FANDOM


Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Цей розділ являється вступним до непертурбативних результатів у квантовій теорії поля, тобто таких, які визначають деяку загальну властивість теорії, що є вірною для будь-якого порядку теорії збурень. Це є надзвичайно зручним, оскільки, маючи вказані результати, можна не виводити їх кожного разу для свого порядку теорії збурень.

Гейзенбергівські функції ГрінаEdit

Для можливості застосування непертурбативних методів треба ввести n-точкову функцію Гріна:

\ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \langle |\hat{T}\left( \hat{O}_{1}(x_{1})...\hat{O}_{n}(x_{n})\right) |\rangle \qquad (1).

Оператори \ (1) записані у представленні Гейзенберга, а не у представленні взаємодії, на відміну від оператору лагранжіану в S-операторі. Для зв'язку ж елементів S-матриці із \ (1) треба ввести варіаційний аналіз. Це робиться наступним чином.

Нехай до гамільтоніану взаємодії (який є еквівалентним до лагранжіану взаємодії, але є більш близьки до представлення Гейзенберга) додано взаємодію з деяким набором полів \ \hat{\varepsilon}_{a}(t). Відповідна добавка має вигляд (тут \ \hat{V}(t) = \int \hat{H}_{int}(x)d^{3}\mathbf x, і по a - сума)

\ \hat{V}(t) \to \hat{V}(t) + \int \varepsilon_{a}(x)\hat{o}_{a}(x)d^{3}\mathbf x.

Струми \ \hat{o}_{a}(x) є довільними операторами, еволюція яких по часу визначається представленням взаємодії: \ \hat{o}_{a}(t) = e^{i\hat{H}_{0}(t)}\hat{o}_{a}(0)e^{-i\hat{H}_{0}(t)}. Це означає, що S-матриця для довільного переходу стає функціоналом \ S_{ab}[\varepsilon ] (подібна ідея вже була частково реалізована у підрозділі про недовизначеність хронологічного впорядкування). В результаті, у додаток до вершин від \ \hat{V}(t) треба включити також вершини, що даються \ \hat{o}_{a}: якщо \ \hat{o}_{a}(x) є добутком \ n_{a} польових множників, то будь-яка відповідна цьому оператору вершина має вклад \ -i\varepsilon (x), помножений на числовий множник, що дається структурою \ \hat{o}_{a}, а кількість ліній, що входять і виходять із вершини, є рівною \ n_{a}. Звідси слідує, що r-та варіаційна похідна цієї модифікованої S-матриці по полям \ \varepsilon_{a_{1}}(x_{1}),...,\varepsilon_{a_{r}}(x_{r}) дає при \ \varepsilon = 0 дає в координатному представленні діаграми із \ r вершинами, до яких приєднано відповідно \ n_{a_{1}}, n_{a_{2}}, ... внутрішніх ліній; зовнішні лінії відсутні. По координатам \ x_{1},..., звісно, інтегрування не проводиться. У частинному випадку, якщо усі струми являються полями, то r-та варіаційна похідна відповідає \ r діаграмам, до кожної із яких підходить лише одна зовнішня лінія, яка відповідає індексу поля оператора. Такі лінії, при цьому, можуть розглядатися як зовнішні лінії поза масовою оболонкою, з тією різницею, що у S-матриці вклад від зовнішніх ліній давався коефіцієнтною функцією при відповідному оператору поля, а тут він дається пропагатором, домноженим на \ -i від вершини лінії. Це означає, що для того, щоб в імпульсному представленні отримати діаграми, що відповідають матричному елементу \ S_{\beta \alpha} і додатковим \ r зовнішнім лініям, достатньо взяти варіаційну похідну від S-матриці,

\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{l_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0},

взяти Фур'є образ по усім координатам і замінити пропагатори на коефіцієнтні функції полів, домножені на \ (-i)^{r} (при цьому зв'язавши компоненти 4-імпульсу дисперсійним співвідношенням). У результаті можна обходитися варіаційними похідними для \ S_{00} (тобто - для вакуумних станів), роблячи наступний трюк: якщо нам потрібні діаграми в імпульсному просторі із \ n_{1} зовнішніми лініями in-стану та \ n - n_{1} зовнішніми лініями out-стану, достатньо взяти варіаційну похідну \ \left(\frac{\delta^{n}S_{00}}{\delta \varepsilon_{l_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{n}}(x_{n})}\right)_{\varepsilon = 0}, після цього здійснити перетворення Фур'є за \ x_{1},...,x_{n}, і нарешті - замінити пропагатори, яки виникають від "спарювання" операторів \ \hat{o}_{l_{1}}...\hat{o}_{l_{n}} із полями S-оператору, на конкретні коефіцієнтні функції.

Що це означає? Що формально можна оперувати діаграмами із лініями поза масовою оболонкою, а при бажанні отримання діаграми із декількома лініями на масовій оболонці просто замінювати відповідні пропагатори у варіаційній похідній на коефіцієнтні функції. Це є дуже зручним результатом, оскільки будь-яку складну діаграму на масовій поверхні можна "розкласти" на внутрішні діаграми, усі лінії між якими є внутрішніми, тобто формально знаходяться не на масовій поверхні. Таким чином, діаграми поза масовою поверхнею є більш загальними, ніж діаграми із лініями на масовій поверхні.

Виявляється також, що сума фейнманівських діаграм даного порядку пов'язана із \ (1) як

\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta |\hat{T}\left(\hat{O}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{O}_{n_{r}}(x_{r})\right) |\alpha \rangle \qquad (2),

де \ \hat{O}_{i}(x_{i}) = e^{i\hat{H}t_{i}}\hat{o}_{i}(\mathbf x_{i}, 0)e^{-i\hat{H}t_{i}}, тобто, являється гейзенбергівським оператором, а \ |\beta \rangle, |\alpha \rangle - відповідно out-, in-стани повного (!) гамільтоніану (на відміну від станів \ \beta_{0}, \alpha_{0} S-матриці, які є власними для вільного гамільтоніану).

Дійсно, відповідно до дайсонівського розкладу S-матриці і написаного у даному розділі,

\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{N}}{N!}\int d\tau_{1}...d\tau_{n}\langle \beta_{0}| \hat{T}\left(\hat{V}(\tau_{1})...\hat{V}(\tau_{N}) \hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{n}}(x_{r})\right)|\alpha_{0}\rangle \qquad (3).

Нехай для визначеності \ x^{0}_{1} \geqslant x^{0}_{2} \geqslant ... \geqslant x^{0}_{r}. Тоді всі \ \tau , що більші за \ x^{0}_{1}, можна позначити як \ \tau_{01}, ..., \tau_{0N_{0}}, всі \ \tau, що лежать між \ x^{0}_{1}, x^{0}_{2} - як \ \tau_{11},...\tau_{1N_{1}}, і т.д. Після цього \ (3) можна подати у вигляді

\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{N}}{N!}\sum_{N_{0},...,N_{r}}\frac{N! \delta_{N, N_{0} +...+N_{r}}}{N_{0}!...N_{r}!}\int \limits_{x^{0}_{1}}^{\infty} d\tau_{01}...d\tau_{0N_{0}} \int \limits_{x^{0}_{2}}^{x_{1}^{0}}d\tau_{11}...d\tau_{1N_{1}} \times

\ \times \langle \beta_{0}|\hat{T}\left(\hat{V}(\tau_{01})...\hat{V}(\tau_{0N_{0}})\right)\hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{r}}(x_{r})\hat{T}\left( \hat{V}(\tau_{r1})...\hat{V}(\tau_{rN_{r}})\right) | \alpha_{0} \rangle.

Замість підсумовування по \ N_{0},...N_{r} з урахуванням зв'язку \ \sum_{i = 0}^{r}N_{i} = N можна підсумовувати окремо по \ N_{i}, а \ N замінити на \ \sum_{i}N_{i}. Звідси

\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta_{0}| \hat{U}(\infty , x^{0}_{1})\hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{r}}(x_{r})\hat{U}(x^{0}_{r} , -\infty )|\alpha_{0}\rangle \qquad (4),

де \ \hat{U}(x^{0}_{i}, x^{0}_{j}) = \sum_{N}\frac{(-i)^{N}}{N!}\int \limits_{x^{0}_{j}}^{x^{0}_{i}}d\tau_{1}...d\tau_{N}\hat{T}\left( \hat{V}(\tau_{1})...\hat{V}(\tau_{N})\right). Цей оператор задовольняє рівнянню \ i\partial_{t}\hat{U}(t, t') = -iV(t')U(t', t), U(t, t) = 1. Звідси, як і для S-матриці (тільки в оберненому порядку), \ \hat{U}(x^{0}_{i}, x^{0}_{j}) = e^{-i\hat{H}t'} e^{i\hat{H}_{0}t'}e^{iHt}e^{-iH_{0}t} = \Omega^{-1} (t')\Omega(t).

Враховуючи тепер також початкове припущення \ x^{0}_{1} \geqslant x^{0}_{2} \geqslant ... \geqslant x^{0}_{r} (можна вираз між станами у \ (4) замінити на часове впорядкування), а також - співвідношеннями між in-, out-станами повного гамільтоніану та вільного (із розділу про S-матрицю), \ |X, t = \pm \infty \rangle  = \Omega (\mp \infty ) | X_{0}\rangle,

отримуємо

\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta |\hat{T}\left(\hat{O}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{O}_{n_{r}}(x_{r})\right) |\alpha \rangle,

що співпадає із \ (2).

Таким чином, ми пов'язали гейзенбергівські функції Гріна \ (1) із елементами S-матриці через вираз \ (2). Навіщо ж вивчати саме об'єкти \ (1)? Це варто робити, оскільки для операторів у представленні Гейзенберга визначені канонічні комутаційні співвідношення, еволюція по часу задається повним оператором Гамільтона. Це означає, що можна аналізувати симетрії S-матриці, визначати властивості вершинних операторів і т.д. Більше того, як показано у наступних розділах, цей результат є суто непертурбативним.

Наведений варіаційний апарат буде широко застосовуватися в розділі про континуальний інтеграл.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.