FANDOM


Повернутися до розділу "Основи квантової механіки".

Із виразу для комутатора \ [\hat {x}, \hat {p}] = i \hbar можна отримати явний вигляд оператору імпульса \ \hat {p}. Дійсно, домноживши його зліва на \ \langle x |, а зправа - на спряжений до нього \ | x' \rangle, можна отримати

\ \langle x |\hat {x}\hat {p}_{x} - \hat {p}_{x}\hat {x}| x'\rangle = (x - x')\langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle =_{right} = i\hbar \langle x | x' \rangle = i \hbar \delta (x - x').

Щоб рівність виконувалась, потрібно, щоб

\ \langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle = -i\hbar \delta ' (x - x').

Ця рівність є справедливою в тому сенсі, що наші вирази є операторами, які повинні подіяти на функцію. Тому вони є еквівалентними у тому сенсі, що при дії їх на функцію отримується одна й та сама інша функція. Дійсно, оскільки матриця оператора згортається з вектором шляхом сумування (у випадку неперервного набору значень - інтегрування), то інтегруванням по частинам при дії оператора на довільну функцію \ \Psi = \langle x | \Psi (x) \rangle можна отримати

\ \int \limits_{-\infty }^{\infty}X\delta ' (X)\Psi (X)dX = \delta (X)X\Psi(x)\bigg|_{-\infty}^{\infty} - \int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (X)(\Psi '(X)X + \Psi (X))dX = |\delta (-\infty) = \delta (\infty) = X\delta (X) = 0| = -\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (X)\Psi (X)dX,

тобто дія оператору лівої частини рівняння-умови на матрицю відповідає дії оператору правої частини.

Дія же матриці \ \langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle на довільну функцію \ \Psi (x) = \langle x | \Psi \rangle може бути описана через суму

\ \sum_{x'}\langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle \langle x' | \Psi \rangle -> -i\hbar \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d\delta (x - x')}{dx}\Psi (x')dx' = -i \hbar \frac{d}{dx}\Psi (x) \Rightarrow \hat {p}_{x} = -i \hbar \frac{d}{dx}.

Аналогічно - для операторів проекції імпульсу на інші осі.

Можна також знайти власні функції оператора проекції імпульса. Із визначення,

\ -i \hbar \frac{d}{dx}\Psi (x) = p\Psi (x) \Rightarrow \Psi (x) = Ce^{\frac{i}{\hbar}(px)}.

Константу \ C можна знайти з ортогональності скалярного добутку:

\ \langle p' | p \rangle = \sum_{x} \langle p' | x \rangle \langle x | p \rangle = \int \Psi^{*}_{p'}(x)\Psi(x)dx = C^{2}\hbar \int e^{i(p - p')x}dx = 2 \pi \hbar C^{2} \delta (p - p') \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}.

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.