FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Цей розділ являється вступним до непертурбативних результатів у квантовій теорії поля, тобто таких, які визначають деяку загальну властивість теорії, що є вірною для будь-якого порядку теорії збурень. Це є надзвичайно зручним, оскільки, маючи вказані результати, можна не виводити їх кожного разу для свого порядку теорії збурень.

Гейзенбергівські функції ГрінаEdit

Для можливості застосування непертурбативних методів треба ввести n-точкову функцію Гріна:

$ \ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \langle |\hat{T}\left( \hat{O}_{1}(x_{1})...\hat{O}_{n}(x_{n})\right) |\rangle \qquad (1) $.

Оператори $ \ (1) $ записані у представленні Гейзенберга, а не у представленні взаємодії, на відміну від оператору лагранжіану в S-операторі. Для зв'язку ж елементів S-матриці із $ \ (1) $ треба ввести варіаційний аналіз. Це робиться наступним чином.

Нехай до гамільтоніану взаємодії (який є еквівалентним до лагранжіану взаємодії, але є більш близьки до представлення Гейзенберга) додано взаємодію з деяким набором полів $ \ \hat{\varepsilon}_{a}(t) $. Відповідна добавка має вигляд (тут $ \ \hat{V}(t) = \int \hat{H}_{int}(x)d^{3}\mathbf x $, і по a - сума)

$ \ \hat{V}(t) \to \hat{V}(t) + \int \varepsilon_{a}(x)\hat{o}_{a}(x)d^{3}\mathbf x $.

Струми $ \ \hat{o}_{a}(x) $ є довільними операторами, еволюція яких по часу визначається представленням взаємодії: $ \ \hat{o}_{a}(t) = e^{i\hat{H}_{0}(t)}\hat{o}_{a}(0)e^{-i\hat{H}_{0}(t)} $. Це означає, що S-матриця для довільного переходу стає функціоналом $ \ S_{ab}[\varepsilon ] $ (подібна ідея вже була частково реалізована у підрозділі про недовизначеність хронологічного впорядкування). В результаті, у додаток до вершин від $ \ \hat{V}(t) $ треба включити також вершини, що даються $ \ \hat{o}_{a} $: якщо $ \ \hat{o}_{a}(x) $ є добутком $ \ n_{a} $ польових множників, то будь-яка відповідна цьому оператору вершина має вклад $ \ -i\varepsilon (x) $, помножений на числовий множник, що дається структурою $ \ \hat{o}_{a} $, а кількість ліній, що входять і виходять із вершини, є рівною $ \ n_{a} $. Звідси слідує, що r-та варіаційна похідна цієї модифікованої S-матриці по полям $ \ \varepsilon_{a_{1}}(x_{1}),...,\varepsilon_{a_{r}}(x_{r}) $ дає при $ \ \varepsilon = 0 $ дає в координатному представленні діаграми із $ \ r $ вершинами, до яких приєднано відповідно $ \ n_{a_{1}}, n_{a_{2}}, ... $ внутрішніх ліній; зовнішні лінії відсутні. По координатам $ \ x_{1},... $, звісно, інтегрування не проводиться. У частинному випадку, якщо усі струми являються полями, то r-та варіаційна похідна відповідає $ \ r $ діаграмам, до кожної із яких підходить лише одна зовнішня лінія, яка відповідає індексу поля оператора. Такі лінії, при цьому, можуть розглядатися як зовнішні лінії поза масовою оболонкою, з тією різницею, що у S-матриці вклад від зовнішніх ліній давався коефіцієнтною функцією при відповідному оператору поля, а тут він дається пропагатором, домноженим на $ \ -i $ від вершини лінії. Це означає, що для того, щоб в імпульсному представленні отримати діаграми, що відповідають матричному елементу $ \ S_{\beta \alpha} $ і додатковим $ \ r $ зовнішнім лініям, достатньо взяти варіаційну похідну від S-матриці,

$ \ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{l_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} $,

взяти Фур'є образ по усім координатам і замінити пропагатори на коефіцієнтні функції полів, домножені на $ \ (-i)^{r} $ (при цьому зв'язавши компоненти 4-імпульсу дисперсійним співвідношенням). У результаті можна обходитися варіаційними похідними для $ \ S_{00} $ (тобто - для вакуумних станів), роблячи наступний трюк: якщо нам потрібні діаграми в імпульсному просторі із $ \ n_{1} $ зовнішніми лініями in-стану та $ \ n - n_{1} $ зовнішніми лініями out-стану, достатньо взяти варіаційну похідну $ \ \left(\frac{\delta^{n}S_{00}}{\delta \varepsilon_{l_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{n}}(x_{n})}\right)_{\varepsilon = 0} $, після цього здійснити перетворення Фур'є за $ \ x_{1},...,x_{n} $, і нарешті - замінити пропагатори, яки виникають від "спарювання" операторів $ \ \hat{o}_{l_{1}}...\hat{o}_{l_{n}} $ із полями S-оператору, на конкретні коефіцієнтні функції.

Що це означає? Що формально можна оперувати діаграмами із лініями поза масовою оболонкою, а при бажанні отримання діаграми із декількома лініями на масовій оболонці просто замінювати відповідні пропагатори у варіаційній похідній на коефіцієнтні функції. Це є дуже зручним результатом, оскільки будь-яку складну діаграму на масовій поверхні можна "розкласти" на внутрішні діаграми, усі лінії між якими є внутрішніми, тобто формально знаходяться не на масовій поверхні. Таким чином, діаграми поза масовою поверхнею є більш загальними, ніж діаграми із лініями на масовій поверхні.

Виявляється також, що сума фейнманівських діаграм даного порядку пов'язана із $ \ (1) $ як

$ \ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta |\hat{T}\left(\hat{O}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{O}_{n_{r}}(x_{r})\right) |\alpha \rangle \qquad (2) $,

де $ \ \hat{O}_{i}(x_{i}) = e^{i\hat{H}t_{i}}\hat{o}_{i}(\mathbf x_{i}, 0)e^{-i\hat{H}t_{i}} $, тобто, являється гейзенбергівським оператором, а $ \ |\beta \rangle, |\alpha \rangle $ - відповідно out-, in-стани повного (!) гамільтоніану (на відміну від станів $ \ \beta_{0}, \alpha_{0} $ S-матриці, які є власними для вільного гамільтоніану).

Дійсно, відповідно до дайсонівського розкладу S-матриці і написаного у даному розділі,

$ \ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{N}}{N!}\int d\tau_{1}...d\tau_{n}\langle \beta_{0}| \hat{T}\left(\hat{V}(\tau_{1})...\hat{V}(\tau_{N}) \hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{n}}(x_{r})\right)|\alpha_{0}\rangle \qquad (3) $.

Нехай для визначеності $ \ x^{0}_{1} \geqslant x^{0}_{2} \geqslant ... \geqslant x^{0}_{r} $. Тоді всі $ \ \tau $, що більші за $ \ x^{0}_{1} $, можна позначити як $ \ \tau_{01}, ..., \tau_{0N_{0}} $, всі $ \ \tau $, що лежать між $ \ x^{0}_{1}, x^{0}_{2} $ - як $ \ \tau_{11},...\tau_{1N_{1}} $, і т.д. Після цього $ \ (3) $ можна подати у вигляді

$ \ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{N}}{N!}\sum_{N_{0},...,N_{r}}\frac{N! \delta_{N, N_{0} +...+N_{r}}}{N_{0}!...N_{r}!}\int \limits_{x^{0}_{1}}^{\infty} d\tau_{01}...d\tau_{0N_{0}} \int \limits_{x^{0}_{2}}^{x_{1}^{0}}d\tau_{11}...d\tau_{1N_{1}} \times $

$ \ \times \langle \beta_{0}|\hat{T}\left(\hat{V}(\tau_{01})...\hat{V}(\tau_{0N_{0}})\right)\hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{r}}(x_{r})\hat{T}\left( \hat{V}(\tau_{r1})...\hat{V}(\tau_{rN_{r}})\right) | \alpha_{0} \rangle $.

Замість підсумовування по $ \ N_{0},...N_{r} $ з урахуванням зв'язку $ \ \sum_{i = 0}^{r}N_{i} = N $ можна підсумовувати окремо по $ \ N_{i} $, а $ \ N $ замінити на $ \ \sum_{i}N_{i} $. Звідси

$ \ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta_{0}| \hat{U}(\infty , x^{0}_{1})\hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{r}}(x_{r})\hat{U}(x^{0}_{r} , -\infty )|\alpha_{0}\rangle \qquad (4) $,

де $ \ \hat{U}(x^{0}_{i}, x^{0}_{j}) = \sum_{N}\frac{(-i)^{N}}{N!}\int \limits_{x^{0}_{j}}^{x^{0}_{i}}d\tau_{1}...d\tau_{N}\hat{T}\left( \hat{V}(\tau_{1})...\hat{V}(\tau_{N})\right) $. Цей оператор задовольняє рівнянню $ \ i\partial_{t}\hat{U}(t, t') = -iV(t')U(t', t), U(t, t) = 1 $. Звідси, як і для S-матриці (тільки в оберненому порядку), $ \ \hat{U}(x^{0}_{i}, x^{0}_{j}) = e^{-i\hat{H}t'} e^{i\hat{H}_{0}t'}e^{iHt}e^{-iH_{0}t} = \Omega^{-1} (t')\Omega(t) $.

Враховуючи тепер також початкове припущення $ \ x^{0}_{1} \geqslant x^{0}_{2} \geqslant ... \geqslant x^{0}_{r} $ (можна вираз між станами у $ \ (4) $ замінити на часове впорядкування), а також - співвідношеннями між in-, out-станами повного гамільтоніану та вільного (із розділу про S-матрицю), $ \ |X, t = \pm \infty \rangle = \Omega (\mp \infty ) | X_{0}\rangle $,

отримуємо

$ \ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta |\hat{T}\left(\hat{O}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{O}_{n_{r}}(x_{r})\right) |\alpha \rangle $,

що співпадає із $ \ (2) $.

Таким чином, ми пов'язали гейзенбергівські функції Гріна $ \ (1) $ із елементами S-матриці через вираз $ \ (2) $. Навіщо ж вивчати саме об'єкти $ \ (1) $? Це варто робити, оскільки для операторів у представленні Гейзенберга визначені канонічні комутаційні співвідношення, еволюція по часу задається повним оператором Гамільтона. Це означає, що можна аналізувати симетрії S-матриці, визначати властивості вершинних операторів і т.д. Більше того, як показано у наступних розділах, цей результат є суто непертурбативним.

Наведений варіаційний апарат буде широко застосовуватися в розділі про континуальний інтеграл.