FANDOM


Повернутися до розділу "Нейтрино".

Як було показано у розділі Алгебра матриць Дірака, рівняння Дірака є інваріантним відносно перетворень

\ \Psi ' = \hat {U} \Psi , \bar {\Psi}' = \bar {\Psi} \hat {U}^{\dagger} ,

і при цьому матриці Дірака змінюються,

\ \quad \gamma_{\mu}{'} = \hat {U}^{\dagger}\gamma_{\mu}\hat {U} .

Тоді, взявши за основу стандартне представлення,

\ \gamma_{0} = \begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & 0 \\ 0 & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}, \quad \gamma_{i} \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{i} \\ -\sigma_{i} & 0 \end{pmatrix},

та подіявши на біспінори унітарною матрицею \ \hat {U} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \hat {\sigma}_{y} & -\hat {\mathbf E}\end{pmatrix}, можна (використовуючи антикомутаційні співвідношення для матриць Паулі) отримати:

\ \tilde {\gamma}_{0} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \hat {\sigma}_{y} & -\hat {\mathbf E}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & 0 \\ 0 & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \hat {\sigma}_{y} & -\hat {\mathbf E}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix} \qquad (1),

\ \tilde {\gamma}_{1} = \begin{pmatrix} i\sigma_{3} & 0 \\ 0 & i\sigma_{3} \end{pmatrix}, \quad \tilde {\gamma}_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}, \quad \tilde {\gamma}_{3} = \begin{pmatrix} -i\sigma_{1} & 0 \\ 0 & -i\sigma_{1} \end{pmatrix} \qquad (2).

Таким чином, всі гамма-матриці є суто уявними, а тому рівняння Дірака

\ (i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} - m)\Psi = 0 \qquad (3)

містить лише суто дійсні коефіцієнти. Тому його розв'язком може бути (не обов'язково) біспінор, що містить лише дійсні величини.

Тепер можна згадати визначення спінора, зарядове спряження якого дає самого себе: за визначенням,

\ \Psi^{c} = \hat {C}\bar {\Psi}^{T} = \Psi , \quad \hat {C} = \alpha_{2} \qquad (4).

У стандартному представленні \ \alpha_{2} має вигляд \ \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}.

Використовуючи перетворення для оператора зарядового спряження,

\ \hat {C}_{M} = \hat {U}\hat {C}\hat{U}^{T} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix} = -\alpha_{2},

можна перетворити \ (4) до вигляду

\ \Psi^{c} = \hat {C}_{M} \bar {\Psi}_{M}^{T} = \hat {C}_{M} \gamma^{0}_{M} \Psi_{M}^{*} = \hat {\alpha}_{2}^{2}\Psi_{M}^{*} = \Psi_{M}^{*}.

Таким чином, у базисі \ (1)-(2) (надалі він буде називатися майоранівським) операція зарядового спряження еквівалентна до комплексного спряження спінора. Тому спінор, що не має електричного заряду, у майоранівському базисі повинен бути суто дійсним. Це автоматично означає і відсутність симетрії лагранжіану відносно глобального перетворення \ U(1).

Отже, було отримано перехід від рівняння Дірака до його "частинного випадку" - рівняння Майорани, до якого у минулому розділі привели міркування про відсутність електричного заряду у частинки-ферміона:

\ (i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} - m)\Psi = 0, \quad \Psi^{c} = \Psi \qquad (5).

Дві умови на спінор \ (5) можна об'єднати, записавши рівняння

\ i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\Psi - m\Psi^{c} = 0,

яке описує майоранівську частинку у будь-якому базисі гамма-матриць.

Можна також записати лагранжіан Майоранівської частинки:

\ L = \bar{\Psi}_{M}(i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi_{M}.

Цей же лагранжіан нескладно переписати у термінах, наприклад, \ \Psi_{L}, де \ \Psi_{M} = \Psi_{L} + \hat{C}\Psi_{L} (це знадобиться у подальшому):

\ L = 2\bar{\Psi}_{L}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} - m(\Psi_{L}^{T}\hat{U}\Psi_{L} + h.c.), \quad \hat{U} = i\gamma_{2}\gamma_{0}.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.