m.

Склавши ліві та праві частини цього виразу для значень \ m = (j - p, ..., j) та врахувавши, що \ N_{j + 1} = 0, можна, нарешті, отримати

\ |N_{j}|^{2} + |N_{j - 1}|^{2}  - |N_{j}|^{2} + ... + |N_{j - p}|^{2} - |N_{j - p + 1}|^{2} = |N_{j  - p}|^{2} = j + j - 1 + ... + j - p = \frac{(2j - p)(p + 1)}{2} .

Звідси (\ k = j - p)

\ |N_{k}| = \sqrt{\frac{(j + k)(j - k + 1)}{2}}.

Тому елементи понижуючої та підвищуючої матриць рівні

\ (L_{+})_{mm'} = \Psi^{+}_{m'}\hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m + 1}\delta_{m'(m + 1)}, \quad L_{- (mm')} = \Psi^{+}_{m'}\hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m}\delta_{m' (m - 1)}.

Звідси

\ L_{x (mm')} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( L_{+ (mm')} + L_{- (mm')}\right) = \frac{1}{2}\left( \delta_{m' (m + 1)}\sqrt{(j + m + 1)(j  - m)} + \delta_{m' (m - 1)}\sqrt{(j + m)(j - m + 1)} \right),

\ L_{y (mm')} = -\frac{i}{\sqrt{2}}\left( L_{+ (mm')} - L_{- (mm')}\right) = \frac{i}{2}\left( \delta_{m' (m - 1)}\sqrt{(j + m)(j  - m + 1)} - \delta_{m' (m + 1)}\sqrt{(j - m)(j + m + 1)} \right),

\ L_{z (mm')} = m\delta_{mm'} .

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.